专题02 空间向量的应用（4重点+10题型+复习提升）（复习讲义）高二数学人教A版

专题02 空间向量的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ： 空间向量表示直线、平面 1、 直线的方向向量 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定. 2、 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 3、平面的法向量的求法 第一步：写出平面内两个不平行的向量， ， 第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程； 第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可） 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 知识点2： 判定直线、平面间的位置关系 1、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为． ①若∥，即=λ，则a∥b． ②若⊥，即· = 0，则a⊥b 2、直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面α的法向量为，且． ①若∥，即 =λ，则 ②若⊥，即· = 0，则． 3、平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 ，平面β的法向量为． ①若∥，即=λ，则α∥β ②若⊥，即 ·= 0，则α⊥β 知识点3： 用空间向量方法求空间角 1、 求异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 范围： 2、 求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 范围： 3、 求二面角的平面角 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 范围： 知识点4： 空间向量法求距离问题 1、 异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 2、点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． A为平面α外一点（如图）， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 【题型1 空间向量表示直线、平面】 高妙技法 了解直线的方向向量与平面法向量的定义。 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2 证直线平面的位置关系】 高妙技法 掌握线线平行-线面平面-面面平行三者之间的关系，用向量的方法来证明线的平行关系。 掌握线线垂直-线面垂直-面面垂直三者之间的关系，用向量的方法来证明线的垂直关系。 1．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 3.（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【题型3 空间向量求异面直线夹角】 高妙技法 求异面直线夹角常用的方法有几何法跟建系法跟向量法，若空间直线容易平移构建平面直线夹角时，可以考虑用几何法，常出现在小题中，若题目建系方便可以考虑用建系方式，一般用在大题中，建系容易计算量较大，向量法则在特殊情况下适用。 1．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·月考）如图，四棱锥中，平面，，．为的中点，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)在棱上，是否存在点，使得四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)设平面与平面的交线为，求直线与直线所成角大小． 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）如图，在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【题型4 空间向量求线面角】 高妙技法 在用空间向量求线面角的时候，是由直线的方向向量与平面的法向量计算它们夹角的余弦值，要弄清这个夹角与我们所求的线面角还需要转换。 1．（25-26高二上·重庆·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，平面底面，，点在线段上，. (1)证明：底面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（25-26高二上·广东东莞·期中）在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 4．（25-26高三上·福建福州·月考）如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 (1)证明：平面BCG； (2)若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 【题型5 空间向量求二面角】 高妙技法 二面角的取值范围与线线角、线面角不一样，所以在求余弦值的时候要注意正负。 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2．（25-26高二上·广西·月考）在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求锐二面角余弦值的最小值. 3．（25-26高二上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【题型6 空间向量求点到平面距离】 高妙技法 在几何法中，可以由体积反求点到平面距离，在建系中，可以在由点与平面任意一点构成的直线与平面法向量之间求向量积，从而可以求点到平面距离。 1．（25-26高三上·江西·月考）已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京东城·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点. (1)求证：平面ACE； (2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离. 4．（25-26高三上·河南商丘·月考）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明： (2)求三棱锥的体积 (3)求点到平面的距离 【题型7 空间向量求点到直线距离】 高妙技法 根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 1．（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 4．（25-26高二上·安徽·期中）若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为 . 【题型8 空间向量求异面直线距离】 高妙技法 异面直线的距离与其公垂线的方向向量有关，然后应用异面直线距离公式计算求解。 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·福建泉州·月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果方体图案（如图1）把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（   ） A． B．点到直线的距离是 C．若为线段上的一个动点，则的最大值为 D．异面直线与所成角的正切值为 3．（25-26高二上·北京·期中）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点．    (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； (3)设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 4．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点. (1)证明：AE⊥平面PCD． (2)求平面EFC与平面ABCD夹角的余弦值. (3)若H，Q分别是直线AE，CF上的动点，求HQ长度的最小值. 【题型9 空间向量求平面间的距离】 高妙技法 两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式可求得。 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 3．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 4．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【题型10 存在性问题探索】 高妙技法 存在性问题可以先假设存在，再论证。 1．（25-26高二上·福建三明·期中）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图 (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．    1．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是 ． 2．（25-26高二上·浙江湖州·月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西贺州·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 5．（25-26高二上·山东·月考）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)当异面直线与所成角为时，求实数的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 6．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为 ． 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为 . 8．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，， (1)求证：为中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是30°，求的值. 9．（25-26高二上·江西九江·月考）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 10．（25-26高二上·四川绵阳·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ： 空间向量表示直线、平面 1、 直线的方向向量 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定. 2、 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 3、平面的法向量的求法 第一步：写出平面内两个不平行的向量， ， 第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程； 第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可） 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 知识点2： 判定直线、平面间的位置关系 1、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为． ①若∥，即=λ，则a∥b． ②若⊥，即· = 0，则a⊥b 2、直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面α的法向量为，且． ①若∥，即 =λ，则 ②若⊥，即· = 0，则． 3、平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 ，平面β的法向量为． ①若∥，即=λ，则α∥β ②若⊥，即 ·= 0，则α⊥β 知识点3： 用空间向量方法求空间角 1、 求异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 范围： 2、 求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 范围： 3、 求二面角的平面角 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 范围： 知识点4： 空间向量法求距离问题 1、 异面直线间的距离 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离， 2、点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． A为平面α外一点（如图）， 为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH． 【题型1 空间向量表示直线、平面】 高妙技法 了解直线的方向向量与平面法向量的定义。 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共线向量和单位向量定义求解. 【详解】根据题意， 则与向量方向相同的单位向量是. 故选：B 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据法向量与垂直求解即可. 【详解】由点，可得. 因为平面的一个法向量为， 所以，即，解得. 所以，. 故选：B. 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 4．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型2 证直线平面的位置关系】 高妙技法 掌握线线平行-线面平面-面面平行三者之间的关系，用向量的方法来证明线的平行关系。 掌握线线垂直-线面垂直-面面垂直三者之间的关系，用向量的方法来证明线的垂直关系。 1．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 3.（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【答案】(1) (2) (3)点是线段上靠近B的三等分点 【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求解； （2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可； （3）建立空间直角坐标系，设得，求出平面的法向量，进而利用求出，即可判断点的位置. 【详解】（1）因为三棱锥的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，由题意，正方体的棱长为2，则，所以三棱锥外接球的体积为. （2）根据题意，取的中点E，的中点F，连接，    则，所以，且， 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即平面截正方体所得截面的面积为. （3）如图，建立空间直角坐标系，    则， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设，则，所以， 所以， 若平面，则， 化简得，解得，所以， 所以点是线段上靠近B的三等分点时，满足平面. 4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. 【题型3 空间向量求异面直线夹角】 高妙技法 求异面直线夹角常用的方法有几何法跟建系法跟向量法，若空间直线容易平移构建平面直线夹角时，可以考虑用几何法，常出现在小题中，若题目建系方便可以考虑用建系方式，一般用在大题中，建系容易计算量较大，向量法则在特殊情况下适用。 1．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆·期中）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择恰当的基底，求得向量与夹角的余弦值，其绝对值即为与所成角的余弦值. 【详解】直三棱柱中，平面.又，所以两两垂直. . . 所以， . . . 所以与所成角的余弦值是. 故选：B. 3．（25-26高二上·北京·月考）如图，四棱锥中，平面，，．为的中点，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)在棱上，是否存在点，使得四点共面?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)设平面与平面的交线为，求直线与直线所成角大小． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）建系，利用点面距的坐标计算公式可得答案； （2）利用与平面的法向量垂直可得答案； （3）利用直线分别与平面和平面的法向量垂直，可得到直线的方向向量，然后利用两直线夹角的坐标公式可得答案. 【详解】（1）过作的垂线交于点， 因为平面，所以， 如图建立空间直角坐标系，则， 因为为的中点，所以，所以， 所以， 设平面的法向量为，则，， 令，则，于是， 易知向量为，设点到平面的距离为， 所以． 所以点到平面的距离为， （2）设，所以． 因为四点共面， 所以， 所以，从而． 所以在棱上，存在点，使得四点共面，此时． （3），轴垂直平面，可得平面的一个法向量， 设直线的方向向量为， 平面与平面的交线为， 所以， 令得： 直线l的一个方向向量为， 因为， 所以异面直线与成角为. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）如图，在三棱锥中，底面，，，二面角的大小为，为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：由等腰三角形的几何性质得出，由底面结合线面垂直的性质得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； 证法二：由等腰三角形的几何性质得出，推导出，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：由（1）结合二面角的定义可知即为二面角的平面角，即，求出、、的长，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； 解法二：取的中点，连接和，由（1）结合二面角的定义可知即为二面角的平面角，即，求出、、的长，由异面直线所成角的定义可知为异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可； 解法三：故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合已知条件求出的值，再利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）证法一：因为，，为的中点，所以， 因为底面，平面，所以， 又因为，、平面，所以平面. 证法二：因为，，为的中点，所以， 因为底面，平面，所以， 所以，， 所以， 又因为为的中点，所以. 又因为，、平面，所以平面. （2）解法一：因为，，所以即为二面角的平面角，所以， 因为，，，为的中点， 所以，所以，， 因为平面，平面，所以，所以. 因为底面，， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 解法二：取的中点，连接和， 因为，，所以即为二面角的平面角，所以， 因为，，，为的中点， 所以，所以，， 因为平面，平面，所以，所以. 所以， 因为为的中点，为的中点，所以为的中位线， 所以，，所以为异面直线与所成的角. 因为平面，平面，所以， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得 . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 解法三：因为底面，， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，为的中点， 所以，所以， 所以. 设，则、、、，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以. 易知平面的一个法向量为， 又二面角的大小为，所以，解得（负值舍去）. 所以，， 所以，所以异面直线与所成角的余弦值为. 【题型4 空间向量求线面角】 高妙技法 在用空间向量求线面角的时候，是由直线的方向向量与平面的法向量计算它们夹角的余弦值，要弄清这个夹角与我们所求的线面角还需要转换。 1．（25-26高二上·重庆·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量法来证明线向量与法向量共线，即可得线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面， 所以如图建系， 可得， 则， 设平面法向量， ，令，则，所以， 则可得，所以，故直线平面PCD； （2）由题，， 设BM与平面PCB夹角为，设平面PBC法向量 ，令，则，所以， 则， 故与平面夹角正弦值为. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，平面底面，，点在线段上，. (1)证明：底面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质、结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）在矩形中，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以；同理； 又，平面，， 因此平面 （2）由（1）可知、、两两垂直，以为原点， 、、所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，因为， 所以， 可得，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以，且 设直线与平面所成的角为， 则 故直线与平面夹角的正弦值为. 3．（25-26高二上·广东东莞·期中）在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定首先证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到答案； （3）设，从而得到的坐标表示，再求出线面角的正弦表达式，利用二次函数性质即可得到最值. 【详解】（1）因为，则，且，可得， 将沿折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 所以. （2）翻折前，因为，且， 所以，所以，翻折后， 由勾股定理得． 由（1）可知平面，又，所以平面，又，所以两两垂直． 以为原点，直线分别为,,轴建立如下空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的法向量是，则， 令，则，可得． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， ， 所以二面角的余弦值为． （3）设,. ， 当时，， 当时，， 当时，的最大值为． 4．（25-26高三上·福建福州·月考）如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 (1)证明：平面BCG； (2)若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）连接DG、CE，利用平行四边形性质及线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面ABG的法向量，然后利用点面距的向量公式列方程求解即可； （ii）法一：设，由（i）得，设直线AP与直线DQ所成角为，可得，利用正弦函数性质求解最值即可； 法二：设，则，由（i）得，设直线AP与直线DQ所成角为，可得，然后按照和分类求解最大值即可. 【详解】（1） 连接DG、CE，因为， 所以为等腰直角三角形，， 在半圆DGC上，是半圆弧中点，所以，所以， 因为，所以四边形ECBF为在平行四边形，， 所以，在半圆DGC上，，所以， 又因为平面平面ABF，所以， 因为平面平面， 所以平面BCG . （2）（i）由题意，构建如图示空间直角坐标系. 设，则， 所以， 若是平面ABG的一个法向量， 则，令，     因为点到面ABG的距离， 所以，解得，即 所以. （ii）（法一）设，其中， 由（i）得，，所以， 设直线AP与直线DQ所成角为， 所以 其中， 所以， 等号成立当且仅当， 所以直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值为. （法二）设，其中， 则， 由（i）得，，所以， 设直线AP与直线DQ所成角为， 所以 ， 当时，， 所以， 令在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， ， ， 所以， 综上，此时. 【题型5 空间向量求二面角】 高妙技法 二面角的取值范围与线线角、线面角不一样，所以在求余弦值的时候要注意正负。 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 且为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 2．（25-26高二上·广西·月考）在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求锐二面角余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明平面； （2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和直线的方向向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果即可； （3）先利用坐标法求出平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式列出锐二面角余弦表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）证明：取中点O，连接， ∵，∴易知四边形为等腰梯形 ∵G，O为上下两底中点，∴，∵F为正方形的边中点， ∵与相交于点O，∴平面，∴ （2）由（1）知，∵平面平面于， ∴平面，两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系 在等腰梯形中，，，如图作，易知， ∴，，，， ∴，， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则，，∴， ∴ 设直线BC与平面所成角为，则. （3）设M为，∴， ∴设平面的一个法向量， ∴由有，令，则， ∴ ∵，∴设锐二面角的大小为，令 令， 因为，所以，而在内单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为. 此时取最小值为. 3．（25-26高二上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面和平面的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，在中，∵，， ∴， 在中，∵，∴， 同理可得，∵，平面， ∴平面； （2）设为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵平面平面，平面， ∴平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， ∴设， ∵，∴， 设点到平面的距离为， ∴，∴， ∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， 设平面与平面所成的角为， ∴． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量，即可得证； （2）求出两个平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式即可得解. 【详解】（1）证明：平面，平面，， 又因为，故两两互相垂直， 故可以为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系． 则， ，平面， 平面， 故是平面的一个法向量， 又，，且， 所以平面． （2）由（1）得， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 设平面与平面所成角为， 则. 【题型6 空间向量求点到平面距离】 高妙技法 在几何法中，可以由体积反求点到平面距离，在建系中，可以在由点与平面任意一点构成的直线与平面法向量之间求向量积，从而可以求点到平面距离。 1．（25-26高三上·江西·月考）已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可求解. 【详解】由题意：以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 所以点C到平面的距离为, 故选：C. 2．（25-26高二上·北京东城·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离． 【详解】（1）矩形中，连接交于点，则为的中点. 连接，因为是的中点，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2）因为平面，底面，所以. 所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则.所以平面的一个法向量为. 设点到平面的距离为， 则. 所以点到平面的距离为. 3．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中是PD的中点. (1)求证：平面ACE； (2)若点为PB的中点，求点到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，先由三角形中位线得PB//EO，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量，利用空间点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）如图，连接AC，交BD于O，连接EO. 因底面ABCD是矩形，则， 又因是PD的中点，所以. 又平面，平面， 则平面. （2）因为底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AB、AD、AP两两相互垂直. 以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，E是PD的中点， 所以 ， 则，    设平面ACE的一个法向量为， 那么，所以， 令，则，所以， 于是， 所以点Q到平面ACE的距离为. 4．（25-26高三上·河南商丘·月考）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明： (2)求三棱锥的体积 (3)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出，可知，即可证得； （2）先证明面，得到点到平面的距离等于，再根据三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求得三棱锥的体积； （3）根据点到平面的距离的向量求法求得点到平面的距离. 【详解】【小问1】 在直三棱柱中，平面，平面， 所以.所以. 所以，. 所以，所以是等腰三角形. 因为为中点，所以. 【小问2】 由（1）知. 因为平面，所以平面. 因为∥，平面，平面， 所以∥平面，所以点到平面的距离等于. 又. 则. 【小问3】 如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ， 则. 设平面的一个法向量为. 所以，所以. 令，则，即. . 所以点到平面的距离为. 【题型7 空间向量求点到直线距离】 高妙技法 根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 1．（湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 2．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题可得，又直线的方向向量为， 所以点到的距离为； 故选：A 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 【答案】/ 【分析】根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 【详解】由题意知，直线的方程可变形为， 所以直线经过点，方向向量为，则. 又，，， 所以. 所以点到距离为：. 故答案为： 4．（25-26高二上·安徽·期中）若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离. 【详解】设向量在直线上的投影向量为，则， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 【题型8 空间向量求异面直线距离】 高妙技法 异面直线的距离与其公垂线的方向向量有关，然后应用异面直线距离公式计算求解。 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 2．（多选）（25-26高二上·福建泉州·月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果方体图案（如图1）把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3的几何体.若图3中每个正方体的棱长为，则（   ） A． B．点到直线的距离是 C．若为线段上的一个动点，则的最大值为 D．异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算可判断A；根据点到直线的向量公式可判断B；利用坐标表示出，结合二次函数的基本性质即可判断C；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，可判断D. 【详解】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 故，，，， ，，，， 所以，A对； 记同向的单位向量为， 则点到直线的距离，B对； 记，所以， ， 所以， 二次函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取最大值，C错； 记异面直线与所成角为， 则， 所以，所以，D对. 故选：ABD 3．（25-26高二上·北京·期中）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点．    (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； (3)设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面平面，，得到平面，从而，再由三角形是等边三角形，且为的中点，得到，从而得到平面而得证； （2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF，建立空间直角坐标系，设，，求得平面的一个法向量为，再由求解； （3）设 ，由直线是异面直线和的公垂线时，线段最短求解. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为三角形是等边三角形，且为的中点， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， （2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF， 则，， 由（1）知平面，则平面，所以， 建立如图所示空间直角坐标系：    设，，则， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， 所以， 因为直线和平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得或舍去，所以； （3）设，由（2）知：， 当直线是异面直线和的公垂线时，线段最短， 则 ，即 ，解得 ， 则 ，此时 ， 所以线段的长度的最小值为. 4．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E，F分别是PD，AB的中点. (1)证明：AE⊥平面PCD． (2)求平面EFC与平面ABCD夹角的余弦值. (3)若H，Q分别是直线AE，CF上的动点，求HQ长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形性质得到，再证明平面，由线面垂直的定义转化得到，再由线面垂直的判定定理得到平面； （2）建立空间直角坐标系，找到相关点和向量的坐标，利用向量法求解面与面的夹角的余弦值， （3）求HQ长度的最小值，即求异面直线AE与CF的距离，利用向量法直接求解. 【详解】（1）∵侧面是正三角形，E是PD的中点， ∴. ∵侧面底面ABCD，侧面底面，， ∴平面 ∵平面 ∴. ∵平面， ∴平面； （2）如图，以AD的中点O为原点，建立空间直角坐标系. ，，，，. 设平面EFC的法向量为， 则， 取，则，，得. 易得平面ABCD的一个法向量为， ∴平面EFC与平面ABCD夹角的余弦值为. （3）当HQ的长度取得最小值时，直线HQ是直线AE与CF的公垂线. 由（2）得，，，， 设向量，由，，得， 令，得，，得. 故HQ长度的最小值为. 【题型9 空间向量求平面间的距离】 高妙技法 两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式可求得。 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 3．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 4．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【题型10 存在性问题探索】 高妙技法 存在性问题可以先假设存在，再论证。 1．（25-26高二上·福建三明·期中）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图 (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）先证，再由面面垂直，即可证明线面垂直，再推出线线垂直； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值； （3）假设存在点，设，其中，由（2）建立的空间直角坐标，可求得直线的方向向量与直线的方向向量，根据题意，可求得的值. 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，，所以， 又为的中点，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，.建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 所以直线和平面所成角的正弦值为. （3）假设线段上存在点适合题意，设，其中. 设，则， 则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以. 又直线和所成角的余弦值为， 所以，整理得. 解得或2（舍去） 所以线段上存在点适合题意，且. 2．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意可得，结合已知可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为，求得平面的法向量，利用向量法可得，求解即可. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面 （2）因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量，        则有， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为， 即使平面与平面夹角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 又平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 则有， 即，所以，解得或， 又因为，所以. 故存在，使平面与平面夹角的正弦值为. 3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，证明两法向量垂直即可； （3）假设存在，由，结合点的位置，即可求出的值. 【详解】（1）如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．    【答案】存在，，理由见解析 【分析】以为原点建系，利用坐标根据即可求出. 【详解】存在，理由如下： 由题意可知，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，    则, 因点P，Q分别是棱BB1，DD1的中点，则， 则， 设，则， 若平面，则， 得， 故存在点，使得平面. 1．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】先求出平面的一个法向量，然后根据可得点的各坐标之间的关系，由此可确定出点坐标的可取值. 【详解】因为，，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 故点的坐标满足即可，可取， 故答案为：(答案不唯一). 2．（25-26高二上·浙江湖州·月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用异面直线向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设异面直线与所成角大小为， 则. 故选：A 3．（25-26高二上·广西贺州·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，连接，由线面垂直及面面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】在中，，， 所以， 过作于， 则， 所以， ， 连接， 则四边形为矩形，其中， 因为平面，平面平面 所以平面， 又因为平面 所以， 又， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为轴垂直于平面， 所以取平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 5．（25-26高二上·山东·月考）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)当异面直线与所成角为时，求实数的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据中位线性质和基本事实4可证得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，结合即可求得的值； （3）利用（2）中建立的坐标系分别求出两平面的法向量，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面夹角余弦的解析式，结合二次函数的性质即可求得范围. 【详解】（1）如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以； 当时，为的中点，又为的中点，所以； 所以，又平面，平面，所以平面； （2）如图，连接，由正四棱锥可知两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以，所以， 所以，； 因为异面直线与所成角为，所以，解得， 实数的值为； （3）由（2）知，， 所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以； 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以函数， 所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 6．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得，得到，再设，得到，求得直线过定点，得到到直线的距离，结合时，求得的最大值和最小值，即可求解. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，． 因为，设，则， 所以，，解得， 又因为，所以，所以． 因为是直线和上的动点，设，， 则由得，， 因为表示以为起点，终点在直线上的向量，坐标为， 所以直线过定点，设为点， 再设是在平面内的投影，则， 设到直线的距离为，则到直线的距离， 当直线经过点时，取得最小值0， 当时，取得最大值． 所以，，即到直线距离的取值范围为． 故答案为：．    7．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 8．（25-26高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，， (1)求证：为中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是30°，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解． 【详解】（1）在三棱柱中，平面平面， 而平面平面， 平面平面， 得， ，， 为中点，为中点. （2）连接，且为中点， 在中，由余弦定理可知： 故在中，，即， 平面平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建系， 由题知：，，，， 平面的一个法向量， 设，其中 ， 设平面的法向量 ， 令，，， 故 即，解得或（舍）， 故. 9．（25-26高二上·江西九江·月考）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点与点P重合或点与点重合 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，证明四边形为平行四边形进而得到，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （3）假设存在，利用向量方法求解即可. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，   与为等腰直角三角形且， 不妨设，，. 分别为的中点， ，且. ，， ，，∴四边形为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB； （2）平面， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则， ， 设平面的一个法向量为 ，即，得 设平面得一个法向量， ∴，即，得 ∴ ∴平面与平面所成角的余弦值为 （3）设平面的一个法向量为， ，由（2）得， 取，，. 假设存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为， 设， ∴， 设直线与平面所成角为， 则 ， 整理得，解得或，此时点与点重合或与点重合， 所以，当点与点P重合时或点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值为. 10．（25-26高二上·四川绵阳·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，理由见解析 【分析】（1）取PD中点N，连接MN，AN，根据中位线的性质，可得，且，根据条件，可得，且，所以四边形为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）（i）根据面面垂直的性质定理，结合条件，可证两两垂直，如图建系，求得各点坐标，即可得坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据夹角公式，可得其余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. （ii）假设存在，设，根据点到平面距离的向量求法，可得点到平面的距离，即可求得值，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）证明：取PD中点N，连接MN，AN， 因为M，N分别为PC，PD中点， 所以，且， 因为，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 因为平面， 所以，， 因为， 所以，即，所以两两垂直， 以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面，为棱的中点， 所以即为平面的法向量， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值. （ii）假设线段上存在点满足条件，设，， 则， 所以点到平面的距离， 解得，则， 所以存在，使得点到平面的距离是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $