2.1 坐标法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面直角坐标系中的坐标法核心知识点，先通过数轴上点的对应关系引入，以“特殊位置距离—一般位置距离”问题链引导推导两点间距离公式和中点坐标公式，渗透“化斜为直”思想，再延伸至坐标法解决几何问题，构建“概念—公式—应用”的完整学习支架。 资料特色在于以核心素养为导向，通过距离公式推导培养直观想象，例题中坐标法证明等腰三角形强化数学建模，分层题型（基础计算、综合证明）提升数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后测评与易错点分析帮助学生查漏补缺，实现学练结合。

2．1　坐标法 [学习目标] 知识层面 1.理解平面直角坐标系中的基本公式．　2.理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用． 素养层面 通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养；借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养. 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称．相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系，如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系．两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系． 二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的．在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的．在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系．采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确地表达出来．几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式． 问题　(1)当x1≠x2，y1＝y2时，|AB|＝？ (2)当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝？ (3)当x1≠x2，y1≠y2时，|AB|＝？ 提示：(1) |x1－x2|　(2)|y1－y2|　(3) 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x2－x1，y2－y1)，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|＝||＝Ｗ． 2．中点坐标公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，则＝，从而可以得到在平面直角坐标系内的中点坐标公式：x＝，y＝Ｗ． 微提醒 平面上两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将既不平行也不垂直于坐标轴的线段进行分解，转化成垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推出．这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想方法．　　 知识点二　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法． 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 答案：C 解析：由|AB|＝＝5⇒a＝1或a＝－5.故选C. 2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 解析：因为|AB|＝＝，|BC|＝＝＝3，|AC|＝＝，所以△ABC是等腰三角形．故选B. 学生用书↓第41页 3．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于，则实数m＝(　　) A．－1 B．4 C．－1或4 D．－4或1 答案：C 解析：因为|AB|＝＝.所以m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.故选C. 4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　) A．5 B．4 C．2 D．2 答案：C 解析：设A(a，0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2，所以|AB|＝＝2.故选C. 题型一　中点坐标公式 已知点A(2，3)，B(x0，y0)，AB的中点M关于原点的对称点为N(－1，－2)，则x0＝　　　　，y0＝　　　　Ｗ． [思路点拨]　利用中点坐标公式求解． 答案：0　1 解析：因为M与点N(－1，－2)关于原点对称，则M(1，2)，又因A，B两点的中点为M，则 解得x0＝0，y0＝1. 方法技巧 利用中点坐标公式求解时，应与对称点结合求解．　　 对点练1．(1)已知数轴上A(－3)，B(2)，且A关于B的对称点为C，则C的坐标为　　　　Ｗ． (2)已知A(x，－3)，B(1，y)，中点坐标为(3，2)，则x＝　　　　，y＝　　　　Ｗ． 答案：(1)7　(2)5　7 解析：(1)设C的坐标为x，则2＝，所以x＝7. (2)由中点坐标公式得3＝，所以x＝5，2＝，所以＝7. 题型二　两点间距离公式 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　利用两点距离公式求边长，由勾股定理判定． 解：因为|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 方法技巧 计算两点间距离的方法 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. 2．对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 对点练2．已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|， 得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为. |PA|＝＝. 题型三　坐标法 △ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形． [思路点拨]　建系—代数运算—译成结果 证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0). 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|BC|， 所以由距离公式可得 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即(b＋d)(b－d)＝(d－b)(c－d). 又d－b≠0， 故－b－d＝c－d， 即－b＝c. 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 学生用书↓第42页 方法技巧 解决此类问题的三步曲 1．建立坐标系，用坐标表示有关的量． 2．进行有关代数运算． 3．把代数运算结果“翻译”成几何关系．　　 对点练3．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：AM＝BC. 证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c). 因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式，得BC＝＝， AM＝＝. 所以AM＝BC. 易错点　建系不当致使解析法证题致错 证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半． [正解]　如图所示，△ABC中D，E分为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝c.又由中点坐标公式， 可得D，E，所以|DE|＝＝，所以|DE|＝|AB|，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半． [易错探因]　由于建系不当，致使A、B、D、E中某些点的坐标不易求出，使得题目无法证明． [误区警示]　建系时，尽量使A、B、D、E中的坐标含零量多． 课时测评10　坐标法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若点A(1，3)与点B(m，7)之间的距离等于5，那么实数m的值为(　　) A．4 B．－2 C．－4或2 D．4或－2 答案：D 解析：由|AB|＝ ＝5，解得m＝4或－2.故选D. 2．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 答案：A 解析：设A(a，0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6，0)，B(0，8)，所以|AB|＝＝＝10.故选A. 3．已知三点A(3，2)，B(0，5)，C(4，6)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：因为|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，所以|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AC|2＋|BC|2≠|AB|2，所以△ABC是等腰三角形．故选C. 4．(多选)已知A(3，1)，B(－2，2)，在y轴上的点P满足PA⊥PB，则P的坐标为(　　) A．(0，4) B．(0，1) C．(0，－1) D．(0，－4) 答案：AC 解析：设P点坐标为(0，y)，由PA⊥PB，则|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，即9＋(y－1)2＋4＋(y－2)2＝25＋1，解得y＝4或－1. 5．在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是(　　) A．(1，2) B．(2，4) C．(4，2) D．(2，1) 答案：B 解析：取平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当点M在线段AC上时取等号；同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当点M在线段BD上时取等号． 连接AC，BD交于一点M，则点M即为所求．因为kAC＝＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.　① 因为kBD＝＝－1，所以直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.② 联立①②得解得所以M(2，4). 6．设A(3，4)，在x轴上有一点P，使得|PA|＝5，则P点坐标为　　　　　　Ｗ． 答案：(0，0)或(6，0) 解析：设P点坐标为(x，0)，则有＝5，即(x－3)2＝9，所以x＝0或x＝6. 7．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为　　　　Ｗ． 答案：(1，0) 解析：如图，点A关于x轴的对称点为A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M.因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为＝，即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1，0). 8．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称，则解析式f(x)＝　　　　Ｗ． 答案：x＋(x≠0) 解析：设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于点(0，1)的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，所以y＝f(x)＝x＋(x≠0). 9．(10分)求下列两点间的距离： (1)A(2，0)，B(0，8)； (2)A(1，3)，B(－2，1)； (3)A(5，0)，B(－1，0)； (4)A(a，3)，B(a，－3). 解：(1)|AB|＝ ＝2. (2)|AB|＝＝. (3)由于点A，B均在x轴上，所以|AB|＝|－1－5|＝6. (4)由于直线AB⊥x轴，所以|AB|＝|－3－3|＝6. 10．(10分)已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求的点为P(x，0)，于是有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|得x＝1，所以所求点为P(1，0)， 所以|PA|＝＝2. 11．(5分)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 答案：C 解析：由题意知即 解得故ab＝7×(－2)＝－14.故选C. 12．(5分)点P与x轴及点A(－4，2)的距离都是10，则P的坐标为　　　　Ｗ． 答案：(2，10)或(－10，10) 解析：设P(x，y)，则 当y＝10时，x＝2或－10；当y＝－10时，无解． 则P(2，10)或(－10，10). 13．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为三角形内一点，且S△PAB＝S△PBC＝S△PCA.求证：|PA|2＋|PB|2＝5|PC|2. 证明：设|CA|＝m，|CB|＝n，以点C为原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系如图． 则A(m，0)，B(0，n). 设P(x，y)，则S△PBC＝nx＝×mn， S△PCA＝my＝×mn， 所以x＝m，y＝n， 即P， 所以|PA|2＋|PB|2＝＋＋＋＝m2＋n2. 又因为|PC|2＝＋＝m2＋n2， 所以|PA|2＋|PB|2＝5|PC|2. 14．(5分)(新情境)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得y＝＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．＋ D．3＋ 答案：A解析：因为y＝f(x)＝＋＝＋，则f(x)可看作x轴上一点P到点A与点B的距离之和，即＋，则可知当A，P，B三点共线时，＋取得最小值，即min＝＝＝4.故选A. 15．(15分)在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是多少？ 解：如图，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)， 则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|. 当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10； 当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值10. 学科网（北京）股份有限公司 $