创新培优(五) 圆锥曲线中的直线斜率定值问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本高中数学讲义聚焦圆锥曲线中斜率定值问题，先定义曲线上定点P与两动点A、B连线斜率互为相反数时直线AB斜率为定值的性质，再分椭圆、双曲线、抛物线推导具体结论，构建从概念到性质、从理论到应用的学习支架。 资料以核心素养为引领，通过抽象定义培养数学眼光，例题中代数推理发展数学思维，符号化结论提升数学语言表达。含抛物线、椭圆等具体例题解析及迁移运用题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

1．定义 在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中，曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A，B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补)，则直线AB的斜率为定值． 2．性质 (1)在椭圆中：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，定点P(x0，y0)(x0y0≠0)在椭圆上，设A，B是椭圆上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且满足kPA＋kPB＝0，则直线AB的斜率kAB＝. (2)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，定点P(x0，y0)(x0y0≠0)在双曲线上，设A，B是双曲线上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且满足kPA＋kPB＝0，则直线AB的斜率kAB＝－. (3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)，定点P(x0，y0)(x0y0≠0)在抛物线上，设A，B是抛物线上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且满足kPA＋kPB＝0，则直线AB的斜率kAB＝－. 培优一　抛物线中直线斜率定值问题 (2025·山东聊城期末模拟)已知点P在抛物线C：y2＝4x上，过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C于A、B两点．若直线AB的斜率为－1，则点P坐标为(　　 ) A．(1，2) B．(1，－2) C．(2，2) D．(2，－2) 解析：选A方法一　设点P(x0，y0)、A(x1，y1)、B(x2，y2)，则直线AB的斜率为kAB＝＝＝－1，可得y1＋y2＝－4， 同理可得直线PA的斜率为kPA＝，直线PB的斜率为kPB＝， 因为kPA ＝－kPB，所以(y0＋y1)＋(y0＋y2)＝0，则y0＝－＝2，故x0＝＝1， 因此，点P的坐标为(1，2). 方法二　在抛物线C：y2＝4x，定点P(x0，y0)(x0y0≠0)在抛物线上，设A，B是抛物线上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且满足kPA＋kPB＝0，则直线AB的斜率kAB＝－＝－＝－1⇒y0＝2，再回代入C：y2＝4x得到x0＝1. 名师点睛 注意使用前先判断结论是否适用，先判定，后使用，本题抛物线方程是结论中的x型抛物线，若是y型抛物线x2＝2py(p>0)，则kAB＝－. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.设抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点M(x0，1)在C上，且|MF|＝3.若过C上一个定点P(m，n)(m≠0)引它的两条弦PS，PT，直线PS，PT的斜率存在且倾斜角互为补角，则直线ST的斜率是(　　 ) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A．因为点M(x0，1)在C上，且|MF|＝3， 所以1＋＝3，p＝4，抛物线方程为x2＝8y. 方法一　设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则有m2＝8n，x＝8y1，x＝8y2. 于是kPS＋kPT＝＋＝＋＝＋＝0， 所以x1＋x2＝－2m.因此直线ST的斜率k＝＝＝－. 方法二　由题意得直线ST的斜率kST＝－＝－. 培优二　椭圆和双曲线中直线斜率定值问题 (2025·江苏南京五校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，点(－，)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且TF2与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线MN的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 解：(1)由题意，＝则a＝2c，又b＝＝＝c， 所以椭圆C的方程为＋＝1，代入(－，)有＋＝1，解得c＝1， 所以b＝，a＝2， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题设易知：T(1，)， 法一　设直线TM为y－＝k(x－1)， 由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8k(－k)x＋4k2－12k－3＝0， 因为方程有一个根为x＝1， 所以M的横坐标为xM＝，纵坐标yM＝k(xM－1)＋＝， 故M为(，)，用－k代替k，得N为(，)， 所以kMN＝＝， 故直线MN的斜率为定值. 法二　由已知直线MN的斜率存在，可设直线MN为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2) 由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 而kTM＋kTN＝＋＝0， 又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，代入整理得2kx1x2＋(m－)(x1＋x2)－k(x1＋x2)－2(m－)＝0， 所以(4k2－8k＋3)＋2m(2k－1)＝0，即(2k－1)(2k－3＋2m)＝0， 若2k－3＋2m＝0，则直线MN过点T，不合题意， 所以2k－1＝0，即k＝，故直线MN的斜率为定值. 【迁移运用】 2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(－3，2)，且离心率e＝. (1)求该双曲线的标准方程； (2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，并求出该定值． 解：(1)由题意，a2＝8，b2＝32， ∴双曲线的方程为－＝1. (2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 设AB的方程为y－2＝k(x＋3)，代入双曲线方程，可得(4－k2)x2－2k(3k＋2)x－(3k＋2)2－32＝0， ∴－3＋x1＝， ∴x1＝，y1＝， ∴B(，)， 同理C(，)，∴kBC＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $