第二章 重点题型强化（五） 圆锥曲线中的“定”问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

[学习目标] 知识层面 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用．　2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题． 素养层面 借助于圆锥曲线的“定”问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　定值问题 已知椭圆C：＋＝1的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B为椭圆的左右顶点，直线x＝t交椭圆于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值． 解：(1)由题意得且a2＝b2＋c2，得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：由椭圆方程可知，A，B， 设M，则N且＋y＝1； 则k1＝，k2＝，则k1·k2＝＝＝， 所以k1·k2为定值. 方法技巧 定值问题的解题策略 选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值，这种方法可简记为：一选(选好参变量)、二求(对运算能力要求颇高)、三定值(确定定值)．　　 对点练1．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点在x轴上，且抛物线上的点M到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； (2)若过点的直线l与该抛物线交于A，B两点，求证：·为定值． 解：(1)因为抛物线焦点在x轴上，且过点M， 所以设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5， 即点M到准线的距离等于5， 则4＋＝5，所以p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x. (2)证明：显然直线l的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线l的方程为x＝ty＋2, 联立化简并整理得y2－4ty－8＝0，Δ＝16t2＋32>0恒成立， 设A，B，则y1y2＝－8，则x1x2＝＝4， 所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝4＋＝－4. 所以·为定值－4. 题型二　定点问题 (2024·湖南长沙重点校高二联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，且双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过定点C的直线l与双曲线交于A，B两点，在x轴上是否存在定点N，使得∠ANC＝∠BNC，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为双曲线的离心率为， 所以设双曲线的方程为x2－y2＝a2， 代入点，得16－10＝a2，解得a2＝6， 故双曲线的方程为x2－y2＝6. (2)由直线l过定点C，当斜率为0时，符合条件， 则当斜率不为0时，设直线l为：x＝my＋3， 设A，B，直线l代入双曲线得 y2＋6my＋3＝0，所以 假设在x轴上存在点N，所以kAN＝＝，同理kBN＝， 由kAN＋kBN＝0，则2my1y2＋＝0，即6m＝0， 要对任意的m都成立，则t＝2. 所以在x轴上存在点N，使得∠ANC＝∠BNC. 学生用书↓第115页 方法技巧 定点问题的两种解法 1．特殊到一般法：从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明． 2．引进参数法：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 对点练2．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点． 解：(1)由题知c＝1，A，B，P， 由△PAB的面积为，得ab＝， 又a2＝b2＋c2，代入可得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：联立得x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 设M，N，可得x1＋x2＝，x1x2＝， 由题知kMQ＋kNQ＝0， 即＋＝＋＝＝0， 即2kx1x2＋－4m＝0⇒2k(2m2－2)－4km(m－2k)－4m(2k2＋1)＝0，解得k＝－m， 所以直线l的方程为y＝k，故直线l恒过定点. 题型三　定直线问题 已知抛物线C：y2＝2x，A，B(x2，y2)是C上两个不同的点． (1)求证：直线y1y＝x1＋x与C相切； (2)若O为坐标原点，·＝－1，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 证明：(1)联立得y2－2y1y＋2x1＝0， 因为A在C上，则y＝2x1， 所以Δ＝2－4×2x1＝4y－8x1＝0，因此直线y1y＝x1＋x与C相切． (2)由(1)知，设P，切线PA的方程为y1y＝x1＋x，切线PB的方程为y2y＝x2＋x， 联立得x0＝， 因为x1＝，x2＝，所以x0＝＝＝. 又因为·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝－1， 解得y1y2＝－2，所以x0＝－1. 故点P在定直线x＝－1上． 方法技巧 证明圆锥曲线中的动点在定直线上的方法 1．参数法：即先利用题设条件探求出动点的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点在定直线上． 2．相关点法：即先设出动点T的坐标，根据条件得到已知曲线上的动点R的坐标，用T点坐标表示R的坐标，代入已知曲线方程中求得动点T在定直线上． 对点练3．已知双曲线E：－＝1的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为. (1)求实数a的值； (2)若点P坐标为，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足＝.证明：点H恒在一条定直线上． 解：(1)依题意得，b＝2，e＝＝，因为c2＝a2＋b2，所以a＝，c＝3. (2)如图所示，因为点P坐标为，且过点P的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，所以可设直线l的方程为x＝t， 点M，N，H的坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)(y2<y0<y1<4)， 则点M，N的坐标满足 所以y2－32t2y＋64t2－20＝0， 由韦达定理得 因为＝，所以＝＝， 同理＝，＝，＝， 因为＝，所以＝， 所以4y0－4y2－y1y0＋y1y2＝4y1－4y0－y1y2＋y2y0， 所以y0＝ ＝＝ ＝－1， 所以点H恒在直线y＝－1上． 课时测评30　圆锥曲线中的“定”问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知O为坐标原点，双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且FP＝OA，直线AP与双曲线的左支交于点B，则∠PFB的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 答案：B 解析：易知FP＝b，于是a＝b，故离心率e＝，不妨设a＝b＝，设P(x1，－x)，则＝，解得x＝－1，则P(－1，1)，F，A，直线AP：y＝(x－)与x2－y2＝2联立得xB＝－2，于是BF⊥x轴，所以∠PFB＝45°.故选B. 2．已知A，B是椭圆＋＝1长轴上的两个端点，M是椭圆上一点，直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，若椭圆的离心率为，则k1·k2＝(　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案：C 解析：依题意可得A，B，设M(x0，y0)(x0≠±a)，所以k1＝，k2＝，＋＝1，因为椭圆的离心率为，所以e＝＝＝，所以＝，所以k1·k2＝·＝＝＝－＝－.故选C. 3．已知双曲线C：－＝1(b>0)的离心率为2，则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为(　　) A． B． C．2 D．3 答案：B 解析：因为双曲线的离心率是2，所以e2＝＝4，解得b＝6，故双曲线方程为－＝1，即3y2－x2＝6，渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则C上任意一点P(x，y)到两条渐近线的距离之积为×＝＝＝.故选B. 4．已知抛物线y2＝4x上两点A，B满足·＝5(O为坐标原点)，且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点(　　) A．(5，0) B．(1，0) C．(3，0) D．(2，0) 答案：A 解析：设A，B，则lAB：x＝＋，即x＝y－，又因为·＝＋y1y2＝5，解得y1y2＝4(舍)或y1y2＝－20，则直线过点.故选A. 5．(2024·山东淄博高二质量检测)双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若＝2，且cos∠F1BF2＝，则直线A1B与A2B的斜率之积为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意结合双曲线定义可知且＝2，不妨设＝m，则＝2m，＝m＋2a，＝－|AB|＝2a－m，＝4a－m.在△ABF2中，cos∠F1BF2＝，由余弦定理得2＝|AB|2＋|BF2|2－2|AB|·|BF2|·cos∠F1BF2，即(4a－m)2＝4m2＋m2－4m2×，即3m2＋8am－16a2＝0，解得m＝a.在△F1BF2中，由余弦定理得2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos∠F1BF2，即4c2＝(m＋2a)2＋m2－2(m＋2a)m×，即8c2＝3m2＋6ma＋8a2，结合m＝a，即得3c2＝8a2，故得3(a2＋b2)＝8a2，即3b2＝5a2.又可设B(x0，y0)，则－＝1，所以y＝(x－a2)，而A1(－a，0)，A2(a，0)，故kA1B·kA2B＝·＝＝＝.故选A. 6．(多选)已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，直线l交抛物线于A，B两点，若·＝－4，则下列结论中正确的是(　　) A．y1y2＝－8 B．直线l过定点 C．S△AOB的最小值为2 D．＋的最小值为2 答案：ABD 解析：设直线l的方程为x＝my＋n，联立得y2－4my－4n＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，又·＝－4，则x1x2＋y1y2＝－4，即＋y1y2＝－4，所以y1y2＝－8，x1x2＝4，则－4n＝－8，即n＝2，所以直线l的方程为x＝my＋2，则直线l过定点，故A、B正确；S△AOB＝×2×＝＝＝4≥4，当m＝0时，等号成立，即S△AOB的最小值为4，故C错误；因为x1x2＝4，则＋＝x1x2＝(x2＋4x1)≥×2＝2，当且仅当x2＝4x1，即x1＝1，x2＝4时，等号成立，故D正确．故选ABD. 7．以抛物线y2＝4x上任意一点P为圆心，P到直线x＝－1的距离为半径的所有的圆过定点________． 答案：(1，0) 解析：根据抛物线的定义可知，P到直线x＝－1的距离等于P到抛物线焦点F的距离，即F到圆心的距离总等于半径，所以F在以P为圆心，P到直线x＝－1的距离为半径的所有的圆上，由抛物线方程y2＝4x可知F(1，0)． 8．已知双曲线C：－＝1，A1，A2分别为C的上、下顶点，点P为C上异于A1和A2的一点，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝，则C的渐近线方程为__________________． 答案：y＝±x 解析：设P，则－＝1，即y＝a2，所以y－a2＝a2，解得y－a2＝；由k1＝及k2＝，得k1k2＝＝；又k1k2＝，所以＝，所以C的渐近线方程为y＝±x. 9．P，Q是椭圆＋＝1上两点，且∠POQ＝，则＋＝________． 答案：＋ 解析：当OP或OQ中有一条直线的斜率不存在时，不妨令OQ的斜率不存在，则Q或Q，此时OP的斜率为0，则P或P，所以＋＝＋，当OP，OQ的斜率都存在且不为0时，设OP方程为y＝kx(k≠0)，则OQ方程为y＝－x，联立可得x＝，所以2＝(1＋k2)·x＝，同理可得2＝＝，于是＋＝＝＝＋，综上可得＋＝＋. 10．(10分)已知双曲线－y2＝1的渐近线倾斜角分别为30°和150°，F为其左焦点，P为双曲线右支上一个动点． (1)求双曲线方程； (2)过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为Q，R，求证：|PQ|·|PR|为定值． 解：(1)双曲线渐近线方程为y＝±x，又b＝1， 所以a2＝3， 双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)证明：设P(x0，y0)，两渐近线方程为x－y＝0，x＋y＝0， 则|PQ|·|PR|＝·＝， 又－y＝1，即x－3y＝3，所以|PQ|·|PR|＝为定值． 11．(5分)(多选)(2024·河南南阳高二联考)已知曲线C：＋＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若m＝n>0，则C是圆，半径为 B．若m<0，n>0，且m＝－2n，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x C．若m>0，n>0，且m＝2n，则C是椭圆，若A1，A2是曲线C的左、右顶点，P是曲线C上除A1，A2以外的任意一点，则kPA1·kPA2＝－ D．若m>0，n<0，则C是双曲线，若P是曲线C上的任意点，则P到两条渐近线的距离之积为 答案：ACD 解析：对于A，m＝n>0时，x2＋y2＝n表示圆，半径为，故A正确；对于B，因为m＝－2n，所以双曲线方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故B错误；对于C，m＝2n，则方程＋＝1表示椭圆，A1(－，0)，A2(，0)，设P(x0，y0)，则＋＝1，kPA1·kPA2＝＝＝＝－，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则－＝1，则有－nx－my＝－mn，点P(x0，y0)到一条渐近线y＝x的距离为，同理P(x0，y0)到另一条渐近线y＝－x的距离为，所以距离之积为×＝＝＝，故D正确．故选ACD. 12．(5分)已知双曲线C：－＝1与双曲线x2－＝1有相同的渐近线，P是双曲线C右支上任一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若的最小值是，则当取最小值时，△OMP的面积是________． 答案： 解析：由题意，得双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，则b2＝3a2，所以双曲线C：－＝1，即3x2－y2＝3a2.由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，PM⊥OM，PN⊥ON，得∠MPN＝.设P，则3x－y＝3a2，由点到直线的距离公式得·＝·＝＝.在△PMN中， ＝ ＝ ≥＝a＝，所以a＝，当且仅当＝＝时取等号，此时P，在Rt△OMP中，OM＝＝＝，所以△OMP的面积为·＝××＝. 13．(15分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p>0)上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)若直线l：x＝my＋t交抛物线于A，B两点(位于对称轴异侧)，且·＝，求证：直线l必过定点． 解：(1)由题可知，点P到抛物线准线的距离为5， 因为抛物线的准线方程为x＝－，点P的横坐标为4，所以4＋＝5，解得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)证明：设A，B，且y1y2<0， 联立消去x可得y2－4my－4t＝0， 则Δ＝16m2＋16t>0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t<0，即t>0， 所以x1·x2＝·＝＝t2， 由·＝，得x1x2＋y1y2＝， 即t2－4t＝， 解得t＝－<0(舍)或t＝，故直线l的方程为x＝my＋， 所以直线l必过定点. 14．(5分)过抛物线y2＝2px的对称轴上的定点M(m，0)，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，设这三条直线AN，MN，BN的斜率依次为k1，k2，k3，则下列关系式正确的是(　　) A．k2＝k1＋k3 B．2k2＝k1＋k3 C．k＝k1k3 D．k2＝k1k3 答案：B 解析：设A，B，N，直线AB的方程为x＝ty＋m，将直线AB的方程与y2＝2px联立，消去x得y2－2pty－2pm＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－2pm.又kAN＝，kBN＝，所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝2p＝2p·＝2p·＝2p·＝－，又kMN＝－，所以kAN＋kBN＝2kMN，即2k2＝k1＋k3.故选B. 15．(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且＝，直线l过点F1且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知＝，＝，若直线AM，BN交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 解：(1)设F1，F2，(c>0)， 则＝＝， 则(c＋1)2＝4，解得c＝1(c＝－3舍去)， 则a2－b2＝1，① 代入点P得＋＝1，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)依题意，M，N， 设直线l：x＝my－1，联立整理得y2－6my－9＝0， Δ＝36m2＋36＝144>0. 设A，B， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以2my1y2＋3＝0. 可设直线AM：y＝，直线BN：y＝， 方法一：联立 得xD＝2 ＝2 ＝2 ＝2＝－4， 故点D在直线x＝－4上． 方法二：故＝＝＝＝＝， 解得xD＝－4， 故点D在直线x＝－4上． 学生用书↓第116页 学科网（北京）股份有限公司 $