2.2.3 直线的一般式方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 　 第二章　直线和圆的方程 学习目标 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时 为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，提升逻辑推理、 直观想象和数学运算的核心素养. 任务一　直线的一般式方程 1 任务二　直线的一般式方程下的平行与垂直 2 任务三　与含参数的一般式方程有关的问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　直线的一般式方程 返回 问题导思 (阅读教材P64－65，完成探究问题1、2) 问题1.平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以.直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程. 问题2.任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：可以.任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，B≠0时，y＝－x－；B＝0时，A≠0，x＝－均表示直线. 新知构建 1.直线的一般式方程 定义 关于x，y的二元一次方程_________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式 适用范围 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示 系数的几何意义 ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距).②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率 Ax＋By＋C＝0 2.直线方程的一般式与其他形式的互化 微提醒 (1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.(5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式. (链教材P66例6)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； 典例 1 解：由点斜式得y＋2＝－(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)倾斜角是45°，在y轴上的截距是－7； 解：斜率k＝tan 45°＝1，由斜截式得y＝x－7，即x－y－7＝0. (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； 解：因为在x轴和y轴上的截距分别是，－3， 所以由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4). 解：由两点式得＝，即x＋y－1＝0. 规律方法 求直线一般式方程的策略 　　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一 般式. 对点练1.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； 解：因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理得直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； 解：由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4. 整理得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)； 解：由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：由直线的截距式方程可得＋＝1， 整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 返回 任务二　直线的一般式方程下的平行与垂直 返回 问题导思 问题3.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ 提示：l1∥l2⇒－＝－且－≠－，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1.l1 ⊥l2⇒＝－1，即A1A2＋B1B2＝0. 问题4 .在问题3中，若B1＝0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ 提示：l1∥l2⇒B1＝B2＝0且－≠－，即B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1.l1 ⊥l2⇒A2＝0，A1≠0. 新知构建 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)平行的充要条件是________________________________ (或A1C2－A2C1≠0). (2)垂直的充要条件是___________________. A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0 A1A2＋B1B2＝0 微提醒 (1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况.(2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个斜率不存在的垂直. (一题多解)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l'的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； 解：法一：l的方程可化为y＝－x＋3， 所以l的斜率为－. 因为l'与l平行，所以l'的斜率为－. 又因为l'过点(－1，3)， 所以由点斜式可得l'的方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. 法二：由l'与l平行，可设l'的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3)代入上式得m＝－9. 所以所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. 典例 2 (2)过点(－1，3)，且与l垂直. 解：法一：因为l'与l垂直，所以l'的斜率为. 又因为l'过点(－1，3)， 所以由点斜式可得l'的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 法二：由l'与l垂直，可设l'的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. 所以所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 规律方法 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 1.由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. 2.可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 对点练2.(1)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为______. －6 因为直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，所以3×8－(－4)a＝0 ，解得a＝－6. 返回 (2)过点P(2，1)且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为 A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋5＝0 √ 由题意知，所求直线的斜率k＝－2，且过点P(2，1)，所以直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选B. 任务三　与含参数的一般式方程有关的问题 返回 已知方程x＋y＋6－2m＝0. (1)求该方程表示一条直线的条件； 解：当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线. 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以x，y的系数同时为零时m＝－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为. 典例 3 (2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； 解：当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由(1)知当m＝时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4＝0. (3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值. 解：易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在. 依题意，令y＝0，得直线在x轴上的截距＝－3，解得m＝－(m＝3舍去). 所以实数m的值为－. 变式探究　(变条件)本例中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值. 解：易知m≠－1且m≠时，直线的斜率存在， 方程即y＝－x－，故斜率为－. 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝(m＝－1舍去). 所以实数m的值为. 规律方法 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 对点练3.已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； 解：由条件知，a≠0且a≠. 在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝. 所以＝×3， 解得a＝1，或a＝， 经检验，a＝1，均符合要求. (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 解：当a＝时，l的方程为x＋＝0，即x＝－1，此时l不通过第四象限. 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. 解得＜a≤1. 综上所述，当直线不通过第四象限时，实数a的取值范围为. l不通过第四象限，即 返回 课堂小结 任务再现 1.直线的一般式方程及应用.2.直线五种形式方程的互化.3.利用直线方程判定直线的平行与垂直位置关系.4.与含参数的一般式方程有关的问题 方法提炼 分类讨论思想、转化与化归思想 易错警示 1.忽视斜率不存在的情况.2.忽视两直线重合的情况 随堂评价 返回 √ 1.(2025·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角为 A. B. C. D. 设直线l的倾斜角为α(α∈).由x＋y＋1＝0，化简得y＝－x－，所以直线的斜率k＝－，所以tan α＝－，得α＝.故选A. √ √ 2.(多选)已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列结论正确的是 A.当A＝0，B≠0时，l与x轴垂直 B.当A≠0，B＝0，C＝0时，l与y轴重合 C.当C＝0时，l过原点 D.当A＞0，B＞0时，l的倾斜角为锐角 对于A，当A＝0，B≠0时直线l：By＋C＝0(B≠0)，即y＝－，表示与x轴平行(重合)的直线，故A错误；对于B，当A≠0，B＝0，C＝0时直线l：Ax＝0，即x＝0，即l与y轴重合，故B正确；对于C，当C＝0时直线l：Ax＋By＝0，此时满足方程Ax＋By＝0，即l过原点，故C正确；对于D，当A＞0，B＞0时直线l：Ax＋By＋C＝0，即y＝－x－，斜率k＝－＜0，所以l的倾斜角为钝角，故D错误.故选BC. 由题意得解得a＝－2. 3.若直线ax＋y＝0与直线4ax＋a2y＋a－2＝0平行，则a＝_____. －2 返回 由题意可设l'：x－y＋m＝0，又直线l'过点，所以2－4＋m＝0，解得m＝2，即直线l'的方程为x－y＋2＝0. 4.已知直线l：x＋y－1＝0，则过点与直线l垂直的直线l'的方程为______________. x－y＋2＝0 课时分层评价 返回 令y＝0，则2x＋6＝0，解得x＝－3，所以直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3.故选C. √ 1.直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是 A. B. C.－3 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：x＋3y＋3λ＝0平 行”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：x＋3y＋3λ＝0平行，有λ＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2025·山东淄博高二质量检测)过点且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为 A.3x＋2y＋7＝0 B.3x＋2y－1＝0 C.2x－3y＋5＝0 D.2x－3y＋8＝0 √ 法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－.故由点斜式可得y－2＝－，即3x＋2y－1＝0.故选B. 法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0.又所求直线过点，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0表示倾斜角为45°的直线，所以＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去).故选D. √ 4.若(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0表示倾斜角为45°的直线，则m的值为 A.－2 B.2 C.－3 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是 A.－1 B.1 C.2 D.5 直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.故选CD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选)(2025·北京海淀高二月考)已知直线l：ax＋ay－＝0，则下列结论正确的是 A.无论a如何变化，直线l恒过定点 B.无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限 C.无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限 D.当a取不同数值时，可得到一组平行直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l：ax＋ay－＝0，即y＝－x＋.因为直线的斜率k＝－1，与y轴的交点为，交于正半轴，故直线恒过一、二、四象限，不过第三象限，故B正确，C错误；当取不同数值时，也随着改变，直线与y轴的交点也随着改变，又直线的斜率不变，所以当a取不同数值时，可得到一组平行直线，故D正确，由D可知直线l不过定点，故A错误.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线方程为2x－y＋1－4m＝0，即为y＝2x＋1－4m.又因为直线过一、三、四象限，所以直线在y轴上的截距小于零，即1－4m＜0，解得m＞，所以实数m的取值范围为(，＋∞). 7.若直线2x－y＋1－4m＝0过一、三、四象限，则实数m的取值范围为 __________. (，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知直线l1经过点(，()，且l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则a＝___. 由题意得l2：2x－y＋7＝0的斜率为2，l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则l1的斜率为－2，得＝－2，即a＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若a，b为正实数，直线x＋y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则ab的最大值为____. 因为直线x＋y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以b＋2(2a－1)＝0，即4a＋b＝2.由基本不等式可得2＝4a＋b≥2，即 ab≤，当且仅当时等号成立.所以ab的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知直线l：x－2y－2＝0. (1)求过点M与直线l平行的直线l1的方程； 解：由于l的方程可化为y＝x－1，故斜率为，所以l1的斜率是，从而l1的方程是y－2＝，即x－2y＋1＝0. (2)求过点M与直线l垂直的直线l2的方程. 解：由于l的方程可化为y＝x－1，故斜率为，所以l2的斜率是－2，从而l2的方程是y－2＝－2，即2x＋y－8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.将直线l上一点A(－1，2) 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是 A.2x－y＋4＝0 B.2x＋y＝0 C.2x－y＋5＝0 D.x＋2y－3＝0 将A(－1，2) 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(0，4)，因为A，B都在直线l上，则kl＝＝2，所以直线l的方程为y－4＝2x，即2x－y＋4＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则下列结论正确的是 A.若l1⊥l2，则＝－3 B.若l1∥l2，则ab＝3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D.当b＜0时，l2不经过第一象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误；对于B，当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3，故B正确；对于C，在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确；对于D，由题知当b＜0时，l2：y＝x＋的图象不经过第一象限，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线l1：x＋y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，则经过点A且与直线l2垂直的直线方程为______________. 2x－y－4＝0 因为直线l1：x＋y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，所以m－1×2＝0，解得m＝1或m＝－2.当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋8＝0，则l1与l2重合，舍去；当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋8＝0，所以l1与l2平行，符合题意.设与直线l2垂直的直线方程为2x－y＋n＝0，则2×3－2＋n＝0，解得n＝－4，所以所求直线方程为2x－y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； 解：当直线过原点时满足条件，此时2－a＝0，解得a＝2，化为3x＋y＝0. 当直线不过原点时，则直线斜率为－1，故－(a＋1)＝－1，解得a＝0，可得直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； 解：y＝－x＋a－2， 因为l不经过第二象限， 所以解得a≤－1. 所以实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：令x＝0，得y＝a－2＜0，解得a＜2； 令y＝0，得x＝＞0，解得a＞2或a＜－1. 综上有a＜－1. 所以S△AOB＝＝｜a＋1＋－6｜＝3＋≥3＋×2＝6， 当且仅当－a－1＝，即a＝－4时取等号. 所以△AOB(O为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程为－3x＋y＋6＝0，即3x－y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为_____________. x＋4y－14＝0 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).因为四边形ACGH为正方形，所以Rt△AMH≌Rt△COA，所以AM＝OC＝1，MH＝OA＝2，所以OM＝OA＋AM＝3，所以点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4).所以直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10－t，0). (1)直线PQ是否经过点M(6，1)？ 解：由题意知，当直线PQ的斜率不存在时， t＝10－t，故t＝5，此时P(5，5)，Q(5，0)，直线PQ的方程为x＝5， 直线PQ不经过点M(6，1). 当直线PQ的斜率存在时，t≠5， kPQ＝， 直线PQ的方程为(2t－10)y＝t(x＋t－10). 假设直线PQ过点M(6，1)， 则2t－10＝t(6＋t－10)，即t2－6t＋10＝0， Δ＝－4＜0，方程无实根，故直线PQ不经过点M(6，1). 综上，直线PQ不经过点M(6，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上， 顶点D在边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y＝x上； 解：证明：由题意设点A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a)，D(a，a)， 点C(2a，a)满足y＝x， 故顶点C一定在直线y＝x上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标. 解：直线PQ的方程为(2t－10)y＝t(x＋t－10)， 因为P(t，t)，Q(10－t，0)， 设阴影部分的面积为S， 则S＝S△OPQ－S正方形ABCD＝t(10－t)－a2(0＜t＜10). 因为点C(2a，a)在直线PQ上， 则(2t－10)a＝t(2a＋t－10)， 所以t(10－t)＝10a. 所以当a＝，即t＝5时，图中阴影部分的面积取得最大值，Smax＝， 所以S＝5a－a2＝－＋. 此时点A，B(5，0)，C，D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.2.3　直线的一般式方程 返回 $