第二章 平面解析几何 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦圆锥曲线的标准方程与轨迹问题，系统梳理从双曲线、抛物线、椭圆的标准方程求解（待定系数法）到轨迹问题探究（代入法、定义法）的脉络，结合高考真题与单元检测构建学习支架。 资料通过归纳总结提炼方法、对点练即时巩固、高考真题应用，培养学生用数学眼光抽象规律、用数学思维推理求解、用数学语言表达问题的能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

章末综合提升 探究点一　圆锥曲线的标准方程 (1)焦点为(0，±3)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是(　　) A．－＝1　　　　　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为________． [思路点拨]　(1)可先设出与双曲线－y2＝1有相同渐近线的方程，由焦点坐标确定参数的取值，再根据a2＋b2＝c2求得参数，进而求得双曲线方程． (2)先求出椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，即得所求． 答案：(1)B　(2)y2＝8x 解析：(1)由题意可设所求的双曲线方程是－y2＝k.因为焦点(0，±3)在y轴上，所以k<0，所以所求的双曲线方程是－＝1.由(－k)＋(－2k)＝c2＝9，得k＝－3，故所求的双曲线方程为－＝1.故选B. (2)因为c2＝9－5＝4，所以c＝2，椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，所以＝2，得p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x. 归纳总结 1．在已知圆锥曲线的类型时，求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或者代数条件，列出方程或者方程组，求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法)． 2．当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时，建立两个动点坐标之间的关系，代入已知曲线方程可得出圆锥曲线方程(代入法)．　　 学生用书↓第117页 对点练1.(1)焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝4y B．y2＝8x C．x2＝8y D．y2＝4x (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且p＝2，则抛物线方程为y2＝4x.故选D. (2)根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.①又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9.②根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为－＝1. 探究点二　圆锥曲线有关的轨迹问题 已知抛物线C：y＝x2与直线l：x－y＋2＝0交于A，B两点，记抛物线C在点A和点B之间的弧为L.设点P(s，t)是L上异于A，B的任一点，点Q是线段AB的中点，求线段PQ的中点M的轨迹方程． [思路点拨]　本题中的动点受制于线段AB中点Q(定点)和动点P，因此可以建立动点M与动点P(s，t)之间的关系，并利用点P在抛物线上获得动点M的轨迹方程． 解：由解得 不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，1)，(2，4)， 则AB的中点为Q. 设线段PQ的中点M的坐标为(x，y)， 因为点P的坐标为(s，t)， 所以x＝，y＝， 即s＝2x－，t＝2y－. 又点P在曲线C上，所以2y－＝， 化简可得y＝2x2－x＋. 又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合， 则－1<2x－<2，即－<x<， 所以中点M的轨迹方程为y＝2x2－x＋. 归纳总结 1．直接法：设动点P(x，y)，直接利用条件列出关于x，y的等式，再化简． 2．定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 3．代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一已知曲线上的动点Q(x0，y0)的运动而运动，可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线，消去x0，y0，得到仅含x，y的等式，即为所求的轨迹方程． 4．设而不求法：求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求”的技巧，通过中点坐标及斜率的代换，达到求出轨迹方程的目的．　　 对点练2．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________． 学生用书↓第118页 答案：　x2－＝1(x≤－1) 解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． (2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 解析：方法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝.故选B. 方法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB(图略)，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝.故选B. (2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. (2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 解析：将直线y＝x＋m与椭圆联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2，设F1到AB的距离d1，F2到AB距离d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－，或－3(舍去)．故选C. (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 答案：AC 解析：对于A选项，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，抛物线C的方程为y2＝4x，故A选项正确；对于B选项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B选项错误；对于C选项，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C选项正确；对于D选项，直线y＝－(x－1)，所以y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，又|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，故D选项错误．故选AC. (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____________． 答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确) 解析：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图： 因为|OC|＝r1＋r2，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．因为kOC＝，所以l1的斜率为－，设直线l1：y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝1，解得b＝(负值舍去)，则l1：3x＋4y－5＝0；由图可知，l2：x＝－1；l2与l3关于直线y＝x对称，联立解得l2与l3的一个交点为，在l2上取一点(－1，0)，该点关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则解得对称点为.所以kl3＝＝，则l3：y＝(x＋1)－，即7x－24y－25＝0.所以与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程为x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确)． (2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 答案： 解析：点A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为，所以对称直线方程为：y－a＝·x，即(3－a)x－2y＋2a＝0，又(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圆心(－3，－2)，半径为1，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得a∈. (2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y 轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 答案： 解析：方法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，|AB|＝5m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 方法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝. (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 由焦点坐标可知c＝2， 则由e＝＝，可得a＝2，b＝＝4， 故双曲线方程为－＝1. (2)证明：由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 显然直线的斜率不为0，所以设直线 MN 的方程为x＝my－4，且－<m<， 与－＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得＝＝ ＝ ＝＝＝－， 由＝－可得x＝－1，即xP＝－1， 据此可得点P在定直线 x＝－1上． 单元检测卷(二)　平面解析几何 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0 答案：A 解析：由已知可得2m－m2－1＝0求得m＝1，所以直线l的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，所以所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.故选A. 2．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 答案：A 解析：由题意，可得解得m＝1.故选A. 3．椭圆＋＝1的离心率是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝， 所以椭圆的离心率e＝＝. 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P，点Q在抛物线C上，且PQ⊥PF，则＝(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 答案：B 解析：由题意点F，又因为PQ⊥PF，所以·＝0，设Q，则·＝0，所以－2＝0，解得y0＝4，所以x0＝4，则＝x0＋1＝5.故选B. 5．(2024·河北石家庄高二月考)若双曲线－＝1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0 答案：A 解析：由题意可知，e＝2，则＝＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.故选A. 6．已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积为时，实数a的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意得，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)的圆心为C(a，a)，半径为r＝1，所以圆心到直线y＝2x的距离为d＝，所以弦长为|PQ|＝2＝2，所以△CPQ的面积为S＝|PQ|·d＝×2×＝＝，解得a＝.故选B. 7．若ab≠0，且a≠b，则bx2＋ay2＝ab及y＝ax＋b所表示的曲线可以是(　　) 答案：A 解析：方程bx2＋ay2＝ab可化为＋＝1.若a>0，b>0，则方程＋＝1表示椭圆，直线y＝ax＋b的斜率为正，在y轴上的截距为正，可知B，D均不正确；若a>0，b<0，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，直线y＝ax＋b的斜率为正，而在y轴上的截距为负，可知C不正确；若a<0，b>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，直线y＝ax＋b的斜率为负，在y轴上的截距为正，可知A正确． 8．双曲线C：－＝1>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B，且＝15，∠F1AF2＝，则＋＝(　　) A． B．26 C．25 D．23 答案：B 解析：由题设知|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝10，令|BF2|＝x，则|AF1|＝x＋15－10＝x＋5，|BF1|＝x＋10，△ABF1中，＝15，∠F1AF2＝，则cos∠F1AF2＝＝，所以＝，则x＝3，故|AF1|＝8，则|AF2|＝18，所以＋＝26.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．对于双曲线C1：－y2＝1与双曲线C2：y2－＝1的下列说法正确的是(　　) A．它们的实轴长和虚轴长相同 B．它们的焦距相同 C．它们的渐近线相同 D．若它们的离心率分别为e1，e2，那么＋＝1 答案：BCD 解析：A中，C1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而C2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A错误；B中，C1，C2的焦距均为2c＝2＝2，故B正确；C中，C1，C2的渐近线方程均为y＝±x，故C正确；D中，C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，则＋＝＋＝1，故D正确．故选BCD. 10．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 答案：BC 解析：对于A，d1＝＝3>4；对于B，d2＝2<4；对于C，d3＝＝4；对于D，d4＝＝ >4，所以符合条件的有BC. 11．设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A, B两点，则下述结论正确的是(　　) A．AF＋BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF 的面积为 答案：AD 解析：设椭圆的左焦点为F′，则＝，所以＋＝＋＝6为定值，A正确；△ABF的周长为＋＋，因为＋为定值6，所以的范围是，所以△ABF的周长的范围是，B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又因为F，所以·＝·＝6－6<0，所以△ABF不是直角三角形，C不正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A，B，所以S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选AD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝y2的焦点重合，若双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为__________________． 答案：　5x2－y2＝1 解析：将抛物线x＝y2的方程化为标准形式为y2＝4x.焦点坐标为(1，0)，则得a2＋b2＝1.又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以该双曲线的方程为5x2－y2＝1. 13．(2024·山东淄博高二质量检测)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，以F2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x－y＋8＝0相切．P为椭圆上一点，I为△PF1F2的内心，且S＝λS－S，则λ的值为________． 答案： 解析：设F1，F2，F2为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R＝a＋c＝3＋c，根据题意可知R＝，解得c＝2.设△PF1F2的内切圆半径为r，则S＝·r，S＝·r，S＝·r，故·r＝·r－·r，化简可得＋＝λ，即2a＝λ·2c，解得λ＝. 14．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是____________．当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是_____________________________________________________． (第一个空2分，第二个空3分) 答案：半径为2的圆　2 解析：如图，以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)．设P(x，y)，因为＝，所以＝.两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，故点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆．当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，距离的最大值是r＝2，此时面积为×2×2＝2. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0. (1)若l1⊥l2，求实数a的值； (2)当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离． 解：(1)由l1⊥l2知a＋3(a－2)＝0，解得a＝. (2)当l1∥l2时，有解得a＝3. 故l1：3x＋3y＋1＝0，l2：x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则直线l1与l2之间的距离d＝＝. 16．(15分)已知圆C：x2＋y2－4x＝0. (1)直线l的方程为x－y＝0，直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的值； (2)从圆C外一点P(4，4)引圆C的切线，求此切线的方程． 解：(1)因为圆C：x2＋y2－4x＝0，所以圆心C(2，0)，r＝2， 圆心C到直线l的距离d1＝＝1， 所以|AB|＝2＝2. (2)①当直线为x＝4时，与圆相切，符合题意． ②当切线斜率存在时，设斜率为k， 则切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y＋4－4k＝0， 圆心C到此切线距离d2＝＝. 由d2＝r，即＝2， 解得k＝，所以切线方程为3x－4y＋4＝0. 综上可知，切线方程为x＝4或3x－4y＋4＝0. 17．(15分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝. 不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c， 故|AB|＝，|CD|＝4c. 由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2，解得＝－2(舍去)或＝. 所以C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1. 设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.① 由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3. 所以C1 的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x. 18．(17分)(2024·贵州铜仁高二质量监测)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米． (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据：≈1.732) 解：(1)如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线型拱桥的方程为x2＝ay(a<0)， 由题意，可知抛物线经过点G，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米． (2)由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6米， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米． 又因为船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米． 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 则x＝±4， 故2＝8≈13.9， 所以水面宽度至少应为13.9米． 19．(17分)(2024·山东青岛高二联考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，点M在椭圆上，MF2⊥F1F2，若△MF1F2的周长为6，面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设＝λ1，＝λ2，试判断λ1＋λ2是否为定值？请说明理由． 解：(1)设椭圆C的焦距为2c，因为△MF1F2的周长为6，面积为， 所以由①得a＝3－c，将此式代入②得2c＝3， 所以4c2－7c＋3＝＝0，所以c＝1或. 当c＝时，a＝，b＝＝>2，所以不满足题意； 当c＝1时，a＝2，b＝＝<2，所以满足题意． 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题可得直线斜率存在，由(1)知F2，设直线l的方程为y＝k， 则联立整理得x2－8k2x＋4k2－12＝0， 设A(x1，y1)，B，则x1＋x2＝，x1x2＝， 又F2，P，则＝，＝， 由＝λ1可得x1＝λ1，所以λ1＝，同理可得λ2＝， 所以λ1＋λ2＝＋＝＝ ＝＝＝－. 所以λ1＋λ2为定值－. 学科网（北京）股份有限公司 $