2.3.1 圆的标准方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“圆的标准方程”核心知识点，先回顾确定圆的几何要素（圆心和半径），推导得出标准方程，再延伸点与圆的位置关系（几何法与代数法判断），构建从几何直观到代数表达的学习支架。 资料通过随学随练即时巩固，分题型（求方程、确定圆心半径等）细化方法，结合实际问题（如圆拱形桥、太极图）培养数学眼光，用数形结合、待定系数法发展数学思维，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第二章 平面解析几何 2.3.1　圆的标准方程 课标要点 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 学习重难点 重点： 1. 圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程． 难点： 用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 知识点一　 圆的标准方程 (1)圆的基本要素 圆的基本要素是圆心和半径． (2)圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，即＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆． 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点M(x0，y0)在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M(x0，y0)在圆内 |MC|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点M(x0，y0)在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 随学随练 3．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 题型由圆心（或半径）求圆的方程 ▌例125-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. ▌对点练1-1．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式求出半径，然后可得标准方程. 【详解】由题可得圆的半径， 又圆心为，所以圆的方程为. 故答案为： 题型求过已知三点的圆的标准方程 ▌例1过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. ▌对点练1-1圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 题型 由标准方程确定圆心和半径 ▌例1（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. ▌对点练1-1已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 基础通关 1．曲线，公共点的个数（   ） A．没有 B．有，且为奇数个 C．有，且为偶数个 D．有，但不能确定几个 【答案】D 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，由半径的值不能确定，可得答案. 【详解】由曲线，则曲线为圆，即圆心为，半径为，如下图示， 易知曲线与曲线共同过原点，由半径不能确定，则交点个数不能确定. 故选：D. 2．已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为．    3．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设，则，讨论P点所在区域，求出的最大值和最小值，即可得的最大值和最小值，即可判断出答案. 【详解】由于， 设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离， 则； 当P在半圆上时，的最小值为； 当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时， 的最小值为和或之间的距离，为， 而，即的最小值为； 当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为， 的最大值为； 故的最小值为，最大值为 结合可知的值不可能是10. 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线经过的定点，定点在圆外，直线可与圆相切，得最小值，根据该定点到圆上动点的距离的最大值从而求出距离最大值. 【详解】可得，， 令，解得，即直线过定点， 该定点到圆心距离是， 圆的半径是，于是到圆上一点的最大距离是. 此时，直线方程为， 由于不可能表示， 所以点到直线的距离没有最大值， 由于直线过的定点在圆外，该直线有可能和圆相切， 和切点重合时，最小距离是 故到直线的距离的取值范围是. 故选：D 5．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 6．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：    ①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； ②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； ③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3； ④“水滴”图形的面积是. 其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】对于①②令，可得的范围，可以进行判断；对于③利用圆的参数方程,可得点到原点的距离,结合三角函数求最值；对于④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成. 【详解】①由于，，令， ， 解得，所以“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为，故①正确； ②由①得，阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则，故②错误； ③由于，设，， 所以点到原点的距离，当时，点到原点的距离取到最大值3，故③正确； ④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，半圆的半径为1，弓形半径为2，圆心角为. 所以. 故④错误. 故选：C. 7．已知为直线上的动点，下列结论正确的是（    ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 【答案】BCD 【分析】A：设出点的坐标，根据条件表示出坐标关系式，由此作出判断；B：利用相关点法确定出点的轨迹方程，由此作出判断；C：确定出点的轨迹方程，根据平行直线间的距离公式求解出结果并作出判断；D：根据的斜率作出判断. 【详解】因为点为直线上的动点，设，若， 则，即，因为， 所以，显然点的轨迹是由点确定， 当确定时，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，故A错误； 若，则，所以，又点在直线上， 所以，即点的轨迹方程为，它是一条直线，故B正确； 若，则点到的距离即为直线与直线的距离，即为，故C正确； 直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D正确； 故选：BCD 8．（25-26高二下·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 【答案】 【分析】先通过题干向量关系和几何法确定过点的圆，再通过坐标法将“投影最值”转化为“圆上动点”的最值问题，再结合一般不等式求解即可. 【详解】设分别为的终点，为中点，由 ，得， 又，故的终点在的中垂线上， 且由勾股定理得 . 如图所示，建立坐标系： ，，，， 公共起点（即 ）. 在中，由正弦定理可得， 为外接圆半径，故， 令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为， 根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为， ，令， 则， 代入，得：， 令，由基本不等式得：， 当且仅当等号成立，即，故， 由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为. 10．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 素养提升 11．若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程. 【详解】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 12．已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】先由数量积公式求出，建立平面直角坐标系，由，得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，则，得进行求解． 【详解】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 13．（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【分析】由待定系数法即可求解方程组得解. 【详解】设圆的标准方程为，， 由题意可得，解得， 故圆的标准方程为， 故答案为： 14．（25-26高二上·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 迁移创新 15．圆心是且过点的圆的方程为______. 【答案】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 16．圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【详解】设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：. 17．如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）．    【答案】 【分析】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，利用勾股定理求出，即可求出圆的方程，再设，，代入计算可得. 【详解】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，如图，    则，所以， 则圆的标准方程为． 由题意设，，代入圆的方程得，解得（负值已舍去）, 所以支柱的高度约为米. 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_________.    【答案】 【分析】根据题意，由圆的方程可得，然后求代入计算，即可得到结果. 【详解】    设滚动后的圆的圆心为，切点为，连接， 过做与轴正方向平行的射线，交圆于， 设，因为圆的方程为， 故设， 又单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于， 所以，可得，则， ，所以. 故答案为： 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可； （2）利用正方形的性质得出其外接圆半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知到的距离为； （2）由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.3.1　圆的标准方程 课标要点 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 学习重难点 重点： 1. 圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程． 难点： 用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 知识点一　 圆的标准方程 (1)圆的基本要素 圆的基本要素是圆心和半径． (2)圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，即＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆． 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点M(x0，y0)在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M(x0，y0)在圆内 |MC|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点M(x0，y0)在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 随学随练 3．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型由圆心（或半径）求圆的方程 ▌例125-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 题型求过已知三点的圆的标准方程 ▌例1过，，三点的圆的标准方程为_______. ▌对点练1-1圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________． 题型 由标准方程确定圆心和半径 ▌例1（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． ▌对点练1-1已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 基础通关 1．曲线，公共点的个数（   ） A．没有 B．有，且为奇数个 C．有，且为偶数个 D．有，但不能确定几个 2．已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：    ①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； ②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； ③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3； ④“水滴”图形的面积是. 其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．已知为直线上的动点，下列结论正确的是（    ） A．若，则点的轨迹是一个圆 B．若，则点的轨迹是一条直线 C．若，则点到的距离为 D．是的一个方向向量 8．（25-26高二下·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 10．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 素养提升 11．若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 12．已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 13．已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 14．（25-26高二上·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 迁移创新 15．圆心是且过点的圆的方程为______. 16．圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 17．如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）．    18．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_________.    19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程 试卷第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $