专题2.2 直线的倾斜角与斜率（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.2直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.了解直线方程的概念 2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率 3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式 4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力 5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 教学重难点 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念 教学难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。 知识点01 直线倾斜角 定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 【即学即练】直线的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线倾斜角定义可得结果. 【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是. 故答案为： 知识点02 直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练】已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 知识点03 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练】直线过点和，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 知识点04 直线的方向向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合 ，则称向量为直线的一个方向向量，记作 2.性质：①如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线. ②如果，是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量. ③若为直线的倾斜角，则一定是直线的一个方向向量. ④如果已知为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；当时，直线的斜率是存在的，直线的斜率,即. 知识点05 直线的法向量 一般的，如果表示非零向量的的有向线段所在的直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量，记作，一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 题型01 求直线的倾斜角 【典例1】经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 【变式1】过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 【变式2】已知点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角. 【详解】由两点斜率公式可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：A. 【变式3】斜率为的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 【变式4】已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 题型02 直线斜率的定义 【典例1】过两点的直线的倾斜角是，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解. 【详解】因为过两点的直线的倾斜角是， 所以，解得. 故选：B. 【变式1】已知、两点所在直线的倾斜角为，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由直线上两点坐标求得斜率，再由直线斜率的定义建立方程，解之即得. 【详解】由题意，，化简得：，解得. 故选：A. 【变式2】经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】由两点坐标写出直线斜率，根据直线斜率的定义建立方程，求解即得. 【详解】依题意，直线的斜率为，解得. 故选：D. 【变式3】过两点的直线的倾斜角是，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解. 【详解】因为过两点的直线的倾斜角是， 所以，解得. 故选：B. 【变式4】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 题型03 斜率与倾斜角变化关系 【典例1】如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 【变式1】已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式构建不等式组即可求出的取值范围. 【详解】由题设有即， 故选：B. 【变式2】（多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 【变式3】（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD. 【变式4】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 题型04 已知两点求斜率 【典例1】已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（    ） A．2 B． C． D．－2 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可. 【详解】因为直线l经过两点，， 所以直线l的斜率是， 故选：C 【变式1】已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 【变式2】若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 【变式3】若直线过点和，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】因为直线过点和，所以斜率为，设直线的倾斜角为，则有， 故选：C. 【变式4】经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 题型05 已知斜率求参数 【典例1】经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【答案】0 【分析】由过两点的直线斜率公式求解即可. 【详解】因为经过两点，的直线的斜率等于2， 所以，解得. 故答案为：0. 【变式1】若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【变式2】过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 【变式3】若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】过两点的直线斜率为，所以，解得，. 故选：A. 【变式4】经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】依题意，解得. 故选：B 题型06 利用直线斜率处理共线问题 【典例1】已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 【变式1】三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，即，解得. 故选：D. 【变式2】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 【变式3】已知，，三点共线，则＝ ． 【答案】6 【分析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故答案为：6. 【变式4】已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 题型07 求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点B且与线段相交．则直线l倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合斜率和倾斜角的关系利用数形结合即可求解. 【详解】根据题意，画出图象如图所示;    直线的斜率，则直线的倾斜角为； 直线的斜率，则直线的倾斜角为， 结合图象由条件可得直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【变式1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 【变式2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 【变式3】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 【变式4】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 题型08 直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【变式1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    【变式2】直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，将问题转化为直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线，再由斜率的定义求解即可； 【详解】直线l过点. 如图，由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为， 于是或， 而，因此或， 即k的取值范围是. 故选：D. 【变式3】已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 【变式4】已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 题型09 斜率公式的几何意义的应用 【典例1】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 【变式2】点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    【变式3】已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 1．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：. 2．已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 3．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 4．经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由斜率计算公式即可求解； 【详解】由， 可得， 故选：C 5．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 6．直线倾斜角为，且过点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解； 【详解】由题意可知，则， 由直线过点P，则得， 故选：A 7．已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 8．已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 9．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确； 对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABD. 10（多选）．直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 11．若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【答案】./. 【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 12．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 13．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先考虑直线过两个端点的情况，再计算直线过线段中间点的情况，利用定比分点的向量公式进行求解即可. 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 14．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 15．已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析． (2) 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.了解直线方程的概念 2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率 3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式 4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力 5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 教学重难点 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念 教学难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。 知识点01 直线倾斜角 定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴 的直线，如果把轴绕着交点按 旋转到和直线重合时所转的 ，则 （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 【即学即练】直线的倾斜角是 ． 知识点02 直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的 叫做这条 . 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练】已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 知识点03 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角 ， ； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练】直线过点和，则的斜率为 ． 知识点04 直线的方向向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量的 所在的直线与直线 ，则称向量为直线的一个 ，记作 2.性质：①如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线. ②如果，是直线上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. ③若为直线的倾斜角，则 一定是直线的一个方向向量. ④如果已知为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；当时，直线的斜率是存在的，直线的斜率 ,即 知识点05 直线的法向量 一般的，如果表示非零向量的的有向线段所在的直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量，记作，一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 题型01 求直线的倾斜角 【典例1】经过两点和的直线的倾斜角是 . 【变式1】过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式3】斜率为的直线的倾斜角为 ． 【变式4】已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为 ． 题型02 直线斜率的定义 【典例1】过两点的直线的倾斜角是，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】已知、两点所在直线的倾斜角为，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 【变式2】经过点和的直线的倾斜角为，则（    ） A．3.5 B．8 C．-2 D．2 【变式3】过两点的直线的倾斜角是，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【变式4】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 题型03 斜率与倾斜角变化关系 【典例1】如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 题型04 已知两点求斜率 【典例1】已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（    ） A．2 B． C． D．－2 【变式1】已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若直线过点和，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式4】经过点、的直线的斜率为 . 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 题型05 已知斜率求参数 【典例1】经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【变式1】若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式2】过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【变式3】若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【变式4】经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型06 利用直线斜率处理共线问题 【典例1】已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【变式1】三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，三点共线，则＝ ． 【变式4】已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 题型07 求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点B且与线段相交．则直线l倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A．B． C． D． 题型08 直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【变式1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 题型09 斜率公式的几何意义的应用 【典例1】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式1】已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【变式3】已知实数满足，试求的取值范围． 1．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．经过两点的直线的斜率是（   ） A． B． C． D．1 5．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．直线倾斜角为，且过点，则（   ） A． B． C． D．3 7．已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 10（多选）．直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 11．若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 12．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 13．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 14．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 15．已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$