2.2.1 直线的点斜式方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习六　直线的方程 　　[单元整体设计]　直线的方程是在直角坐标系中对直线的代数刻画.本单元主要包括直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的一般式方程，斜截式方程、截距式方程分别是点斜式方程、两点式方程的特例.点斜式方程是其他所有方程的基础，实际上，它是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达.两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率.而一般式方程揭示了任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.学习计划3课时. 本单元内容重点是直线点斜式方程的建立，难点是对二元一次方程表示一条直线，一条直线可以用一个二元一次方程表示的认识.在研究的过程中，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.2.1　直线的点斜式方程 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程，发展逻辑推理的核心素养. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，培养直观想象的核心素养. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线的点斜式方程 (阅读教材P59－60，完成探究问题1、2) 问题1.过点P0(x0，y0)的直线在平面内有多少条？过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？由此得到什么结论？ 提示：无数条和一条，结论是：平面内一个点和斜率确定一条直线. 问题2.已知直线过P0(x0，y0)且斜率为k，直线上任意一点P(x，y)和它们有怎样的关系？试建立它们的代数关系式. 提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k(x－x0).当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P(x，y)均满足y－y0＝k(x－x0). 点斜式 已知条件 点P0(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 学生用书⬇第58页 微提醒　(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)点斜式方程中的点只要是这条直线上的点，哪一个都可以. [微思考]　(1)过点P0(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线方程是什么？ (2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示同一条直线吗？ 提示：(1)当直线与x轴平行时，方程可简写为y＝y0；当直线与y轴平行时，不能应用点斜式方程，此时可将方程写成x＝x0. (2)不是.前者缺少一个点P0(x0，y0)，后者才是整条的直线. 写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点D(2，1)和E(3，－4). 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]. (3)因为直线过点D(2，1)和E(3，－4)， 所以斜率k＝＝－5， 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2). 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). 2.点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 对点练1.(1)已知直线的方程是y＋7＝－x－3，则(　　) A.直线经过点，斜率为－1 B.直线经过点，斜率为－1 C.直线经过点，斜率为－1 D.直线经过点，斜率为1 (2)已知过定点的直线m的一个方向向量是d＝，则直线m的点斜式方程为　　　　　　. 答案：(1)C　(2)y－5＝(x－4) 解析：(1)根据已知可得出直线的点斜式方程为y－＝－，所以直线经过点，斜率为－1.故选C. (2)因为直线的一个方向向量d＝，所以直线的斜率为.又直线过点，所以直线的点斜式方程为y－5＝(x－4). 任务二　直线的斜截式方程 (阅读教材P60－61，完成探究问题3) 问题3.考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过P0(0，b)，那么此时直线的方程如何表示？ 提示：由y－b＝k(x－0)得y＝kx＋b. 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 微提醒　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－1的斜率k＝2，纵截距为－1. 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 解：(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1. (2)因为直线y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°. 故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝. 又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为在y轴上的截距为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3. 所以所求直线方程为y＝x＋3. 学生用书⬇第59页 变式探究　(变条件)若本例(3)变为：倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.求直线的斜截式方程. 解：因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 求直线的斜截式方程的策略 1.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. 2.直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可. 3.利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 对点练2.(1)(多选)关于直线l：y＝x－1，下列说法正确的是(　　) A.过点(，－2) B.斜率为 C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1 (2)(双空题)直线l过点，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为　　　　；在y轴上的截距为　　　　. 答案：(1)BC　(2)y＝3x－7　－7 解析：(1)对于A，将点(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确；易知B正确；对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于D，由y＝x－1，知直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC. (2)直线l过点，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得y＋1＝3，即y＝3x－7.当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7. 任务三　两直线的平行与垂直问题 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±； 由≠，得m≠且m≠， 所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·＝－1无解. 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直. 两条直线平行和垂直的判定 1.平行的判定 2.垂直的判定 对点练3.(1)已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝(　　) A.0 B.－1 C.1 D.±1 (2)(双空题)直线l：y＝－x＋1的倾斜角为　　　　　　　， 经过点(1，3)且与直线l垂直的直线的斜截式方程为　　　　　　. 答案：(1)B　(2)135°　y＝x＋2 解析：(1)因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1.又l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1.故选B. (2)因为直线l：y＝－x＋1的斜率为－1，设倾斜角为α，所以tan α＝－1.因为0°≤α＜180°，所以α＝135°.与直线l垂直的直线的斜率为1，则所求直线方程为y－3＝1×，即y＝x＋2. 任务再现 1.直线的点斜式方程.2.直线的斜截式方程.3.两直线的平行与垂直问题 方法提炼 待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 学生用书⬇第60页 1.直线y＝－x＋3的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案：D 解析：由题意，设直线y＝－x＋3的倾斜角为α，则0°≤α＜180°，因为y＝－x＋3的斜率为－，所以tan α＝－，则α＝120°.故选D. 2.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　 ) A.9 B.－9 C. D.－ 答案：B 解析：由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，所以l在y轴上的截距为－9.故选B. 3.已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为　　　　　　. 答案：y＝－2x＋6 解析：因为直线l与直线y＝x＋4垂直，所以直线l的斜率k＝－2.又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6.所以直线l的方程为y＝－2x＋6. 4.经过点A，倾斜角为的直线的斜截式方程为　　　　　　. 答案：y＝x＋1 解析：因为倾斜角为，则斜率k＝tan ＝1，且过点A，则y－2＝1×，即y＝x＋1. 课时分层评价13　直线的点斜式方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(多选)已知直线l：y＝x＋1，则(　　 ) A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为30° D.直线l在y轴上的截距为－1 答案：BC 解析：对于A，将(，－2)代入y＝x＋1，可知不满足方程，故A不正确；对于B，由y＝x＋1，知直线l的斜率为，故B正确；对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，可得α＝30°，故C正确；对于D，由y＝x＋1，令x＝0，可得直线l在y轴上的截距为1，故D不正确.故选BC. 2.经过点(2，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　 ) A.y＝x－3 B.y＝2x＋1 C.y＝－x＋3 D.y＝2x－3 答案：D 解析：由题意知，该直线斜率为2.又过点(2，1)，所以直线方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.故选D. 3.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　 ) 答案：C 解析：对于A，y＝ax过坐标原点，且a＞0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于B，y＝ax过坐标原点，且a＞0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于C，y＝ax过坐标原点，且a＜0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于D，两直线均不过原点，不符合题意.故选C. 4.直线l过点A(1，1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0，2)，则直线l的斜率的取值范围为(　　) A.(－1，3) B.(1，3) C.(0，1) D.(－1，1) 答案：D 解析：设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k，可化为y＝kx＋1－k，由l在y轴上的截距的取值范围为(0，2)，可得0＜1－k＜2，解得－1＜k＜1.故选D. 5.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1，1)，若l1过原点O(0，0)，则l2与y轴交点的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意得直线l1的斜率k＝＝1.由直线l1和l2互相垂直可得直线l2的斜率为－1，所以直线l2的方程为y－1＝－，即y＝－x＋2.令x＝0得y＝2，故直线l2与y轴交点的坐标为.故选B. 6.(多选)设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a可以是(　　) A.－2 B.1 C.2 D.－1 答案：AB 解析：由已知可得解得a＝－2或1.故选AB. 7.经过点(0，－2)且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程为　　　　　. 答案：y＝－x－2 解析：直线y＝3x－5的斜率为3，所以经过点(0，－2)且与直线y＝3x－5垂直的直线方程为y＋2＝－x，即y＝－x－2. 8.将直线y＝x＋－1绕其上一点沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　. 答案：y－＝ 解析：由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，所以所求直线的斜率为.又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为y－＝. 9.如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是　　　　　　. 答案：y＝x＋4 解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4. 10.(13分)已知直线方程为y＋2＝k. (1)若直线的倾斜角为135°，求k的值； (2)若k＝－2，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积. 解：(1)直线方程为y＋2＝k， 因为直线的倾斜角为135°， 所以斜率k＝tan 135°＝－1. (2)当k＝－2时，y＋2＝－2， 即y＝－2x－4， 当x＝0时，y＝－4， 当y＝0时，x＝－2， 所以A(－2，0)，B(0，－4)， 所以△AOB的面积为×2×4＝4. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l1：y＝x＋2，直线l2是直线l1绕点P逆时针旋转45°得到的直线.则直线l2的方程是(　　) A.y＝x＋3 B.y＝－2x－3 C.y＝4x＋9 D.y＝3x＋7 答案：D 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则tan α＝，β＝α＋45°，故tan β＝tan＝＝3.又点P在直线l2上，故直线l2的方程为y－1＝3，整理得y＝3x＋7.故选D. 12.(新情境)若光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为(　　) A.y＝x－4 B.y＝－x－4 C.y＝－x－4 D.y＝x－4 答案：A 解析：光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，经y轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率k＝tan 60°＝，且反射光线过点A(0，－4)，故反射光线所在的直线方程为y＝x－4.故选A. 13.(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则实数b可取的值有(　　 ) A.－1 B.0 C.2 D.3 答案：ABC　 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值.当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0) 时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，当直线y＝－2x＋b过点B(1，0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以实数b的取值范围是[－2，2].故选ABC. 14.(15分)已知直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k∈R). (1)证明：直线l恒过第一象限； (2)若直线l不过第四象限，求实数k的取值范围； (3)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：由点斜式方程y－1＝k(x－2)可知，直线l恒过点P(2，1)，该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限. (2)方程y－1＝k(x－2)转化为y＝kx－2k＋1，若直线l不过第四象限， 则 解得0≤k≤ . 所以实数k的取值范围为［0， ］. (3)存在，理由如下： 若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A(2－ ，0)，B(0，1－2k). 所以△ABO的面积S＝ (1－2k)(2－ )＝ ［4＋(－4k)＋(－)］≥［4＋2］＝ ×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成立. 故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1＝－ (x－2)，即y＝－ x＋2. 15.(5分)△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，则角A的平分线所在的直线方程为　　　　　　. 答案：y＝7x－17 解析：因为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，所以kAB＝＝－，kAC＝＝，则kABkAC＝－1.所以∠BAC＝90°.如图所示，设角A的平分线所在直线的倾斜角为α，则tan α＝－tan(45°＋∠ABO)＝－＝7.所以角A的平分线所在直线的斜率为7，因此所求的方程为y－4＝7(x－3)，即y＝7x－17. 16.(17分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将矩形折叠，使点A落在线段DC上.若折痕EF所在直线的斜率为k，试写出折痕所在的直线方程. 解：当k＝0时，A与D重合， 折痕所在直线方程为y＝； 当k≠0时，点A关于折痕EF的对称点G在DC上. 设点G的坐标为(t，1)，A(0，0)，则由AG⊥EF，得·k＝－1，所以t＝－k，所以G(－k，1)， 所以M，代入点斜式， 得直线EF的方程为y－＝k， 即y＝k＋＝kx＋＋， 当k＝0时也满足上式. 综上所述，折痕所在直线EF的方程为y＝kx＋＋. 学科网（北京）股份有限公司 $