2.2.3 直线的一般式方程-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元5　直线的方程 2．2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 第二章　直线和圆的方程 [学习目标]　1.明确直线方程一般式的形式特征．　2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距．　3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式．　4.掌握直线方程一般式的应用． 知识点1　直线的一般式方程 内容索引 知识点2　直线的一般式方程与其他形式方程的互化 课时作业 巩固提升 知识点3　含参数的直线一般式方程 课堂达标·素养提升 知识点4　利用一般式方程解决直线的平行与垂直问题 * 知识点1　直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的________方程，简称________． 一般式 一般式 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； [分析]　根据已知条件分别利用点斜式、斜截式、两点式、截距式求出直线方程，再化为一般式方程． [解]　(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. 例1 (3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)； [分析]　根据已知条件分别利用点斜式、斜截式、两点式、截距式求出直线方程，再化为一般式方程． (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4. [分析]　根据已知条件分别利用点斜式、斜截式、两点式、截距式求出直线方程，再化为一般式方程． 思维提升 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件利用直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之一求方程，然后转化为一般式． 1．根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点A(5，7)，B(1，3)； 跟踪训练 (2)经过点(－4，3)，斜率为－3； 解：(2)由点斜式方程得y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0. (3)经过点(2，1)，平行于y轴； 解：(3)由题意知x＝2，即x－2＝0. (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 解：(4)由点斜式得y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 知识点2　直线的一般式方程与其他形式方程的互化 直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的转化，一般要利用____________作为桥梁，先将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 一般式方程 　已知直线l的一般式方程为2x－y＋4＝0，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． [分析]　将直线l的一般式方程化为斜截式方程，从而求出直线l的斜率；求直线l在x轴与y轴上的截距可以利用定义或者化为截距式方程求解． 例2 [解]　把直线l的一般式方程化为斜截式y＝2x＋4， 因此，直线l的斜率k＝2，它在y轴上的截距是4. 在直线l的方程2x－y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2， 即直线l在x轴上的截距是－2. 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，4)，过A，B两点作直线(如图)，就得直线l. 思维提升 2．直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线具有如下性质？ (1)与x轴垂直； 解：(1)∵与x轴垂直的直线方程为x＝a，即x－a＝0，它缺少y的一次项，∴B＝0.故当B＝0且A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴垂直． 跟踪训练 (2)与y轴垂直； 解：(2)类似于(1)可知，当A＝0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与y轴垂直． (3)与x轴和y轴都相交； 解：(3)要使直线与x，y轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可 知，当A≠0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴和y轴都相交． (4)过原点． 解：(4)将x＝0，y＝0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0. 故当C＝0时，直线Ax＋By＋C＝0过原点． 知识点3　含参数的直线一般式方程 直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响： (1)当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都________； (2)当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与________相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； (3)当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与________相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； (4)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与________重合； (5)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与________重合． 相交 x轴 y轴 x轴 y轴 　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； [分析]　由已知m2－2m－3≠0，对于(1)令y＝0，求出x，解方程求解；对于(2)将直线l的方程化为斜截式方程． 例3 (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [分析]　由已知m2－2m－3≠0，对于(1)令y＝0，求出x，解方程求解；对于(2)将直线l的方程化为斜截式方程． [变条件]　对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 思维提升 含参直线方程的研究策略 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. 2．令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． 3．解分式方程要注意验根． 3．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； 跟踪训练 (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 知识点4　利用一般式方程解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔____________________． A1A2＋B1B2＝0 设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2， 则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________． [分析]　 利用直线一般式方程的系数关系． －7 例4 思维提升 1．已知两条直线的一般形式，可利用系数关系研究其平行及垂直问题，特别注意平行问题要注意检验． 2．求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 4．过点P(2，1)且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为(　　) A．2x＋y＋5＝0　　　　　　 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋5＝0 B 由题意，所求直线的斜率k＝－2，且过P(2，1)，所以直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 跟踪训练 5．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13， ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 〈课堂达标·素养提升〉 1．直线3x＋2y＋6＝0在y轴上的截距为b，则b＝(　　) A．3　　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．－3 D 2．直线cx＋dy＋a＝0与dx－cy＋b＝0(c，d不同时为0)的位置关系是 (　　) A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与a，b，c，d的值有关 B 4x＋3y－12＝0 4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________． m≠1 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线l方程为(　　) A．x－2y＋4＝0　　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由(a－2)×3－2a＝0得a＝6，经检验符合题意． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. 在A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错误； 在B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错误； 在C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确； 在D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．(多选)下列说法中正确的是(　 　) A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是__________________________． a≠±1(可以写成集合形式) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点， 而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行， 所以a≠±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(2)设所求直线的方程为3x＋2y＋m＝0(m≠－12)，因为所求直线过点(－3，1)，所以－9＋2＋m＝0，解得m＝7，故所求直线的一般式方程为3x＋2y＋7＝0. (2)求与直线l平行，且过点(－3，1)的直线的一般式方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)求与直线l垂直，且过点(－3，1)的直线的一般式方程． 解：(3)设所求直线的方程为2x－3y＋n＝0，因为所求直线过点(－3，1)，所以－6－3＋n＝0，解得n＝9，故所求直线的一般式方程为2x－3y＋9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 7．若直线Ax＋By＋C＝0经过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件(　　) A．A，B，C同号 B．AC<0，BC<0 C．C＝0，AB<0 D．A＝0，BC<0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$