1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 [学习目标] 知识 层面 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 素养 层面 借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养；借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 问题1.类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点一　空间向量的夹角 1．夹角的定义 空间中，给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉． 2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向 学生用书↓第5页 量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b． 知识点二　空间向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．数量积的运算律 数乘向量与 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 3．空间两向量的数量积的性质 向量 数量 积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：则a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2＝a2|a|＝ |a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b(a，b是非零向量)的夹角，则cos θ＝ 微提醒 对空间向量的数量积的理解 1．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零； 2．a·b＝0⇔a⊥b(a、b为非零向量)； 3．向量a，b的夹角〈a，b〉与点的坐标(a，b)不同； 4．a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的数量|b|cos θ的乘积． 5．规定零向量与任意向量的数量积为0.　　 [微思考]　对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等． 1．(多选)下列各命题中，一定是正确命题的有(　　) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案：ABC 解析：因为a·a＝|a|2，所以＝|a|，故A正确；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确；a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故D不一定正确．故选ABC． 2．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：D 解析：△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°. 3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案：B 解析：〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝〈，〉＝90°，〈，〉＝180°. 4．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________． 答案： 解析：因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋2＝17＋6，所以|a＋b＋c|＝. 题型一　空间向量数量积的运算 (链教材P11例5)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． [思路点拨]　求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后根据定义进行计算，特别注意a与b的夹角是其方向的夹角．如〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，易错认为〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝120°. 解：在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1. 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1 ＝1. 学生用书↓第6页 方法技巧 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　 对点练1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________． (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________． 答案：(1)a2　(2) 解析：(1)·＝· ＝(·＋·) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. (2)＝＋＝＋ ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋. 所以·(＋＋) ＝·(＋＋) ＝2＋2＋2 ＝×22＋×32＋×12＝. 题型二　用数量积解决夹角问题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1. 求cos〈，〉． [思路点拨]　首先求||，||，·，然后利用数量积的性质求余弦值． 解：因为||＝＝ ＝＝||， 所以·＝||||cos〈，〉 ＝cos〈，〉． 又因为＝＋，＝＋， 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝|||| ＝1×＝. 所以cos〈，〉＝＝＝. 方法技巧 1．由公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得cos〈a，b〉＝.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解． 2．利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cos θ＝|cos〈a，b〉|＝，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．　　 对点练2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，求异面直线AE与A1C所成的角． 解：因为A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC. 因为AC＝AB＝，BC＝2，所以AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2， 所以E为BC的中点，所以＝(＋)． 因为AC＝AA1＝，所以A1C＝2. 因为·＝(＋)·(－) ＝2＝×()2＝1， 所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°， 即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 题型三　利用数量积证明空间垂直关系 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC. [思路点拨]　首先把向量和均用、、表示出来，通过证明·＝0来证明OG⊥BC. 证明：连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝＝(a＋b＋c)，＝c－b. 所以·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. 所以⊥，即OG⊥BC. 方法技巧 用向量法证明垂直关系的步骤 1．把几何问题转化为向量问题． 2．用已知向量表示所证向量． 3．结合数量积公式和运算律证明数量积为0.　　 学生用书↓第7页 对点练3．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：CA1⊥B1D1. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＝－＝a－b， 所以·＝(a＋b＋c)(a－b)＝ |a|2－a·b＋a·b－|b|2＋c·a－c·b. 又因为四边形ABCD为菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD， 所以·＝0.所以CA1⊥B1D1. 题型四　用数量积求两点间距离 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． [思路点拨]　＝＋＋―→得到||2的值，注意对〈，〉的讨论―→得B，D间的距离 解：因为∠ACD＝90°，所以·＝0. 同理可得·＝0. 因为AB与CD成60°角， 所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝3＋2×1×1×cos〈，〉 所以当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2； 当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为. 方法技巧 1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 2．用数量积求两点间距离的步骤： (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； 　(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|； (4)|a|即为所求距离．　　 对点练4．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，求PC的长． 解：因为＝＋＋，AD＝4，CD＝3，PA＝6，∠D＝60°， 所以||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝62＋42＋32＋2×4×3cos 120°＝49， 所以||＝7.即PC的长为7. 易错点　向量夹角的范围 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件． [正解]　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 [错解]　a·b<0⇔cos〈a，b〉＝<0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件． [错因]　两个向量的夹角为钝角会误以为只要满足数量积小于零即可，而忽略当两个向量共线且反向时数量积也小于零．同理由向量的数量积大于零而判断夹角为锐角时，是忽略了向量共线且同向的情形． 课时测评2　空间向量的数量积 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　) A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能 答案：B 解析：由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.因此m⊥n. 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为120°的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 答案：A 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，所以与所成角为∠AD1B1的补角．又四边形ABCD为正方形， 所以∠AD1B1＝60°，即与所成夹角120°，A正确．由与所成的夹角为∠CAB的补角，所以与所成的夹角为135°，故B错误．因为A1D1∥AD，所以与所成夹角为∠DAB＝90°，故C错误．因为A1B1∥AB，与反向，所以与所成夹角为180°，故D错误．故选A． 3．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案：BC 解析：2·＝2a2cos 120°＝－a2，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，2·＝·＝a2，2·＝·＝－·＝－a2. 4．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋3p·q－2p·q－2q2＝3×12＋1×1×cos 90°－2×12＝1，故选A． 5．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题正确的有(　　) A．(＋＋)2＝3 2 B．·(－)＝0 C．与的夹角为60° D．正方体的体积为|··| 答案：AB 解析：如图，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝3，故A正确；·(－)＝·＝0，故B正确；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为||||||，故D错误．故选AB． 6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________． 答案： 解析：将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7. 因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝.所以cos〈a，b〉＝＝＝. 7．如图，已知单位正方体ABCD-A′B′C′D′.则： 向量在上的投影的数量为________； 向量在上的投影的数量为________． 答案：1　－1 解析：在上的投影的数量为||cos ∠A′CB＝||＝1.在上的投影的数量为||·cos(π－∠A′CB)＝－||＝－1. 8．(一题两空)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则·＝________，与所成角的大小为________． 答案：1　60° 解析：方法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos 60°＝1. 方法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°. 9．(10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点． (1)求的长； (2)求cos〈，〉的值． 解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 所以AB＝， ＝＋，2＝(＋)2 ＝＋·＋ ＝2＋×4＝3. 所以||＝. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋·， ·＝||||·cos(π－∠ABC) ＝×1×cos 135°＝－1， ·＝0，·＝0，·＝4， 所以·＝－1＋0＋0＋4＝3， ||·||＝·＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 10．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示出向量； (2)求BM的长． 解：(1)因为M是PC的中点，所以＝(＋)＝[＋(－)] ＝[b＋(c－a)]＝－a＋b＋c. (2)由于AB＝AD＝1，PA＝2， 所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2， 由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°， 所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos 60°＝1， 由于＝(－a＋b＋c)， ||2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝. 所以||＝，所以BM的长为. 11．(5分)如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案：D 解析：·＝·(＋)＝2＋·，因为AB⊥平面BP2P8P6，所以⊥，所以·＝0，所以·＝||2＝1，则·(i＝1，2，…8)的不同值的个数为1. 12．(5分)已知点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内部的一动点，且||＝2，则·的值取最小时，与的夹角的大小为________． 答案：90° 解析：取C1D1的中点M(图略)，由题意得，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－1.因为||＝2，所以点P在以点A为球心，2为半径的球面上(在正方体内部的部分)，所以||min＝AM－2＝3－2＝1，则·的值最小时，·＝0，所以⊥，所以与的夹角为90°. 13．(10分)如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直； (2)求〈，〉． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1， 则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0， 所以⊥，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO两两垂直． (2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c ＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝ ＝. 又||＝ ＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 14．(5分)(多选)(2024·河北张家口高二期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．＝a＋b＋c B．＝ C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 答案：ABD 解析：对于A，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋(－)＝＋＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b＋c，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1.因为∠BAC＝90°，所以a·b＝0.因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝(3＋1＋1)＝，所以||＝，故B正确；对于C，D，＝a＋c，＝c＋b－a，cos〈，〉＝＝＝＝，故D正确，C错误．故选ABD． 15．(15分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD. (1)求证：CC1⊥BD； (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c.依题意有|a|＝|b|，＝－＝a－b.设，，的两两夹角均为θ，于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，所以CC1⊥BD. (2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥BD，A1C⊥DC1.由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD. 所以当＝1时，A1C⊥平面C1BD. 学生用书↓第8页 学科网（北京）股份有限公司 $