第三章 重点突破 5 圆锥曲线中的最值(范围)问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

学习目标 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想在最值(范围)问题的应用. 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决有关最值(范围)综合问题. 3.借助于圆锥曲线的最值(范围)问题，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　范围问题 如图，以原点O为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设A为大圆上任意一点，连接OA交小圆于点B，设∠AOx＝θ，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)点E，F分别是轨迹C上两点，且·＝0，求△EOF面积的取值范围. 解：(1)因为∠AOx＝θ(0≤θ＜2π)，所以A(2cos θ，2sin θ)，B(cos θ，sin θ). 设M(x，y)，则(θ是参数)， 消去θ得＋y2＝1， 即动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1. (2)因为·＝0， 所以OE⊥OF， 当直线OE或OF的斜率不存在时，易得＝×2×1＝1. 当直线OE和OF的斜率都存在时，设lOE：y＝kx(k≠0)，E(x1，y1)， 则lOF：y＝－， 由 所以 ｜OE｜＝ ＝ . 同理可得｜OF｜＝ ＝ . 所以S△EOF＝｜OE｜·｜OF｜＝2 ， 令t＝k2＋1＞1， S△EOF＝2＝2 ＝2 ∈. 综上，△EOF面积的取值范围为. 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用方法 1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. 2.利用已知参数的范围求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. 3.利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. 4.利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. 5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 对点练1.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，－1)在C上. (1)求椭圆的方程； (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 解：(1)由题意，得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率为0时，AP的斜率k＝0. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1， 联立方程组得(m2＋4)y2＋2my－3＝0. Δ＞0显然成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)， 则y1＋y2＝－， 所以y0＝－， 则x0＝my0＋1＝－＋1＝. 而点A的坐标为(－2，0)， 所以直线AP的斜率k＝＝. ①当m＝0时，k＝0. ②当m≠0时，｜k｜＝＝. 因为＝｜2m｜＋≥4， 当且仅当｜2m｜＝时，等号成立. 所以0＜，从而－≤k≤且k≠0. 综上所述，斜率k的取值范围为. 题型二　最值问题 已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，e＝，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为－2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设T为直线x＝－3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且·＝0，求的最小值. 解：(1)由题意，得＝，a－c＝－2， 解得a＝，b＝， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由(1)知F1(－2，0)，因为·＝0， 故⊥，设T(－3，m)， 所以｜TF1｜＝，直线TF1的斜率为－m， 当m≠0时，直线PQ的斜率为， 直线PQ的方程为x＝my－2. 当m＝0时，直线PQ的方程为x＝－2， 也符合方程x＝my－2. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立， 得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝， ｜PQ｜＝＝＝， ＝＝＝≥＝， 当且仅当＝， 即m＝±1时，等号成立. 所以. 学生用书⬇第138页 圆锥曲线最值问题的求解方法 　　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 对点练2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P(3，m)(m＞0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值. 解：(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)， 可得c＝2，又离心率为， 所以a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意可知kPF＝＝m， 所以kAB＝－， 故直线AB的方程为y＝－(x－2)， 即x＝－my＋2， 由可得(3＋m2)y2－4my－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 所以｜y1－y2｜＝＝＝， 所以△OAB的面积S＝×｜OF｜×｜y1－y2｜＝， 令t＝＞1， 所以S＝＝＝， 当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号， 所以△OAB面积的最大值为. 1.已知双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 .动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点A(3，0)，求｜AP｜的最小值. 解：(1)由题意知，2a＝4，a＝2， 又离心率为，即 ＝，则c＝2， 所以b＝ ＝2， 所以双曲线C的标准方程为 － ＝1. (2)由题意设P(m，n)，m≤－2 或m≥2， 则 － ＝1， 则n2＝4(－1)＝－4. 所以｜AP｜＝ ＝ ＝ ＝， 当m＝2 时，｜AP｜取得最小值，最小值为3－2 . 2.已知椭圆C： ＋ ＝1与直线y＝2x＋m.若椭圆上存在两点C，D关于直线y＝2x＋m对称，求实数m的取值范围. 解：由题意可设直线CD的方程为y＝－ x＋n，与椭圆方程联立，消去y整理得4x2－4nx＋4n2－24＝0，由Δ＝16n2－16(4n2－24)＞0，所以n2＜8，得－2 ＜n＜2. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝n，x1x2＝n2－6. 再设CD的中点为N(x0，y0)，则x0＝， 由点N在直线y＝－ x＋n上，得y0＝， 即N(，). 又由点N在直线y＝2x＋m上， 得 ＝2× ＋m，即n＝－4m， 则－2 ＜－4m＜2，得－ ＜m＜ . 所以实数m的取值范围为(－，). 课时分层评价36　圆锥曲线中的最值(范围)问题 (时间：60分钟　满分：71分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(13分)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点. (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 解：(1)连接PF1(图略). 由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中， ∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝c， 于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝(＋1)c， 故C的离心率为e＝＝－1. (2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当｜y｜·2c＝16，·＝－1， 即c｜y｜＝16，① x2＋y2＝c2，② 又＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞). 2.(13分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求·的取值范围. 解：(1)由题意知e＝＝， 所以e2＝＝＝， 所以a2＝b2. 因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)， 所以b＝，所以a2＝4， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l的倾斜角为0°时， 不妨令A(－2，0)，B(2，0)， 则·＝－4. 当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4， 由得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， 由Δ＞0，得(24m)2－4×(3m2＋4)×36＞0， 得m2＞4， 设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2). 因为y1＋y2＝－，y1y2＝， 所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4， 因为m2＞4，所以·∈. 综上所述，·. 3.(13分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 解：(1)设F(c，0)，由条件知＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)当l⊥x轴时不合题意. 设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞， x1＋x2＝，x1·x2＝. 从而｜PQ｜＝｜x1－x2｜＝ . 又点O到直线PQ的距离d＝. 所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·｜PQ｜＝. 设＝t， 则t＞0，S△OPQ＝＝≤1， 当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. 4.(15分)已知双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝± x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值. 解：(1)由题意可知 则双曲线C的方程为 －y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM＞0， 当直线l斜率不存在时，则直线l：x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2. 当直线l斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m(k≠±)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1. 联立 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0， 则x1＋x2＝－ ＝－ ＝－， 则xM＝ ＝－ ＞0，即km＜0， 则＝ ＝4＋ ＞4，即xM＞2， 所以此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 5.(17分)设圆x2＋y2－2x－15＝0的圆心为M，直线l过点N(－1，0)且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C. (1)证明｜CM｜＋｜CN｜为定值，并写出点C的轨迹方程； (2)设点C的轨迹为曲线E，直线l1：y＝kx与曲线E交于P，Q两点，点R为曲线E上一点，若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形，求△RPQ面积的最小值. 解：(1)因为圆x2＋y2－2x－15＝0， 可化为(x－1)2＋y2＝16， 所以圆心M(1，0)，半径｜MB｜＝4. 因为过点N作AM的平行线交BM于点C， 所以AM∥NC， 又因为｜MA｜＝｜MB｜， 所以∠BNC＝∠BAM＝∠NBC. 所以｜CN｜＝｜CB｜. 所以｜CM｜＋｜CN｜＝｜CM｜＋｜CB｜＝｜MB｜＝4＞｜MN｜＝2. 所以由椭圆的定义可得点C的轨迹为椭圆，轨迹方程为＋＝1(y≠0). (2)由(1)可知，点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)， 易知k≠0，设P(x1，y1). 由消去y得(3＋4k2)x2＝12， 解得 则｜OP｜＝＝＝. 因为△PQR是以PQ为底边的等腰三角形， 所以RO⊥PQ. 所以kROkPQ＝－1，则kRO＝－. 同理，｜OR｜＝＝. 所以S△RPQ＝×｜PQ｜×｜OR｜＝×2×× ＝， S△RPQ＝≥＝＝， 当且仅当3＋4k2＝4＋3k2，即k＝±1时取等号. 所以(S△RPQ)min＝. 学生用书⬇第139页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $