2.3.2 圆的一般方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开引入，通过问题链引导学生理解一般方程形式及表示圆的条件，结合微提醒、微思考构建标准方程与一般方程的联系，帮助学生掌握圆心半径求法。 资料以问题驱动结合题型分类，通过判断方程是否为圆、求三角形外接圆等实例，培养数学抽象与数学运算素养。课中助力教师分层教学，课后测评与易错点分析帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2．3.2　圆的一般方程 [学习目标] 知识层面 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．　2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．　3.灵活选取恰当的方法求圆的方程. 素养层面 通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养；借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的核心素养. 问题1.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2能否化为二元二次方程的一般形式？ 提示：可以．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是二元二次方程的一般形式． 问题2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明． 提示：不一定．如x2＋y2＋1＝0，不能表示任何曲线． 知识点　圆的一般方程 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＞0时，该方程叫作圆的一般方程，其中圆心为，半径为． 微提醒 1．一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0. 2．在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但在配方后，表示圆心，表示圆的半径． 3．圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．　　 [微思考]　如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？ 提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0； ②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0； ③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0. 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案：D 解析：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选D. 2．(多选)已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列叙述正确的是(　　) A．方程如果表示圆，则m≥－1 B．方程如果表示圆，则圆心在x轴上 C．方程如果表示圆，则圆心在y轴上 D．当m＝0时，方程表示以为圆心，半径为1的圆 答案：BD 解析：对于A，因为D＝2，E＝0，F＝－m，由方程表示圆的条件得D2＋E2－4F>0，即22＋02－4(－m)>0，解得m>－1，所以只有当m>－1时才表示圆，故A错误；对于B，C，因为－＝－1，－＝0，若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误；对于D，当m＝0时，半径r＝＝＝1，故D正确．故选BD. 3．已知圆的方程C：x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为________． 答案：4 解析：由圆的方程C：x2＋y2＋2ax＋9＝0，可得圆心坐标为C(－a，0)，因为圆C的圆心坐标为，所以a＝－5，即C：x2＋y2－10x＋9＝0，所以圆C的半径为r＝＝4. 4．直线x－2y－3＝0平分圆x2＋y2－2ax＋2y－1＝0(a∈R)，则a＝________． 答案：1 解析：x2＋y2－2ax＋2y－1＝0化为2＋2＝a2＋2，由已知直线平分圆，所以直线x－2y－3＝0经过该圆的圆心，则a－2×－3＝0，即a＝1. 学生用书↓第66页 题型一　二元二次方程表示圆的判断 (链教材P109例2)判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径： (1)x2＋y2－4x－6y＝0； (2)x2＋y2＋5x－6y＋20＝0； (3)x2＋y2－8x－6y＋25＝0； (4)x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0. 解：(1)由x2＋y2－4x－6y＝0可得D＝－4，E＝－6，F＝0， 所以D2＋E2－4F＝16＋36＝52>0， 故x2＋y2－4x－6y＝0表示圆，且圆心为，半径r＝＝. (2)由x2＋y2＋5x－6y＋20＝0可得D＝5，E＝－6，F＝20， 所以D2＋E2－4F＝25＋36－4×20＝－19<0， 故x2＋y2＋5x－6y＋20＝0不表示任何曲线． (3)由x2＋y2－8x－6y＋25＝0可得D＝－8，E＝－6，F＝25， 所以D2＋E2－4F＝64＋36－4×25＝0， 故x2＋y2－8x－6y＋25＝0表示一个点，不能表示圆． (4)由x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0可得D＝－2a，E＝－4b，F＝3b2－1， 所以D2＋E2－4F＝4a2＋16b2－4×＝4a2＋4b2＋4>0， 故x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0表示圆，且圆心为，半径r＝＝. 方法技巧 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 1．配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆． 2．运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆． 注意：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1. 对点练1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解：方法一(根据D2＋E2－4F>0求解)： (1)由方程表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)－＝－m，－＝1， ＝＝， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 方法二(化为圆的标准方程求解)： (1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m. 由题意知1－5m>0，即m<. 所以实数m的取值范围是. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 题型二　求圆的一般方程 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆P的方程． [思路点拨]　设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E，F即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程． 解：方法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意可得解得 故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 方法二：由题意可得弦AC的中垂线方程为x＝2， BC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 由解得 所以圆心P的坐标为(2，1)． 外接圆的半径r＝|AP|＝＝5， 故所求外接圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 方法技巧 1．用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程． 2．待定系数法求圆的一般方程的步骤 　　 对点练2．求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意可得解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0， 所以－＝4，－＝－3，圆心为(4，－3)， 半径r＝＝5. 学生用书↓第67页 易错点　忽略题中的隐含条件致错 已知点A(1，2)在圆C：x2＋y2＋2ax－2ay＝0的外部，则实数a的取值范围为________． [正解]　因为点A(1，2)在圆的外部， 所以12＋22＋2a－2a×2>0， 即5－2a>0，所以a<. 又2a2>0，所以a≠0. 故实数a的取值范围是(－∞，0)∪. 答案：　(－∞，0)∪ [易错探因]　易忽略隐含条件2a2>0. [误区警示]　对于圆的标准方程，应保证等号右端大于0；对于圆的一般方程应保证D2＋E2－4F>0，求解时应注意这些隐含条件． 课时测评17　圆的一般方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 答案：C 解析：方法一：易知D＝4，E＝－6，F＝－3，则－＝－2，－＝3， ＝4，故圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 方法二：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 2．(2024·浙江金华高二联考)下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 答案：D 解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，因为22＋22－4×2＝0，所以该方程不表示圆；对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，因为(－3)2＋12－4×4<0，所以该方程不表示圆；对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，因为22＋－4×>0，所以该方程表示圆．故选D. 3．已知圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，半径为4，则实数m为(　　) A． B．5 C．－5或5 D．－或 答案：C 解析：圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，即2＋y2＝－9＋m2，因为半径为4，所以－9＋m2＝42，解得m＝±5.故选C. 4．(2024·辽宁沈阳高二期末)已知点在圆C：x2＋y2－ax－2y＋a＝0外，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C．{a或a>4} D．{a或a>4} 答案：C 解析：由题意得解得{a，或a>4}. 故选C. 5．(多选)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则下列结论正确的是(　　) A．D＝2 B．D＝－2 C．E＝－4 D．E＝4 答案：AC 解析：由圆的方程知：圆心C，半径r＝＝；因为圆心在第二象限，所以D>0，E<0；因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＋2＝0；由得或(舍)．故选AC. 6．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为______________． 答案：x2＋(y＋1)2＝1 解析：将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1.因为r2＝1－k2≤1，所以rmax＝1，此时k＝0，圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1. 7．已知点A，B，C，D四点共圆，则a＝________． 答案：1 解析：设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，又点D在此圆上，所以4＋a2＋12－2a－15＝0，即a2－2a＋1＝0，所以a＝1. 8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是____________________． 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析：设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)，所以即又P点在圆A上，所以x＋y－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 9．(10分)求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是. 由题意知，解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 10．(10分)已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长取最大时圆的标准方程． 解：(1)原方程可化为2＋2＝－m2＋3m＋4， 若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1<m<4， 即实数m的取值范围是. (2)圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值， 所以圆的周长的最大值为5π，此时圆的标准方程是2＋2＝. 11．(5分)(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　) A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为|a| 答案：ACD 解析：圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心坐标为(－a，a)，适合方程y＝－x，不适合y＝x，故A正确，B错误；把(0，0)代入，适合圆的方程C正确；又r2＝2a2，r＝|a|，故D正确．故选ACD. 12．(5分)(一题两空)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________________________________________________________________________， 半径是________． 答案：(－2，－4)　5 解析：由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 13．(10分)平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B，C，且＝. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求△ABC的面积的最大值． 解：(1)设A，又B(－1，0)，C，且＝， 所以2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉与x轴的交点， 所以顶点A的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0. (2)x2＋y2－6x＋1＝0可化为2＋y2＝8，即圆的半径为2， 所以A到x轴的最大距离为2，故△ABC的面积的最大值为×2×2＝2. 14．(5分)(新情境)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2＋y2＝2＋2就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为(　　) A．8＋8π B．8＋4π C．16＋8π D．8＋16π 答案：B 解析：由C：x2＋y2＝2|x|＋2可得，当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，表示圆心为(1，1)，半径r＝的半圆；当x≥0，y<0时，x2＋y2＝2x－2y，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆心为(1，－1)，半径r＝的半圆；当x<0，y≥0时，x2＋y2＝－2x＋2y，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2，表示圆心为(－1，1)，半径r＝的半圆；当x<0，y<0时，x2＋y2＝－2x－2y，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆心为(－1，－1)，半径r＝的半圆；所以曲线C：x2＋y2＝2＋2的图象如图所示．因此曲线围成的图形的面积为S＝2＋2π×2＝8＋4π.故选B. 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：(1)令x＝0得抛物线与y轴交点是(0，b)； 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0， 由题意b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0. 即实数b的取值范围为{b|b<1，且b≠0}． (2)圆C过定点．证明：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得函数f＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0)． 把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，令 解得或故圆C过定点(0，1)和(－2，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $