第二章 重点题型强化（二） 对称与最值问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学对称与最值问题核心知识点，系统梳理中心对称（点点、点线、线线）和轴对称（点关于直线、直线关于直线）的基础类型，逐步过渡到利用对称解决距离和周长最值问题，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料通过一题多解（如中心对称三种求法）、方法技巧总结及“将军饮马”等实例，培养学生逻辑推理与数学运算素养。课中辅助教师分层教学，课后测评助力学生查漏补缺，直观想象素养在对称转化与图形分析中有效提升。

[学习目标] 知识层面 1.学会解决点点、点线、线线对称问题．　2.会应用对称问题解决最值问题. 素养层面 通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 题型一　对称问题 角度1　中心对称 (1)已知不同的两点P与Q(b＋1，a－1)关于点对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 (2)直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程为________． 答案：(1)C　(2)3x－y－10＝0 解析：(1)因为两点P与Q关于点对称，可得即解得a＝7，b＝－2，所以ab＝7×＝－14.故选C. (2)方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，所以3×4－2＋C＝0，所以C＝－10.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法技巧 中心对称问题的常见类型及解题策略 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)，本质是中点问题，所以可利用中点坐标公式求得，即由得 2．直线关于点对称 直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行；(2)直线l上的任意一点关于点P的对称点在直线l′上．直线l关于点P(x0，y0)的对称直线l′的方程的三种求法：①设直线l′上任意一点N(x，y)，则其关于点P(x0，y0)的对称点M的坐标为(2x0－x，2y0－y)，且点M在直线l上，将点M的坐标代入直线l的方程，化简即可得直线l′的方程．②求出直线l上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求直线l′的方程．③若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，点P(x0，y0)，可设直线l′的方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)．由点P到直线l和l′的距离相等，可列方程＝求解，进而可得直线l′的方程．　　 对点练1．(1)(2024·四川绵阳高二检测)直线l：4x＋3y－2＝0关于点A对称的直线方程为(　　) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 (2)在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________． 答案：(1)B　(2)(2，－7)或(－3，－5) 解析：(1)设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A对称的直线上任意一点P，则P关于A的对称点为，又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，所以4＋3－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B. (2)设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为.由题意知，AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，或AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，所以或 所以或故点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)． 角度2　轴对称 (1)(2024·江苏苏州高二月考)点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) (2)(2024·吉林长春高二期末)已知点A(2，0)与点B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　　) A．1，3 B．－，－ C．－2，0 D．，－ 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)设点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标为(x，y)，可得PQ中点坐标为， 利用对称性可得kPQ＝＝1，且＋－2＝0，解得x＝－2，y＝5，所以点Q的坐标为(－2，5)．故选B. (2)kAB＝＝－2，若点A(2，0)与点B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直，直线ax＋y＋b＝0的斜率是－a，所以(－a)·(－2)＝－1，得a＝－.又线段AB的中点(1，2)在直线ax＋y＋b＝0上，所以a＋2＋b＝0，得b＝－，故选B. 学生用书↓第59页 已知直线l：x－y－1＝0，l1：x－y＋3＝0，l2：2x－y－1＝0. (1)求直线l1关于直线l的对称直线l′1的方程； (2)求直线l2关于直线l的对称直线l′2的方程． 解：(1)因为l1∥l，所以l′1∥l. 设直线l′1的方程为x－y＋C＝0(C≠3，且C≠－1)． 在直线l1上取点M，设点M关于直线l的对称点为M′， 则解得 即点M′的坐标为. 把点M′的坐标代入直线l′1的方程，得4－＋C＝0，解得C＝－5， 所以直线l′1的方程为x－y－5＝0. (2)由得 所以l2与l的交点坐标为A. 另取l2上不同于A的一点B，设B关于l的对称点为B′， 则得 即点B′的坐标为. 所以过A与B′的直线l′2的方程为y＝×，即x－2y－2＝0. 方法技巧 轴对称问题的常见类型及解题策略 1．点关于直线对称 (1)基本方法：设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． (2)常见结论： ①点P(x0，y0)关于x轴的对称点为P′(x0，－y0)； ②点P(x0，y0)关于y轴的对称点为P′(－x0，y0)； ③点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)； ④点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P′(x0，2b－y0)； ⑤点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)； ⑥点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为P′(－y0，－x0)； ⑦点P(x0，y0)关于直线y＝x＋b的对称点为P′(y0－b，x0＋b)； ⑧点P(x0，y0)关于直线y＝－x＋b的对称点为P′(－y0＋b，－x0＋b)． 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点(除交点外)关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解；也可以求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，利用点斜式写出直线l2的方程． (3)常见结论： ①与直线Ax＋By＋C＝0关于x轴对称的直线的方程为Ax－By＋C＝0； ②与直线Ax＋By＋C＝0关于y轴对称的直线的方程为－Ax＋By＋C＝0； ③与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝x对称的直线的方程为Ay＋Bx＋C＝0； ④与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝－x对称的直线的方程为－Ay－Bx＋C＝0. 对点练2．(1)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是(　　) A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0 C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0 (2)点A与点B关于直线l对称，则直线l的方程为________________． (3)直线y＝2x＋1关于直线y＝2x＋3对称的直线方程为________________． 答案：(1)A　(2)x＋6y－16＝0　(3)y＝2x＋5 解析：(1)联立得取直线l1：x－2y－2＝0上一点，设点关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为，则解得直线l2的斜率k＝＝－，所以直线l2的方程为y＝－，整理为11x＋2y－22＝0.故选A. (2)直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为，kAB＝＝6，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－，即x＋6y－16＝0. (3)设所求直线方程为y＝2x＋b，且b≠1，直线y＝2x＋1与直线y＝2x＋3间的距离为＝，则直线y＝2x＋b与直线y＝2x＋3间的距离为＝，又b≠1，得b＝5，所以所求直线方程为y＝2x＋5. 学生用书↓第60页 题型二　最值(范围)问题 已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小，并求这个最小值； (2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大，并求这个最大值． 解：(1)设C关于直线l的对称点C′的坐标为(a，b)，则解得 即C′(－1，1)， 则AC′的直线方程为y＝1，联立 解得 即交点为P，此时|AP|＋|CP|最小，最小值为|AC′|＝＝4＋1＝5. (2)设B关于直线l的对称点B′的坐标为(m，n)，则解得得B′(3，3)， 直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0， 联立 解得即Q(2，5)， 由对称性知，|BQ|＝|B′Q|，|AQ|－|BQ|＝|AQ|－|B′Q|≤|AB′|(当且仅当Q，B′，A三点共线时取“＝”)， 所以l上的点Q(2，5)，是使||AQ|－|BQ||最大的点． 此时最大值为|AB′|＝＝. 方法技巧 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 对点练3．已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 解：由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5)． 由对称性可知，当P，Q在M1M2上时，△MPQ的周长|MP|＋|PQ|＋|MQ|＝|M1P|＋|PQ|＋|M2Q|有最小值． 由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P.令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q. 所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小． 课时测评15　对称与最值问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知点A(x，2)与B(－3，y)关于坐标原点对称，则x＋y等于(　　) A．5 B．1 C．－5 D．－1 答案：B 解析：由A(x，2)与B(－3，y)关于坐标原点对称，则x＝3，y＝－2，所以x＋y＝1.故选B. 2．已知直线l：y＝x＋1，则点P关于l的对称点的坐标为(　　) A．(－3，3) B．(3，3) C．(3，－5) D．(5，3) 答案：B 解析：方法一：设对称点P′(x0，y0)，线段PP′的中点为，则解得所以点P(2，4)关于直线l的对称点的坐标为(3，3)．故选B. 方法二：(速解)当x＝2时，y＝2＋1＝3；当y＝4时，4＝x＋1，即x＝3，所以点P(2，4)关于l的对称点的坐标为(3，3)．故选B. 3．与直线3x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为(　　) A．x－3y＋1＝0 B．3x＋y－1＝0 C．x＋3y＋1＝0 D．3x＋y＋1＝0 答案：B 解析：设P(x，y)为所求直线上任一点，则P(x，y)关于y轴对称的点为(－x，y)，由题意可得点(－x，y)在直线3x－y＋1＝0上，所以－3x－y＋1＝0，即3x＋y－1＝0，所以与直线3x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为3x＋y－1＝0.故选B. 4．两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 答案：C 解析：方法一：设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则解得(*)，因为点M′在直线3x－2y－6＝0上，所以将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．故选C. 方法二：(速解)求直线l1：3x－2y－6＝0关于l2：x－y－2＝0对称的直线只需将l1中的x换为y＋2，l1中的y换为x－2 ，所以所求的直线方程为3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，即2x－3y－4＝0.故选C. 5．已知直线l1：x＋my＋5＝0和直线l2：x＋ny＋p＝0，则l1、l2关于y轴对称，则(　　) A．＝ B．p＝－5 C．m＝－n且p＝－5 D．＝－且p＝－5 答案：C 解析：设与l1关于y轴对称的直线l2上任一点M(x，y)，则(－x，y)在l1上，即－x＋my＋5＝0，所以直线l2的方程为x－my－5＝0，所以m＝－n，p＝－5.故选C. 6．已知点P(－1，1)与直线l：x－y＋1＝0，下列说法正确的是(　　) A．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 B．过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条 C．点P关于直线l的对称点坐标为(0，2) D．直线l关于点P对称的直线方程为x－y－1＝0 答案：A 解析：已知点P(－1，1)与直线l：x－y＋1＝0.对于A，当截距为0时，直线y＝－x与直线l：x－y＋1＝0垂直；当截距相等且不为0时，可设直线：＋＝1，把P(－1，1)代入，无解．所以过点P且截距相等的直线y＝－x与直线l垂直．故A正确；对于B，过点P的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在，可设其为k，则直线为y－1＝k(x＋1)，所以三角形的面积为|1＋k|＝2，解得k＝1或k＝－3±2，所以符合题意的直线有3条．故B错误；对于C，设点P关于直线l的对称点坐标(x，y)，则有解得即点P关于直线l的对称点坐标为(0，0)．故C错误；对于D，设直线l关于点P对称的直线方程为x－y＋C＝0(C≠1)，则有＝，解得C＝3，即直线l关于点P对称的直线方程为x－y＋3＝0.故D错误．故选A. 7．将一张坐标纸折叠一次，使点(3，2)与点(1，4)重合，则折痕所在直线的一般式方程为__________． 答案：x－y＋1＝0 解析：因为点(3，2)与点(1，4)连线斜率k＝＝－1，所以折痕所在直线斜率k′＝1，又点(3，2)与点(1，4)的中点为(2，3)，所以折痕所在直线方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. 8．一条光线从点P(7，5)射入，经x轴反射后沿直线x－ay＋3＝0射出，则a＝________． 答案：－2 解析：点P(7，5)关于x轴对称的点为P′(7，－5)，由题意可知，反射光线经过点P′(7，－5)，将点P′(7，－5)的坐标代入方程x－ay＋3＝0得7＋5a＋3＝0，解得a＝－2. 9．如图，一束光线从A(3，4)出发，经过坐标轴反射两次经过点D(6，2)，则总路径长即|AB|＋|BC|＋|CD|总长为________． 答案：3 解析：设点A关于y轴的对称点为点M，点D关于x轴的对称点为点N，由光线反射知识可得M，B，C三点共线，N，C，B三点共线，故M，B，C，N四点共线，因为点A的坐标为(3，4)，点D的坐标为(6，2)，所以点M的坐标为(－3，4)，点N的坐标为(6，－2)，由对称的性质可得|AB|＝|MB|，|DC|＝|NC|，所以|AB|＋|BC|＋|CD|＝|MB|＋|BC|＋|CN|＝|MN|＝＝＝3，所以|AB|＋|BC|＋|CD|＝3. 10．(10分)已知直线l1：2x＋3y－2＝0和点A(3，0)，设l1关于点A对称的直线为l2. (1)求直线l2的方程； (2)求点A(3，0)关于直线l1的对称点B. 解：(1)设l2：2x＋3y＋m＝0(m≠－2)，从直线l1取点C(1，0)， 则C(1，0)关于A(3，0)的对称点为C′(5，0)， 把点C′(5，0)代入l2得到10＋m＝0，解得m＝－10， 故l2：2x＋3y－10＝0. (2)设B(a，b)，则A，B的中点，直线l1：2x＋3y－2＝0的斜率k1＝－， 故解得 故B. 11．(5分)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：B 解析：方法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，所以当k＝1时，dmax＝.故选B. 方法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝＝.故选B. 12．(5分)(新情境)(多选)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则下列结论正确的是(　　) A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5 答案：BD 解析：由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示： 则解得即B′(1，－3)．将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′，又A(2，4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误；设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x－y－10＝0与x＋y－3＝0的交点，联立两直线方程解得M，故B正确；将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又B(6，2)，所以直线BM的方程为x－7y＋8＝0，故C错误；总路程＋＝＋＝＝＝5，所以“将军饮马”的总路程为5，故D正确．故选BD. 13．(15分)在△ABC中，A(－2，1)，其中直线l1：x－y＋2＝0，l2：2x－4y＋5＝0是∠B和∠C的平分线． (1)求点A关于l1的对称点A′的坐标； (2)求直线BC的方程． 解：(1)设A′(a，b)，则解得所以A′. (2)设点A关于l2的对称点为A″(m，n)，则 解得所以A″； 因为l1，l2是∠B和∠C的平分线，所以A′，A″均在直线BC上， 所以直线BC的方程为y＝(x＋1)＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0. 14．(5分)(2024·北京海淀高二联考)已知点P，Q分别在直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋y－1＝0上，且PQ⊥l1，点A(－3，－3)，B，则|AP|＋|PQ|＋|QB|的最小值为________． 答案：＋ 解析：由平行线距离公式得|PQ|＝＝， 设P(a，－a－2)，则Q， 所以＋＋＝ ＋＋＝＋＋，设点M(a，a)，C(1，－3)，D(－1，0)，如图： 则有＋＝＋≥＝(当D，M，C三点共线时等号成立)．综上可知，|AP|＋|PQ|＋|QB|≥＋. 15．(15分)已知直线l：x－2y＋4＝0，点A(0，4)，点B(－2，－4)，点P(m，n)在直线l上移动． (1)求m2＋n2－2m＋2n的最小值； (2)求||PB|－|PA||的最大值，以及取最大值时点P的坐标． 解：(1)因为m2＋n2－2m＋2n＝(m－1)2＋(n＋1)2－2， 令d＝，则原式为d2－2， 点(1，－1)到直线x－2y＋4＝0的距离是d的最小值，即＝. 所以原式最小值为－2＝. (2)设A(0，4)关于直线l：x－2y＋4＝0的对称点为A′(a，b)， 则解得a＝，b＝. 所以||PB|－|PA||的最大值为 ＝6， A′B的方程为y＋4＝(x＋2)，即得y＝x－，联立解得即P(4，4)， 所以||PB|－|PA||的最大值为6，此时P(4，4)． 学生用书↓第61页 学科网（北京）股份有限公司 $