2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，从确定直线的条件切入，通过“坡度”类比抽象出倾斜角定义及斜率概念，系统梳理倾斜角与斜率的对应关系、两点斜率公式及方向向量、法向量知识，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链引导数学抽象（如用“进2升3”类比坡度引出斜率），结合图形分析斜率范围培养数学思维，通过方向向量等符号表达强化数学语言。课中例题与题型分类助教师系统授课，课后测评及易错点总结帮学生查漏补缺。

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 [学习目标] 知识层面 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系．　2.理解直线斜率的几何意义，掌握过两点的直线的斜率公式．　3.掌握直线的倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用． 4．掌握直线的方向向量和法向量. 素养层面 通过直线的倾斜角与斜率的概念的学习，培养数学抽象的核心素养；借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养. 问题1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 学生用书↓第43页 问题3．日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度>.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度． 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴相交 定义 以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° 取值范围 0°≤α<180° 2．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率． 斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α． 3．斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． [微思考]　(1)所有的直线都有倾斜角与斜率，对吗？ (2)计算直线的斜率k时与从该直线上所选取的两点P1，P2的位置有关吗？ 提示：(1)不对．所有的直线都有倾斜角，但当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，直线斜率不存在． (2)无关． 知识点二　直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 知识点三　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l． 1．给出下列结论： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)； ⑤若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45°. 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误；④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误． 2．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　) A．1 B． C． D．－ 答案：D 解析：因为tan α＝，0°≤α<180°，所以α＝60°，所以2α＝120°，所以k＝tan 2α＝－.故选D. 3．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案：A 解析：直线AB的斜率k＝＝－. 4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝________________________________，y1＝________． 答案：7　0 解析：因为α＝45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 因为P1，P2，P3都在直线l上， 所以kP1P2＝kP2P3＝k. 所以＝＝1， 解之得x2＝7，y1＝0. 学生用书↓第44页 题型一　求直线的倾斜角 (多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° [思路点拨]　求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解答此题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角． 答案：AB 解析：根据题意，画出图形，如图所示： 通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 方法技巧 求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：0°≤α<180°.　　 对点练1．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 答案：135° 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 题型二　直线的斜率 (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)经过A(0，y)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，2)，则y＝________． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． [思路点拨]　(1)利用公式k＝(x1≠x2)＝tan α； (2)利用方向向量的共线求解； (3)利用公式k＝tan α(α≠90°)． 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)因为过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，所以＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. (2)由条件可知，直线的一个方向向量为(－1－0，0－y)，即(－1，－y)．又(1，2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2. (3)直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，所以kl1＝tan 30°＝，kl2＝tan 120°＝－. 方法技巧 解决斜率问题的方法 1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．　　 对点练2．直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝________．直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)． 答案：－　钝 解析：k＝＝－<0，直线PQ的倾斜角为钝角． 对点练3．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 答案：4 解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1.由kAC＝3kBC，得＝3·，所以m＝4. 题型三　倾斜角与斜率的综合问题 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [思路点拨]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA. 解：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 学生用书↓第45页 方法技巧 1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为： 第一步：连接PA，PB； 第二步：由k＝，求出kPA，kPB； 第三步：结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 2．直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜角越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜角也越大． 对点练4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．当点D线段BC(包括端点)上移动时，直线AD的斜率的变化范围为________． 答案： 解析：由斜率公式，得直线AB的斜率kAB＝＝； 直线AC的斜率kAC＝＝.如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC.所以直线AD的斜率的变化范围是. 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [正解]　当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k＝＝， 当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°； 当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. [易错探因]　利用斜率公式求直线的斜率的条件是“x1≠x2”．解本题时易忽略m＝1，即斜率不存在的情况． [误区警示]　求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解． 易错点2　忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系致错 已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点P，且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A． B．∪ C．∪[1，＋∞) D．∪ [正解]　如图，当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率为正值并逐渐变大直至l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直到PB的位置，易求得直线PA的斜率kPA＝， 直线PB的斜率kPB＝－，则直线l的斜率k的取值范围是∪. 答案：D [易错探因]　解本题时易由直线PA的斜率kPA＝，直线PB的斜率kPB＝－，得直线l的斜率k的取值范围是.事实上，在直线l的允许活动范围内，l的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不一定连续，当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为90°)时，直线l的斜率不存在．出错的原因是忽略了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为90°时直线无斜率． [误区警示]　用α表示直线的倾斜角，则当0°≤α<90°时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当90°<α<180°时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 课时测评11　直线的倾斜角与斜率 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列叙述正确的是(　　) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180° C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan α D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 答案：BCD 解析：根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误．易知其他选项正确．故选BCD. 2．若点A(－1，－2)，B(4，8)，已知AB的方向向量为(1，k)，则实数k的值为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 答案：C 解析：AB的方向向量坐标为(4＋1，8＋2)，即(5，10)．又(1，k)也是AB的方向向量，所以k＝＝2.故选C. 3．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) 答案：B 解析：设B(x，0)或(0，y)，则kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8)． 4．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　) A．[0，1] B．[0，2] C． D．(0，3] 答案：B 解析：如图，经过点(1，2)和圆点(0，0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0≤k≤2.故选B. 5．(多选)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　) A．若α1<α2，则两直线的斜率：k1<k2 B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2 C．若两直线的斜率：k1<k2，则α1<α2 D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2 答案：ABC 解析：当α1＝30°，α2＝120°，满足α1<α2，但是两直线的斜率k1>k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1<k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1<α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确． 6．若直线l的一个法向量为n＝(2，1)，则直线l的斜率k＝________． 答案：－2 解析：设直线l的一个方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则a·n＝0，即2x＋y＝0，所以k＝＝－2. 7．已知过点A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________． 答案：0 解析：当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在． 当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0. 8．(一题两空)直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________． 答案：30°　 解析：如图所示．因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tan α＝tan 30°＝. 9．(10分)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时， (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的斜率为？ (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为钝角？ 解：(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在，所以m＝－1. (3)当直线l的斜率k存在时，k＝＝， 则＝，所以3－3m＝m＋1，所以m＝. (4)由题意，可知直线l的斜率k＝1，即＝1， 解得m＝0. (5)由题意，可知直线l的斜率k<0，即<0， 解得m>1或m<－1. 10．(10分)如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率． 解：在菱形ABCD中，因为∠ADC＝120°，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝120°. 所以∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∠DBx＝120°， 所以直线AC的斜率kAC＝tan 30°＝，直线BD的斜率kBD＝tan 120°＝－. 11．(5分)已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是(　　) A．0 B． C． D．－ 答案：C 解析：由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为.故选C. 12．(5分)已知直线l经过A(2，1)，B(m>0)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 答案：0°≤θ≤45°或90°<θ<180° 解析：易知直线l的斜率存在．设直线l的倾斜角为θ， 则tan θ＝＝－＋3 ＝－＋1≤1， 当且仅当＝，即m＝1时，等号成立． 又0°≤θ<180°，所以0°≤θ≤45°或90°<θ<180°. 13．(10分)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围． 解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝. 倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内， 因为tan 0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°. 因为tan 60°＝，所以直线BC的倾斜角为60°. 因为tan 30°＝，所以直线AC的倾斜角为30°. (2)如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 14．(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为(　　) A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 答案：B 解析：如图，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B. 15．(15分)点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈[－3，5]时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 解：因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈[－3，5]，则点A(－3，2)，B(5，18)为函数图象的两个端点． (1)由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动． 记点N(－1，－1)，所以可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率． 又因为kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围为∪. (2)＝2·，记点P，则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率．又kPA＝－，kPB＝－，所以的取值范围为. 学生用书↓第46页 学科网（北京）股份有限公司 $