2.2.2 直线的方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

2.2.2　直线的方程 　 第二章　2.2　直线及其方程 知识层面 1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．　 2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．　 3.灵活选用恰当的方式求直线方程. 素养层面 通过直线方程的学习，培养数学抽象核心素养；通过直线方程适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1．(1)在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？斜率为k的直线有多少条？ 问题导思 提示：无数条；无数条． (2)在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 提示：有且只有一条． 问题2．(1)如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试用点斜式写出l的方程． (2)给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么kPP1与kP1P2有什么关系？ 问题3．(1)平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以．直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 知识点一　直线的点斜式方程 新知构建 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 _________________ 适用条件 斜率存在 y－y0＝k(x－x0) 知识点二　直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 定义：若直线l与y轴的交点(0，b)，则称l在y轴上的截距为b. 符号：可正，可负，也可为零． 2．直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 __________ 适用条件 斜率存在 y＝kx＋b 1．直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0＝0时的特殊情况．斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在． 2．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程． 3．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数．当直线l与y轴正半轴相交时，截距b>0；当直线l与y轴负半轴相交时，截距b<0；当直线l经过原点时，截距b＝0.但并非所有的直线都与y轴有交点，当直线l与y轴平行时，l在y轴上没有截距． 4．当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，这时其方程可以表示为x＝x1(x1为直线与x轴交点的横坐标)． 5．方程y＝kx＋b中，y的系数是1，x的系数是k，常数项是b.k，b有明显的几何意义，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴交点的纵坐标，即在y轴上的截距．　　 微提醒 知识点三　直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 _____________ 适用条件 斜率存在且不为零 知识点四　直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式   _______________ 适用条件 斜率存在且不为零，直线l不过原点 2．对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． 3．直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即两点式方程不适用于直线的斜率不存在(x1＝x2)及斜率为零(y1＝y2)的情况． 4．把直线的两点式方程化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，则该方程表示过平面内任意已知两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线．　　 微提醒 知识点五　直线的一般式方程 1．定义：关于x，y的二元一次方程_________________．(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． Ax＋By＋C＝0 当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列关系时，这条直线有以下性质： 1．当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交； 2．当A≠0，B＝0，C≠0时，直线与y轴平行； 3．当A＝0，B≠0，C≠0时，直线与x轴平行； 4．当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； 5．当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 微提醒 1．下面说法中，正确的是 A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示 D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 A错，直线斜率不存在时，不能用点斜式表示直线方程；C错，a，b中有一个或两个都为0时，不能用截距式表示直线方程；D错，斜率不存在时，不能用斜截式表示直线方程． √ 自主检测 2．直线方程为y＋2＝2x－2，则 A．直线过点(2，－2)，斜率为2 B．直线过点(－2，2)，斜率为2 C．直线过点(1，－2)，斜率为 D．直线过点(1，－2)，斜率为2 把直线方程写成点斜式方程：y－(－2)＝2(x－1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2. √ 3．已知A(3，0)，B(0，4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是 A．2 B．3 C．8 D．12 √ 4．直线y－2＝－ (x＋3)的倾斜角是_____，在y轴上的截距是_______． 因为直线斜率为－ ，所以倾斜角为120°， 120° 返回 合作探究 返回 题型一　求点斜式方程 　 (链教材P85例1、例2)求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ x的倾斜角的2倍； 思路点拨　求出斜率，再根据已知点写出点斜式方程． 所以所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 . 所以所求直线方程为y＋3＝ (x－2)， 例1 (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； 解：与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 方法技巧 求直线的点斜式方程的步骤 对点练1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2； 解：由点斜式方程得y－4＝2(x－3)． (2)与x轴平行； 解：与x轴平行时，k＝0， 所以y－4＝0×(x－3)，即y＝4. 与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. (3)与x轴垂直． 题型二　求斜截式方程 　 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 思路点拨　 结合截距、斜 率的几何意义 → 明晰各题中直 线的截距、斜率 → 写出直线的 斜截式方程 解：由直线的斜截式方程可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. 例2 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 解：因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－ ， 由斜截式可得直线方程为y＝ －x－2. (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝ . 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 方法技巧 求直线的斜截式方程 1．先求参数k和b，再写出斜截式方程． 2．斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． 3．b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．　　 √ 题型三　求两点式方程 　 (链教材P86例3)(1)已知三角形的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)．求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． 思路点拨　 (1) 利用两点式求AC 边所在直线的方程 → 求AC 的中点 → 与点B结合，利用两点式 写出中线所在直线的方程 设边AC的中点为D(x，y)， 例3 此为AC边上的中线所在直线的方程． (2)求过点A(2，1)和点B(a，2)的直线方程． 思路点拨　 (2) 解：①当a＝2时，A，B两点的横坐标均为2，直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为x＝2，即x－2＝0. 整理得x＋(2－a)y＋a－4＝0.　(*) 又当a＝2时，(*)式可化为x－2＝0， 所以综合①②可知， 所求直线方程为x＋(2－a)y＋a－4＝0. 方法技巧 由两点式求直线方程的步骤 1．设出直线所经过点的坐标． 2．根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． 3．由直线的两点式方程写出直线的方程．　　 对点练3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； 即x＋2y－4＝0. (2)BC边上的中线AD所在直线的方程． 所以D(0，2)． 题型四　求截距式方程 　　(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 思路点拨　 例4 解：设直线在x轴、y轴上的截距都为a. 直线方程为x＋y－1＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. (2)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：①当截距均为零时，由(1)知，l的方程为3x＋4y＝0. 故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0. (3)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． 解：当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括： ①两截距均为零，即3x＋4y＝0. ②两截距均不为零且相等，即x＋y－1＝0. ③两截距均不为零且相反，即x－y－7＝0. 故所求l的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 方法技巧 利用截距式求直线方程的注意事项 1．下列三种情况，不能用截距式表示直线： (1)k不存在．(2)k＝0.(3)直线过原点． 2．(1)截距相等且不为0，可设直线方程为：x＋y＝a. (2)截距相反且不为0，可设直线方程为：x－y＝a. (3)截距均为0，可设直线方程为：y＝kx.　　 对点练4．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点A(6，－2)，则直线l的方程为___________________________． x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0 题型五　求一般式方程 　 (1)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝____；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝____． 例4 思路点拨　 一般式方程 → 化成斜截式方程或截距式方程 → 建立关于参数的方程(或不等式) → 求解即得参数的值(或取值范围) 5 1 例5 (2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围是____________． 将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. 若l不经过第二象限， 所以a≤－1. (－∞，－1] 方法技巧 1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．　　 对点练5．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是 且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 易错点　忽略了直线方程成立的条件致错 　　 求过点M(m，0)和点N(2，1)的直线方程． 正解　当m＝2时，过点M(m，0)和点N(2，1)的直线的斜率不存在，直线方程为x＝2； 又直线过点N(2，1)， 综上，当m＝2时，所求的直线方程为x＝2； 典例 易错精析 易错探因　解本题时容易忽略m－2＝0，即m＝2的情形，此时直线的斜率不存在． 误区警示　用点斜式求直线的方程时，要讨论斜率的存在性，注意方程成立的条件． 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．将直线y＝x＋1绕着其上一点(3，4)，逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为 A．y－4＝x－3 B．y－4＝ (x－3) C．y－4＝－(x－3) D．y－4＝－2(x－3) √ 逆时针旋转90°即与y＝x＋1垂直，由于y＝x＋1的斜率为1，则所求直线的斜率为－1，又因过点(3，4)，故直线方程为y－4＝－(x－3)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，即a>0，b<0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－ ，则直线l的方程为 ________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线 在y轴上的截距为____________． 把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，所以a＝－6，所以直线 方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．(一题两空)设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直 线PA的斜率为 ，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y ＋1＝0，则直线PB的方程为____________． 由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补，故kPB＝－kPA＝－ ； 因为PA的直线为x－y＋1＝0，所以kPA＝1，kPB＝－1.又x＝2时，y＝3，即直线PB过(2，3)，故PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0. x＋y－5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 解：证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)求满足下列条件的直线方程． (1)斜率为－2，经过点(3，4)； 解：斜率k＝－2，直线过点(3，4)，由直线的点斜式方程，得直线方程为y－4＝－2(x－3)，即2x＋y－10＝0. (2)斜率为3，在y轴上的截距是2； 解：斜率k＝3，直线在y轴上的截距是2，由直线的斜截式方程，得直线方程为y＝3x＋2，即3x－y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)经过两点(－2，－1)和(－1，5)； 即6x－y＋11＝0. (4)经过两点(－4，0)和(0，2)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x－4y＝0 √ 当直线过点(0，0)时，直线方程为y＝ x，即x－4y＝0；当直线不过点(0，0)时，可设直线方程为x＋y＝a(a≠0)，把(4，1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； 若l在x轴和y轴上的截距都为0，则直线过原点，所以a＝2，方程即为3x＋y＝0. 所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围． 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不过第一象限， 解得－1≤a≤2. 综上，a的取值范围是[－1，2]． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为 A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0 C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)过点P(2，1)作直线l分别交x，y的正半轴于A，B两点． (1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程； 此时相应的直线l的方程为x＋2y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 提示：可以．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，B≠0时，y＝－x－；B＝0时，x＝－均表示直线． ＝ ＋＝1 1．y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)与＝(x1≠x2，y1≠y2)，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为 公式． 2－3 对点练2．一直线过点A(0，2)，它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是 A．y＝x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2 D．y＝x－2 所以其倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，则斜率k＝.直线过点A(0，2)，即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得直线的方程为y＝x＋2. 方法二：所求直线斜率为，过点A(0，2)，则点斜式方程为y－2＝(x－0)，即y＝x＋2. 解：过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，此为AC边所在直线的方程． ②当a＝0时，设l的方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0. ②当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＋＝1.把点(4，－3)代入得＋＝1，解得a＝7，l的方程为＋＝1，即x－y－7＝0. 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. 解：由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. 解：由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. 解：由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 3．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角为 A． B． C． D． 5．(多选)下列说法正确的是 A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1 B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为＋＝1 C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 y＝－x＋ － － 解：直线经过两点(－2，－1)和(－1，5)，由直线的两点式方程得，直线方程为＝， 解：直线经过两点(－4，0)和(0，2)，表明直线在x轴、y轴上的截距分别为－4和2，由直线的截距式方程，得直线方程为＋＝1，即x－2y＋4＝0. 12．(5分)若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a>0，则a＋b＝________． 若l在x轴、y轴上的截距相等且均不为0，l可化为截距式＋＝，则a＋1＝1， 解：显然直线l斜率存在且不过原点，由题意可设直线l的方程为＋＝1(a，b>0)， 由基本不等式可得＋＝1≥2，即ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号， 由基本不等式可得|OA|＋|OB|＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝＋1时取等号， $