第二章 重点题型强化（四） 离心率的计算-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦圆锥曲线离心率这一核心知识点，系统梳理定义法（椭圆双曲线定义）、几何法（焦点三角形、中位线等几何关系）、齐次式法（a,b,c齐次方程）等求法及最值范围问题，通过例题解析、方法技巧总结、对点练习构建完整学习支架。 资料以直观想象（几何图形分析）、逻辑推理（定理定义应用）、数学运算（规范解析过程）为核心素养导向，如定义法例题结合双曲线焦点三角形余弦定理，几何法借助中位线转化关系。课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题解析与测评查漏补缺，强化知识应用能力。

[学习目标] 知识层面 1.掌握圆锥曲线的离心率求法．　2. 会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 素养层面 借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 技法一　定义法求离心率 (1)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且＝5，＝3，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C． D． (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为 的直线l与C在x轴上方的交点为A，若＝，则C的离心率是________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)设双曲线C的半焦距为c.由题意，点P在双曲线C的右支上，＝5，＝3，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝－，解得＝7，即2c＝7，c＝，根据双曲线定义得－＝2a＝2，解得a＝1，故双曲线C的离心率e＝＝.故选D. (2)由题意得＝＝2c，则＝2a－2c，在△AF1F2中，tan∠AF1F2＝，则cos∠AF1F2＝，由余弦定理得2＝2＋2－2cos∠AF1F2, 即(2a－2c)2＝4c2＋4c2－7c2，解得e＝＝. 方法技巧 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.　　 对点练1．(1)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若∶∶＝1∶2∶2，则C的离心率为________________________________________________________________________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由题意可知解得所以椭圆的离心率e＝＝.故选A. (2)如图所示：因为M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若|NF1|∶|MN|∶|MF2|＝1∶2∶2，由双曲线的定义，可得2a＝|MF1|－|MF2|＝|NF1|＋|MN|－|MF2|＝|NF1|，|NF2|－|NF1|＝2a，则|NF2|＝2a＋|NF1|＝4a，所以|MN|＝|MF2|＝2|NF1|＝4a＝|NF2|，故△MNF2为等边三角形，则∠F1MF2＝，在△MF1F2中，|MF1|＝6a，|MF2|＝4a，∠F1MF2＝，由余 弦定理可得2c＝|F1F2|＝＝＝2a，因此双曲线C的离心率为e＝＝. 技法二　几何法求离心率 (1)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________________________________________________________________________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)如图所示，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝，则e＝＝·＝.故选A. (2)根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则解得又因为|F1F2|＝2c，所以|PF2|最小．在△PF1F2中，由余弦定理，得＝cos 30°，所以2ac＝3a2＋c2.等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝. 方法技巧 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． 对点练2．设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，满足＝，·＝0，则双曲线的离心率e＝________． 答案：2 解析：设点B位于第一象限，如图所示，因为＝，则A为线段F1B的中点，又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B，因为·＝0，则F1B⊥F2B，所以OA⊥BF1，所以＝，则∠AOF1＝∠AOB，又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，可得∠BOF2＝，易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan＝，因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2. 学生用书↓第101页 技法三　齐次式法求离心率 (1)椭圆＋＝1中，点F2为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|＝2b，则C的离心率为________． 答案：(1)B　(2) ＋2 解析：(1)设c为椭圆的半焦距，由题意可得A，F2，由对称性可设B，则＝，＝，因为⊥，所以·＝－ac＋b2＝0，所以a2－c2－ac＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍)．故选B. (2)如图所示，设直线方程为y＝，与双曲线方程－＝1(a>0，b>0)联立，解得x＝，y＝－，因为|AB|＝2b，所以2×＝2b，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋2. 方法技巧 根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可．此时要注意椭圆的离心率e满足0<e<1，双曲线的离心率e满足e>1.　　 对点练3．(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交点为A，若cos∠AOF＝，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． (2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，·＝0，cos∠BAF＝，则椭圆的离心率为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意可知cos∠AOF＝，且∠AOF为锐角，故sin∠AOF＝＝，而|OA|＝|OF|＝c，故A，将A代入C：－＝1(a>0，b>0)中，得－＝1，结合b2＝c2－a2整理得13c4－98a2c2＋49a4＝0，即13e4－98e2＋49＝0，解得e2＝7，或e2＝，由于双曲线离心率e>1，故舍去e2＝，故e＝.故选D. (2)依题意＝，＝a＋c，因为cos∠BAF＝，所以tan∠BAF＝， 所以＝，因为a2＝b2＋c2，所以＝，所以7a2－12c2－5ac＝0，因为e＝∈，所以12e2＋5e－7＝0，解得e＝. 技法四　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] (2)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，所以≤a，解得e≤.又e>1，所以1<e≤.故选D. (2)由题意得，2c＝＝4.所以c＝2，2a＝＋，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点A(－2，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(x，y)，则解得所以A′(－3，1)，则2a＝＋＝＝，所以当a＝时，椭圆有最大离心率，此时e＝＝＝.故选B. 方法技巧 求离心率范围的常用思路 1．通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围． 2．通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．　　 对点练4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为(　　) A． B． C．(1，] D． 答案：A 解析：设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则QF1＝QF2，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝<2，由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2<＝45°，则cos∠PF1F2＝>cos45°，即>，即e＝>，所以C的离心率的取值范围为.故选A. 课时测评26　离心率的计算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意得，2a＝4b，所以＝，所以e＝＝＝＝.故选D. 2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 答案：D 解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)，得渐近线为y＝±x，因为其中一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则·＝－1，得＝2，故e＝＝.故选D. 3．已知椭圆＋＝1的焦距大于2，则其离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c.因为m>4，所以a2＝m，b2＝4，则2c＝2＝2>2，解得m>5，此时e2＝＝＝1－>1－＝，所以e∈.故选C. 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 答案：A 解析：由题意，在双曲线C: －＝1(a>0，b>0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，由题意可知F(c，0)，B，N，因为M是BF中点，则M，可得＝，＝，且O，M，N三点共线，则∥，可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝. 故选A. 5．椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的焦点F1，F2，记椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，则下列关系式一定正确的是(　　) A．e1e2＝1 B．e2＝2e1 C．e－e＝1 D．e＋e＝2ee 答案：D 解析：由椭圆与双曲线焦点相同，即参数c相同，而e＝，e＝，又a－4＝c2＝a＋4，由＋＝＋＝＋＝2，所以e＋e＝2ee.当e1e2＝1，则e＋＝2，此时e1＝e2＝1不合要求；当e2＝2e1，则5e＝8e⇒e＝，e＝，不一定成立，不合要求；当e－e＝1，则2e＋1＝2e＋2e⇒e＝，e＝1＋，不一定成立；综上A不成立，BC不一定成立，D一定成立．故选D. 6．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1 C．＝ D．△PF2Q的周长为2 答案：AC 解析：由题意得2b＝2，所以b＝1，因为＝，a2＝1＋c2，解得c2＝2，a2＝3，因为焦点F1，F2在y轴上，所以椭圆C的方程为＋x2＝1，故A正确，B错误；不妨设F1，则P，Q两点的纵坐标也为，在＋x2＝1中令y＝，解得x＝±，所以不妨令P，Q，所以PQ＝，故C正确；根据椭圆的定义可知，△PF2Q的周长为4a＝4，故D错误．故选AC. 7．椭圆C：＋＝1(b>0)其中一个顶点坐标为(－2，0)，则椭圆C的离心率为________． 答案： 解析：由题意得，＋＝1(b>0)，则b2＝1，a2＝4b2＝4，所以c2＝a2－b2＝3，则e＝＝＝. 8．(开放题)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝x与C无公共点”的e的一个值为________． 答案：2(注：填区间内任何一个值均可) 解析：由题意可知双曲线的渐近线为y＝±x，离心率e>1，若满足直线y＝x与C无公共点，则需≤⇒≤3⇒e2－1≤3⇒1<e≤2. 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为椭圆上一点，∠F1MF2＝60°，若点F2到直线MF1的距离为a，则椭圆的离心率为__________． 答案： 解析：如图，＝a，因为∠F1MF2＝60°，所以＝，＝a，因为＋＝2a，所以|MF1|＝2a－|MF2|＝a，进而＝|MF1|－|MH|＝a－a＝a，又因为2＋2＝2，即a2＋2＝4c2，化简得a2＝3c2，所以e＝. 10．(10分)已知M是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若－＝2. (1)求双曲线C的离心率； (2)当·<0时，求y0的取值范围． 解：(1)由－＝2可得2a＝2，所以a＝， 故c＝＝2，离心率为＝＝. (2)因为F1(－2，0)，F2，M， 所以·＝·＝·＋2＝x＋y－4， 由于－y＝1，所以·＝x＋y－4＝3y＋y－1＝4y－1<0，即y<， 解得－<y0<. 11．(5分)(2024·九省适应性测试)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，＝2，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 答案：D 解析：由双曲线的对称性可知＝，＝，则四边形AF1BF2为平行四边形，令＝＝m，则＝＝2m，由双曲线定义可知－＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即＝＝m＝2a，＝＝4a，·＝·cos∠AF2B＝4a×2acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，则有cos∠F2BF1＝ ＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D. 12．(5分)设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得＋＝2a1，－＝2a2，＝a1＋a2，＝a1－a2，设＝2c，∠F1PF2＝60°，则在△PF1F2中由余弦定理得2＝2＋2－2·cos F1PF2，即4c2＝2＋2－2·cos60°，化简得a＋3a＝4c2，所以＋＝4(0<e1<1，e2>1)，又因为双曲线的离心率为e2＝，所以椭圆的离心率为e1＝. 13．(15分)如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围． 解：由题意可知A，B， 则直线AB方程为＋＝1，整理得bx＋ay－ab＝0， 若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2， 则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB有公共点， 即O点到直线AB的距离d≤＝＝c， 所以≤c，即a2b2≤a2c2＋c2b2， 又a2－b2＝c2， 所以a2≤a2c2＋c2， 整理得2≤a2c2，即a2－c2≤ac， 又由e＝且0<e<1可得e2＋e－1≥0， 解得e∈. 14．(5分)(多选)已知双曲线C过点且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．双曲线C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点 答案：ABC 解析：由题意可设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，因为双曲线C过点，所以×32－2＝λ，即λ＝1，则双曲线C的方程为－y2＝1，故A正确；由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，则离心率为e＝＝＝，故B正确；双曲线的右焦点坐标为，满足y＝ex－2－1＝x－2－1，故C正确；由消去x整理得y2－2y＋2＝0，由Δ＝2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，故D错误．故选ABC. 15．(15分)已知椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且＝4，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2－e1的取值范围． 解：设＝m，＝n，＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1， 由双曲线的定义可得m－n＝2a2，解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 由＝4，可得n＝c，即a1－a2＝c， 由e1＝，e2＝，可得－＝－＝＝， 由0<e1<1，可得>1，可得>，即1<e2<2， 则e2－e1＝e2－＝，设2＋e2＝t， 则＝＝t＋－4，由于函数f＝t＋－4在上递调递增， 所以f∈， 即e2－e1的取值范围为. 学生用书↓第102页 学科网（北京）股份有限公司 $