第二章 重点题型强化（三） 与圆有关的最值问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

[学习目标] 知识层面 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题．　2.初步了解代数方法处理几何问题的思想. 素养层面 通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　与距离有关的最值 (1)已知点P是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上一点，点Q(－1，5)，则线段PQ长度的最大值为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 (2)过圆2＋y2＝1外一直线l：y＝x＋2上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为________． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(2，1)，半径2，由点Q(－1，5)，则＝＝5>2，即点Q在圆外，则max＝＋r＝5＋2＝7.故选C. (2)如图所示，过直线l：y＝x＋2上任意一点P作圆Q：2＋y2＝1的切线，设切点为R， 由题意圆Q：2＋y2＝1的圆心坐标为Q，半径为r＝1，则切线长＝＝＝，若要切线长最小，则只需最小即可，而的最小值即为点Q到直线l：y＝x＋2的距离，因此的最小值为d＝＝，从而切线长的最小值为min＝＝＝. 　　方法技巧 与距离有关的最值问题 类型 最值 图示 圆外一点到圆上任意一点距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长 最小值＝2，最大值＝2r 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值＝ 对点练1．(1)(2024·贵州铜仁高二质量监测)已知直线l：x＋y－2＝0和圆O：x2＋y2＝1，若点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为(　　) A．－1 B．＋1 C． D．2 (2)(2024·重庆高二月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　) A．0 B．2 C．2 D．4 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)圆O：x2＋y2＝1的圆心O，r＝1，所以O点到直线l：x＋y－2＝0的距离为d＝＝>r，知直线l与圆O相离，由点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为d－r＝－1.故选A. (2)根据题意，圆C：x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4，圆心C的坐标为(2，0)，半径r＝2，直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0，即m(x－y)＋(－2x＋y＋1)＝0，由解得则直线l恒过定点M(1，1)，又(1－2)2＋12＝2<4，即点M(1，1)在圆C内，所以当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，此时|CM|＝＝，则|AB|的最小值为2＝2.故选C. 题型二　与面积有关的最值 (1)已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一点，则△PAB的面积的最大值为(　　) A．＋1 B．2＋2 C．－1 D．2－2 (2)已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：(1)A 　(2)A 解析：(1)把圆D：x2＋y2＋2x－3＝0变形为(x＋1)2＋y2＝4，则圆心D，半径r＝2，圆心D到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝2，则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d＋r＝2＋2，又＝1，所以△PAB的面积的最大值为××1＝＋1.故选A. (2)如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，所以|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝32－4(|OP|2＋|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD|＝时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最大值为5.故选A. 方法技巧 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．　　 学生用书↓第76页 对点练2．过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案：D 解析：由题意，圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，故的最小值是3，又因为＝1，则＝≥2，故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值是2.故选D. 题型三　利用代数式的几何意义求解最值 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最值； (2)y－x的最值； (3)x2＋y2的最值． 解：原方程可化为2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，如图①所示，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图②所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±， 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是2＝7＋4，x2＋y2的最小值是2＝7－4. 方法技巧 1．(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2．求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解． 对点练3．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0， 由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝， 所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2， 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5， 所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示， 显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值， 此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2， 所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 课时测评20　与圆有关的最值问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．过点P的直线l与圆E：(x－1)2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦长的最小值是(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案：B 解析：由已知可得圆心E，半径r＝2.因为＝＝<r，所以点P在圆内．所以当EP⊥l时，弦心距最大，弦长最小．所以弦长的最小值是＝2＝2＝2.故选B. 2．若P是圆M：x2＋2＝4上的动点，则2＋2的最大值为(　　) A．5 B．25 C．7 D．49 答案：D 解析：求2＋2的最大值可转化为点(－3，－1)到圆心M的距离加上圆M的半径2，然后再把所得的值平方，所以最大值为(＋2)2＝49.故选D. 3．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0被直线2ax－by＋2＝0平分，则＋的最小值为(　　) A． B． C．4 D．9 答案：D 解析：由题意知，圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0被直线2ax－by＋2＝0平分，即圆心(－1，2)在直线2ax－by＋2＝0上，故－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，结合a＋b＝1，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为9.故选D. 4．若点A，B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2，P为AB的中点．Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动，则的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：因为点A，B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，＝2，所以AB中点P到圆心C1(2，0)的距离为＝1，由圆的定义可知，点P的运动轨迹为以C1(2，0)为圆心，半径为1的圆(x－2)2＋y2＝1，又因为Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动，所以的最小值为－1－1＝2.故选B. 5．已知AB是圆x2＋y2＝2的直径，点P是圆(x－a＋1)2＋(y－a－1)2＝1的圆心，则·的最小值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．0 答案：D 解析：由点P是圆(x－a＋1)2＋(y－a－1)2＝1的圆心，则点P为直线x－y＋2＝0上的任意一点，又·＝·＝2＋·＋·＝2－2，所以当最小时，·的取值最小，所以的最小值是圆心O到直线x－y＋2＝0的距离，即min＝＝，所以min＝2－2＝0.故选D. 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知P，A，B是圆C：x2＋2＝36上的两个动点，满足＝，下列结论正确的是(　　) A．直线AB的倾斜角是 B．直线AB的倾斜角是 C．最大时，△PAB的面积是3 D．最大时，△PAB的面积是6 答案：AD 解析：因为＝，所以P在AB的垂直平分线上，又AB是圆C的弦，圆心C也在AB的垂直平分线上 ，则PC⊥AB，kPC＝＝－，所以AB的斜率为，直线AB的倾斜角为.当AB过圆心C，即AB为直径时，＝12 ，此时△PAB的高为PC，且＝1，S△PAB＝··＝×12×1＝6.故选AD. 7．已知点P在圆O：x2＋y2＝1运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是________． 答案：4＋2 解析：如图，由题可知，圆心为点O，半径为R＝1，若直线l：x＋y－4＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则O：x2＋y2＝1始终在以AB为直径的圆内或圆上，点O到直线l的距离为d＝＝2，所以AB长度的最小值为2＝4＋2. 8．已知实数x，y满足：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，则的取值范围是__________． 答案：[6－，6＋] 解析：方法一：因为(x＋2)2＋(y－1)2＝1，所以令x＋2＝cos θ，y－1＝sin θ，则x＝－2＋cos θ，y＝1＋sin θ，故|1－2x＋y|＝∣6＋sin θ－2cos θ|＝|6＋∣＝，其中cos φ＝，sin φ＝，因为－≤sin(θ－φ)≤，所以6－≤6＋sin(θ－φ)≤6＋，所以6－≤6＋|sin(θ－φ)|≤6＋，故|1－2x＋y|的取值范围为[6－，6＋]． 方法二：因为圆心(－2，1)到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝，所以圆上的点到直线2x－y－1＝0的距离的取值范围为.又因为|1－2x＋y|＝|2x－y－1|＝·，所以|1－2x＋y|的取值范围是[6－，6＋]． 9．已知圆M：2＋2＝16，点N在直线l：3x＋4y－5＝0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的周长的最小值为________________________________． 答案：10＋2 解析：由圆M：2＋2＝16知圆心M(5，5)，半径r＝4，因为NP与圆M相切于点P，所以MP⊥NP，所以＝＝，所以越小，越小，当MN⊥l时，最小，因为圆心M到直线l的距离为＝6，所以的最小值为6，此时＝＝2，＋＋＝4＋6＋2，故△MNP的周长的最小值为10＋2. 10．(10分)已知圆C：x2＋y2－2y＝0，过直线l：x＋y＋1＝0上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A，B两点，点Q是圆C上的任意一点． (1)求点Q到直线l的距离的最大值； (2)求|AB|的最小值． 解：(1)圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心和半径分别为C，R＝1， 圆心C到直线l：x＋y＋1＝0的距离为d＝＝， 所以圆上的点Q到直线l的距离的最大值为R＋d＝1＋. (2)＝2sin∠APC＝2＝＝＝2＝2， 故当最小时，此时最小， 由(1)知的最小值为d＝，故min＝. 11．(5分)设P为直线l：x＋y＋1＝0的动点，PA为圆C：(x－2)2＋y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，则圆心坐标为C(2，0)，半径R＝1，则△PAC的面积S＝·＝，所以要使△PAC的面积最小，则|PA|最小，又＝＝，即最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d＝＝，|PA|min＝＝，即△PAC的面积的最小值为S＝×＝.故选C. 12．(5分)已知⊙O1：x2＋(y－2)2＝1，⊙O2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当|PM|＋|PN|取到最小值时，点P坐标为__________． 答案： 解析：如图所示：设P，则|PM|＋|PN|＝＋＝ ＋＝＋＝＋，取A，B(3，2)，则＋＝＋≥，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，此时kAB＝＝，直线AB的方程为y＋＝x，令y＝0，得x＝1，所以P. 13．(15分)在平面直角坐标系中，圆C经过点(3，0)和(0，1)，且圆心C在直线l1：2x＋y－1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l2：2x－y＋7＝0，P为l2上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB切点分别为A，B，求|PC|·|AB|的最小值，并求出此时直线AB的方程． 解：(1)设圆心C的坐标为(a，b)，圆C的半径为r(r>0)， 则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2, 又圆C经过点(3，0)和(0，1)， 所以解得 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (2)根据切线的性质及圆的对称性可知PC⊥AB， 则|PC|·|AB|＝4S△PAC＝2|PA|·|AC|，要使|PC|·|AB|最小，只需|PA|最小， 即|PC|最小，此时PC⊥l2， 所以|PC|min＝＝2，|PA|＝＝＝， |PC|·|AB|＝2|PA|·|AC|≥2·＝10， 过点C且垂直于l2的方程为y＋1＝－(x－1)，将其与l2的方程联立，解得P(－3，1)， 以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝15， 即x2＋y2＋6x－2y－5＝0， 结合圆C的方程，两式相减可得直线AB的方程为4x－2y－1＝0. 14．(5分)(新角度)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M，N，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是(　　) A．2 B．6 C．2或6 D．1或3 答案：A 解析：由题意知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆与x轴的切点，已知M，N，则线段MN的中点坐标为，直线MN的斜率为＝1，线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.所以以线段MN为弦的圆的圆心在直线x＋y－4＝0上，所以可设圆心坐标为C，又因为圆与x轴相切，所以圆C的半径r＝，又因为＝r，所以2＋2＝2，解得a＝2或a＝－6，即切点分别为P和P′，两圆半径分别为2，10.由于圆上以线段MN(定长)为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，且过点M，N，P′的圆的半径比过M，N，P的圆的半径大， 所以∠MP′N<∠MPN，故点P为所求，所以当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是2. 故选A. 15．(15分)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4，圆心C在直线y＝x上，且被直线x＋y＝2截得的弦长为2. (1)求圆C的方程； (2)若a≤0，已知点A(－2，2)，B(－2，6)，C(4，－2)，当P在圆C上运动时，记|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值和最小值分别为M和m，求M＋m的值． 解：(1)圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4，所以圆心C(a，b)，半径为2， 圆心C在直线y＝x上，故a＝b， 所以圆心到直线x＋y＝2的距离d＝， 直线x＋y＝2截得的弦长为2， 所以2＝2， 解得d＝＝，a＝0或a＝2. 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，或x2＋y2＝4. (2)若a≤0，则圆C：x2＋y2＝4. 当P在圆C上运动时，设P， 则PB|2＋|PC|2＝2＋2＋2＋2＋2＋2 ＝3－12y＋68＝12＋68－12y＝80－12y， P在圆C上，故－2≤y≤2， 所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值M＝80＋24＝104， |PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值m＝80－24＝56， 所以M＋m＝160. 学生用书↓第77页 学科网（北京）股份有限公司 $