第二章 重点题型强化（四） 离心率的计算-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

重点题型强化(四) 离心率的计算 　 第二章 平面解析几何 知识层面 1.掌握圆锥曲线的离心率求法．　 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 素养层面 借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 技法一　定义法求离心率 1 课时测评 5 技法二　几何法求离心率 2 内容索引 技法三　齐次式法求离心率 3 技法四　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) 4 技法一　定义法求离心率 返回 √ 例1 方法技巧 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.　　 √ 如图所示：因为M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若|NF1|∶|MN|∶|MF2|＝1∶2∶2，由双曲线的定义，可得2a＝|MF1|－|MF2|＝|NF1|＋|MN|－|MF2|＝|NF1|，|NF2|－|NF1|＝2a，则|NF2|＝2a＋|NF1|＝4a，所以|MN|＝|MF2|＝2|NF1|＝4a＝|NF2|，故△MNF2为等边三角形， 返回 技法二　几何法求离心率 返回 例2 如图所示，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为 △PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. √ 方法技巧 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求 得的值． 2 返回 技法三　齐次式法求离心率 返回 例3 √ 方法技巧 根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可．此时要注意椭圆的离心率e满足0<e<1，双曲线的离心率e满足e>1.　　 √ 返回 技法四　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) 返回 例4 √ √ 方法技巧 求离心率范围的常用思路 1．通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围． 2．通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．　　 设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则QF1＝QF2，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c， √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2(注：填区间(1，2]内任何 一个值均可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为F1(－2，0)，F2(2，0)，M(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点， 且∠F1PF2＝60°，若双曲线的离心率为 ，则椭圆的离心率为_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：由题意可知A(a，0)，B(0，b)， 若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2， 则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB有公共点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB有公共点， 即O点到直线AB的距离d≤|OF1|＝|OF2|＝c， 又a2－b2＝c2， 所以a2 (a2－c2)≤a2c2＋c2(a2－c2)， 整理得(a2－c2) 2≤a2c2，即a2－c2≤ac， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1， 由双曲线的定义可得m－n＝2a2，解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 　　 (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且|PF1|＝5，|PF2|＝3，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心 率是 A． B． C． D． 设双曲线C的半焦距为c(c>0).由题意，点P在双曲线C的右支上，|PF1|＝5，|PF2|＝3，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝－，解得|F1F2|＝7，即2c＝7，c＝，根据双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，解得a＝1，故双曲线C的离心率e＝＝.故选D. (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为 的直线l与C在x轴上方的交点为A，若|AF1|＝|F1F2|，则C的离心率是________． 对点练1．(1)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若∶∶＝1∶2∶2，则C的离心率为______． 　　 (1)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_________． 对点练2．设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，满足＝，·＝0，则双曲线的离心率e＝________． 所以＝，则∠AOF1＝∠AOB，又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以 ∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，可得∠BOF2＝，易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan＝，因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2. 　　 (1)椭圆＋＝1中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为 A． B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|＝2b，则C的离心率为_______． ＋2 如图所示，设直线方程为y＝，与双曲线方程－＝1(a>0，b>0)联立，解得x＝，y＝－，因为|AB|＝2b，所以2×＝2b，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋2. 对点练3．(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交点为A，若cos∠AOF＝，则C的离心率为 A． B．2 C． D． 由题意可知cos∠AOF＝，且∠AOF为锐角，故sin∠AOF＝＝，而|OA|＝|OF|＝c， 故A，将A代入C：－＝1(a>0，b>0)中，得－＝1，结合b2＝c2－a2整理得13c4－98a2c2＋49a4＝0，即13e4－98e2＋49＝0，解得e2＝7，或e2＝，由于双曲线离心率e>1，故舍去e2＝，故e＝.故选D. (2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，·＝0，cos∠BAF＝，则椭圆的离心率为________． 　　 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为 A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] (2)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 A． B． C． D． 对点练4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为 A．(，2) B．(，＋∞) C．(1，] D．(1，] 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心 率为 A． B． C． D． 2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则该双曲线的离心率为 A．2 B． C． D． 由双曲线－＝1(a>0，b>0)，得渐近线为y＝±x，因为其中一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则·＝－1，得＝2，故e＝＝.故选D. 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为 A． B．2 C． D． 由题意，在双曲线C: －＝1(a>0，b>0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，由题意可知F(c，0)，B(0，b)，N，因为M是BF中点，则M，可得＝，＝，且O，M，N三点共线，则∥，可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝. 故选A. 5．椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的焦点F1，F2，记椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，则下列关系式一定正确的是 A．e1e2＝1 B．e2＝2e1 C．e－e＝1 D．e＋e＝2ee 6．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是 A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1 C．＝ D．△PF2Q的周长为2 7．椭圆C：＋＝1(b>0)其中一个顶点坐标为(－2，0)，则椭圆C的离心 率为________． 由题意得，＋＝1(b>0)，则b2＝1，a2＝4b2＝4，所以c2＝a2－b2＝3，则e＝＝＝. 8．(开放题)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝x与C无公共点”的e的一个值为_________________________ ____________． 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为椭圆上一点， ∠F1MF2＝60°，若点F2到直线MF1的距离为a，则椭圆的离心率为__________． 10．(10分)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若－＝2. (1)求双曲线C的离心率； 所以·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(－2－x0)·(2－x0)＋(－y0)2＝x＋y－4， 由于－y＝1，所以·＝x＋y－4＝3y＋y－1＝4y－1<0，即y<， 11．(5分)(2024·九省适应性测试)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，＝2，·＝4a2，则C的离心率为 A. B．2 C. D. 13．(15分)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围． 14．(5分)(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是 A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．双曲线C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点 15．(15分)已知椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且＝4，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2－e1的取值范围． $