第一章 重点突破 1 空间直角坐标系的构建问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

重点突破 1 空间直角坐标系的构建问题 　 第一章 空间向量与立体几何 学习目标 1.了解空间坐标系建立的过程与必要性. 2.能建立空间直角坐标系解决空间几何问题，提升直观想 象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 1 题型二　利用正棱锥底面中心与高所在的直线建系 2 题型三　利用线面、面面的垂直关系建系 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 题型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 返回 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝CC1＝2. (1)求证：AB1⊥BC1； 解：证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 其中点C为坐标原点. 依题意得A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)， C1(0，0，2). 所以＝(－2，2，2)，＝(0，－2，2). 因为·＝(－2，2，2)·(0，－2，2)＝0， 所以AB1⊥BC1. 典例 1 (2)求点B到平面AB1C1的距离. 解：由(1)知＝(－2，0，2)，＝(－2，2，2). 设n＝(x，y，z)是平面AB1C1的法向量， 由 令z＝1，则n＝(1，0，1). 因为＝(－2，2，0)， 所以点B到平面AB1C1的距离为d＝＝＝. 规律方法 1.在长方体、正方体中，一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系. 2.直棱柱的侧棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的邻边，也可构造此类建系模型. 对点练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，C(1，，0)， P(0，0，1)，D(0，，0)， E(0，，). 于是＝(1，，0)，＝(0，，). 设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝－1，则x＝，＝，即n＝， 所以平面ACE的一个法向量为n＝. 返回 题型二　利用正棱锥底面中心与高所在的直线建系 返回 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝2，点E，F分别为PB，PD的中点.若平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值. 解：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接OP，则OA， OB，OP两两互相垂直. 以点O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 因为PA＝AB＝2，由勾股定理易知OA＝OB＝OP＝＝2. 从而可得有关点的坐标分别为A()，B(0，2，0)，C，D)，P)，E(0，1，1)，F. 典例 2 所以＝，＝. 设平面AEGF的法向量为n＝(， 则 取x＝1，解得y＝0，z＝2， 从而得到平面AEGF的一个法向量为n＝). 平面ABCD的法向量显然可取为m＝()， 所以cos〈m，n〉＝＝＝. 所以平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值是. 规律方法 正棱锥底面中心与顶点的连线与底面垂直，建系时常作z轴. 对点练2.已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值； 解：如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点， 建立空间直角坐标系.其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV ＝h， 知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E. 所以＝，＝. 所以cos〈，〉＝＝， 即cos∠DEB＝. (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值. 解：因为BE⊥VC，所以·＝0. 又＝(－a，a，－h)，所以·(－a，a，－h)＝0， 所以a2－－＝0，所以h＝a. 此时cos〈，〉＝＝＝－＝－， 即cos∠DEB＝－. 返回 题型三　利用线面、面面的垂直关系建系 返回 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，点E为棱PD上一点(不与P，D重合)，平面BCE交棱PA于点F. (1)求证：BC∥EF； 解：证明：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF， 所以BC∥EF. 典例 3 (2)若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值. 解：取BC的中点为M，连接AM，AC， 因为AB＝BC，且∠ABC＝60°， 所以△ABC为等边三角形， 所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD. 所以以A为原点，以AM，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 则A，C，E. 所以＝，＝(，1，0)， 设平面ACE的法向量为n＝， 则 取x＝，则y＝－3，＝6，得n＝. 因为AM⊥平面PAD，所以取平面PAD的法向量为m＝. 设平面ACE与平面PAD的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝. 所以平面ACE与平面PAD夹角的余弦值为. 规律方法 1.已知条件中的线面、面面垂直关系是建系的依据. 2. 如果题目中没有明显的垂直关系，可先根据已知条件，设法证明线面、面面垂直，进而为建系做准备. 对点练3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长 都是2，D，E分别是AC，CC1的中点. (1)求证：AE⊥平面A1BD； 解：证明：如图所示，取A1C1的中点G，连接 DG，由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是 2，D是AC的中点，所以BD⊥AC. 又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1 ＝AC，BD⊂平面ABC， 所以BD⊥平面ACC1A1. 由D，G分别为AC，A1C1的中点，可得DG⊥AC，可得DG，DA，DB两两垂直. 所以以D为坐标原点，以DG，DA，DB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(2，1，0)，E(1，－1，0)， B(0，0，)，B1. 可得＝，＝，＝. 因为·＝0，·＝0， 所以AE⊥DA1，AE⊥DB. 又DA1∩DB＝D，DA1，DB⊂平面A1BD， 所以AE⊥平面A1BD. (2)求直线AB与平面A1BD所成角的正弦值. 解：由(1)可得AE⊥平面A1BD，设n为平面A1BD 的一个法向量，则n＝＝，又＝ ，设直线AB与平面A1BD所成的角为θ， 可得sin θ＝｜cos〈，n〉｜＝＝＝， 所以直线AB与平面A1BD所成角的正弦值为. 返回 随堂评价 返回 1.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则点C到直线AB1的距离为 A.　　　　　　　 B. C. D. 取AC的中点O，连接OB，则BO⊥AC，BO＝，以O为 原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立 空间直角坐标系，如图所示， √ 则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0).所以＝，＝(.所以＝＝，故点C到直线AB1的距离d＝＝.故选B. 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，BC＝BB1＝2，E为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为 A. B. C. D. 建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝1，BC＝BB1＝2，E 为B1C1的中点，所以B(2，1，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，E(1， 1，2)，所以＝(－2，－1，0)，＝(1，0，2)，假设异面直线 BD与CE所成的角为θ，则cos θ＝＝＝ ＝.故选D. √ 3.如图，在四棱锥S -ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD的一个法向量. 解：由题意得，SA，AD，AB两两垂直，所以以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)， 则＝(，1，0)， ＝(－，0，1)， 设n＝(x，y，z)为平面SCD的法向量， 则 取x＝2，则y＝－1，z＝1， 所以平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1). 4.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC翻折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC＝，建立适当的空间直角坐标系，用向量法求翻折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值. 解：连接OD，OB，由题意可得OD⊥AC，OB⊥AC. 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD⊂平面ADC，所以OD⊥平面ABC. 以点O为坐标原点，OB，OC，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2， 则D(0，0，1)，A(0，－，0)，C(0，，0)，B(1，0，0)，E(0，－，)，F(，，0). 所以＝(0，－，)，＝(，，0). 设平面OEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 所以 返回 取y＝1，得则n＝(－，1，). 易得与共线的一个向量为m＝(0，1，0)， 所以直线AC与平面OEF所成角的正弦值为 ｜cos〈m，n〉｜＝＝＝. 课时分层评价 返回 取底面的中心为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系.OM＝ON＝AB＝1，PN＝，OP＝＝ .则M()，N()，P. 所以＝ (，＝. 故点M到直线PN的距离为＝＝.故选A. √ 1.如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.则E(0，0，)，F(，，0)，C(0， 1，0)，G(1，1，).所以＝，＝.设EF与 CG所成的角的大小为θ，则cos θ＝＝＝＝. 故选C. √ 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则EF与CG所成的角的余弦值为 A. 　　　　　 B. C. 　　　　　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. √ 3.如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝8.点A2，C2，D2分别在棱AA1，CC1，DD1上，AA2＝2，DD2＝4，CC2＝6，则点D到平面A2C2D2的距离为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则D(4，0，0)，C2(0，0，6)，D2(4，0，4)，A2(4，4，2).＝(0，0，4)，＝(－4，－4，4)，＝(－4，0，2).设平面A2C2D2的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，1，2).点D到平面A2C2D2的距离为d＝＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2， AB＝4，如图，在底面ABCD中，过点D作DH⊥AB，垂 足为H，以D为坐标原点，分别以，，所在 直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz. √ 4.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，AB＝A1A＝4，E为棱AA1的中点，则BB1与平面EDB1的夹角的余弦值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则D，B，B1，E，＝，＝，＝，设平面EDB1的法向量为n＝，则两式相减可得2y＋z＝0， 令y＝，解得z＝－2，x＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则平面EDB1的一个法向量为n＝，＝(0，0，4)，则BB1与平面EDB1的夹角正弦值sin θ＝＝＝＝＝，cos θ＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AE，DE，因为AB＝BC＝AC＝DB＝DC， E为BC中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，又平面ABC⊥底面 BCD，平面ABC∩底面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE ⊥平面BCD，故ED，EB，EA两两垂直. √ 5.如图，三棱锥A-BCD中，AB＝BC＝AC＝DB＝DC，且平面ABC与底面BCD垂直，E为BC中点，EF AD，则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为 A. B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB ＝2，由EF AD，可得A，D， B，F.则＝， ＝，＝.设平面ADB的一个法向量为m＝()，则有取z＝1，得x＝1，y＝，则m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABF的一个法向量为n＝()，则有 取c＝1，得 a＝0，b＝，得n＝.则cos〈m，n〉＝＝＝，则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 6.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面α，则直线AB与平面α所成角的正弦值可以是 A. B. C. D. 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则A(2，0， 0)，B(2，2，0)，设M(0，2，a)，0≤a≤2，则＝(－2， 2，a)，＝(0，2，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AM⊥平面α，故＝(－2，2，a)可作为平面α的 一个法向量.而＝(0，2，0)，设直线AB与平面α所成 角为θ，θ∈［0，］，则sin θ＝｜cos〈，〉｜＝ ｜｜＝＝，因为0≤a≤2，故2≤ ≤2，故∈［，］，即sin θ∈［，］，而∈［，］，∉［，］.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以O为坐标原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设SO＝1， 则OD＝1，B，D(0，－1，0)，A， C，S，P(0，－，).所以＝ (－1，－1，0)，＝(1，，－)，＝(－2，0，0). 7.在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD上靠近点S的三等分点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成角的余弦值为 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面PAC的法向量为n＝，则 取z＝1，则y＝2，可得 n＝.设直线BC与平面PAC所成角为θ，则sin θ＝｜cos〈n，〉｜＝＝，所以cos θ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB， PA⊥BC，又AB⊥BC，故PA，AB，BC两两垂直.以A为 坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，平行于 BC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 8.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AP＝a.若D是棱PC上的点，满足PD＝PC，且AD⊥PB，则a＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故A，B(0，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，a).因为PD＝PC，所以D.因为AD⊥PB，所以·＝·＝－a2＝0，解得a＝(负值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，AE⊥平面BCDE，BE，ED⊂平面BCDE，所以 AE⊥BE，AE⊥ED，又BE⊥ED，故以E为原点，EB，ED， EA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系. 9.已知四棱锥A-EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB ∥ DC的直角梯形，如图所示，且CD＝2EB＝2AE＝4，DE＝2，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则A，B，C，D，得F，所以＝，＝，记c＝＝，a＝＝，则＝＝2，a·c＝1－＝－，所以F到直线BC的距离为d＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点. (1)证明：A1D⊥平面A1BC； 解：证明：取BC的中点O，连接AO，A1O. 因为AB＝AC＝2，D是B1C1的中点.所以A1D⊥B1C1. 因为BC∥B1C1，所以A1D⊥BC. 因为A1在底面ABC的射影为BC的中点，所以A1O⊥平面ABC. 又平面ABC∥平面A1B1C1，所以A1O⊥平面A1B1C1. 又A1D⊂平面A1B1C1，所以A1O⊥A1D. 因为A1O∩BC＝O，A1O，BC⊂平面A1BC， 所以A1D⊥平面A1BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平面BA1D与平面A1B1C1所成角的余弦值. 解：如图所示，以O为坐标原点，以OA，OB，OA1所在直 线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则BC＝AC＝2，A1O＝＝. 则A1，A(，0，0)，C， B，D(－，0， )，B1. 所以＝，＝. 设平面BA1D的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 所以取z＝1，得n＝. 因为A1O⊥平面A1B1C1，所以＝即为平面A1B1C1的一个法向量， 则cos〈n，〉＝＝. 所以平面BA1D与平面A1B1C1所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP长度的取值范围为 A.[1，] B.[1，] C.[，4] D.[2，4] 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设P(a，b， 4)，CM＝t，t∈[0，4]，则M(0，4，t)，A(4，0，0)， B(4，4，0)，D1(0，0，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则＝(a－4，b，4)，＝(－4，－4，4)，＝ (0，－4，4－t).因为AP⊥平面MBD1，则 故P(4＋t，4－t，4)，则｜AP｜＝＝，而函数y＝2＋24，t∈[0，4]在t＝2时取到最小值24，在t＝0，4时，取最大值32，故｜AP｜∈[2，4].故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知异面直线A1C与AD，A1C与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 设AD＝1，AB＝a，AA1＝c，则A1C＝.由于AD∥BC，所以异面直线A1C与AD所成角为∠A1CB＝60°，从而A1C＝2.由于AB∥CD，所以异面直线A1C与AB所成角为∠A1CD＝45°，从而A1C＝a.所以c＝1，a＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示.则D(0，0，0)，A1(1，0，1)， B(1，，0)，C(0，，0)，B1(1，，1).＝(－1，－，－1)， ＝(0，，－1)，＝(－1，0，0).设平面A1BC的法向量为 n＝(x，y，z)，则取y＝1，则n＝(0，1，).所以直线B1D和平面A1BC所成的角的正弦值为＝＝，从而直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，∠ADB＝，则平面 ABD与平面ACD夹角的最大值是____. 以B为坐标原点，在平面BCD内作直线垂直于BD为x轴， BD为y轴建立如图所示的空间直角坐标系.设等边△BCD 的边长为1，因为∠ADB＝，所以设A(m，1，n).因为当 A(m，1，0)时，A，B，C，D四点共面，不能构成空间四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以n≠0.可得B(0，0，0)，C(，，0)，D(0，1，0). 则＝(0，1，0)，＝(m，0，n)，＝(，－， 0).设平面ABD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝1，则y＝0，z＝－，所以平面ABD的一个法向量为m＝(1，0，－). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ACD的一个法向量为n＝(a，b，c)，则 取 a＝1，则b＝，c＝－，所以平面ACD的一个法向量为n＝(1，，－). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABD与平面ACD的夹角为θ，所以cos θ＝ ｜cos〈m，n〉｜＝＝ ＝＝＝.因为0，所以＋44，所以0＜，所以＜1，即≤cos θ＜1，结合0＜θ≤，所以0＜θ，所以平面ABD与平面ACD夹角的最大值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝AB＝2，PA⊥BD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； 解：证明：四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝CD＝AB＝2， 则BD＝＝2，AD＝＝2，AB＝4， 所以BD2＋AD2＝AB2，所以AD⊥BD. 又PA⊥BD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以BD⊥平面PAD. 又BD⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面PAD，即平面PAD⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＝，＝，＝. 设平面PBD的法向量为n＝，则取z＝－1，则x＝，所以n＝. 设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sin θ＝＝＝＝， 所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为. (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0，0，0)， B(0，2，0)，C(－，，0)，P(，0，). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都相等，D是棱CC1的中点，E是棱AA1上的动点(不含端点)，F是棱AC的中点. 设AE＝x，随着x增大， 直线BF与平面BDE所成角是 A.增大 B.减小 C.先增大再减小 D.先减小再增大 √ 以AC中点F为坐标原点，FB，FC分别为x轴、y轴，并垂直向上作z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设所有棱长均为2，则x∈(0，2)，B，D(0，1，1)，E，F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得＝，＝(0，2，1－x)，＝.设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)， 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以取a＝1，则b＝，c＝，可得n＝ (1，，).设直线BF与平面BDE所成角为θ∈， 则sin θ＝｜cos〈n，〉｜＝＝＝.令t＝，可知t＝在x∈内单调递减，且t∈.则sin θ＝，可知y＝在t∈内单调递减，可得sin θ在x∈内单调递增，所以θ随着x增大而增大.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，ABCD是底面直径为2，高为1的圆柱OO1的轴截面，四边形OO1DA绕OO1逆时针旋转θ(0≤θ≤π)到OO1D1A1. (1)求证：无论如何旋转，DD1始终与A1C垂直； 解：证明：连接AA1，A1B，DD1. 因为DA∥D1A1，DA＝D1A1，所以四边形DAA1D1是平行四边形， 所以DD1∥AA1. 由圆柱的性质知：BC⊥平面AA1B， AA1⊂平面AA1B，所以BC⊥AA1. 又AA1⊥A1B，A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC， 所以AA1⊥平面A1BC， 又A1C⊂平面A1BC，所以AA1⊥A1C. 又因为DD1∥AA1，所以DD1⊥A1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当直线A1C与平面ABCD所成角最大时，求cos θ的值. 解：取圆弧AB的中点为E，连接OE，则OE⊥AB，分别以OE，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 所以B，C(0，1，1)，设A1(sin θ，－cos θ，0)，＝(－sin θ，1＋cos θ，1)，0≤θ≤π. 易知平面ABCD的一个法向量为n＝，设直线A1C与平面ABCD所成角为α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 所以sin α＝｜cos〈n，〉｜＝＝＝， 所以sin2α＝＝. 令t＝3＋2cos θ，1≤t≤5， 所以cos θ＝代入可得，sin2α＝＝＝≤， 当且仅当t＝，即t＝时取等号，此时cos θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 重点突破 1 空间直角坐标系的构建问题 返回 $