2.2.1 直线的点斜式方程（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 学习目标 素养要求 1．了解直线的点斜式方程的推导过程． 2．掌握直线的点斜式方程并会应用． 3．掌握直线的斜截式方程，了解截距的概念. 1．通过对直线的点斜式方程的应用，培养逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．通过对直线的截距的理解，提升直观想象的核心素养. [自主梳理] 知识点一　直线的点斜式方程 [问题1]　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ 答：由斜率公式，得k＝.则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)． [问题2]　经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？ 答：斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0. [问题3]　过点P0(x0，y0)，且倾斜角为0°的直线方程是什么？ 答：y＝y0. ►知识填空 过点P0(x0，y0)的直线方程 斜率为k(点斜式) 方程形式 __y－y0＝k(x－x0)__ 特殊情况 倾斜角为0°的直线方程为__y－y0＝0__或__y＝y0__ 斜率不存在 __x＝x0__ 知识点二　直线的斜截式方程 [问题1]　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？ 答：将k及点(0，b)代入点斜式直线方程，得y＝kx＋b. [问题2]　方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？ 答：y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零． ►知识填空 直线的斜截式方程 (1)直线在y轴上的截距： ①定义：直线l与y轴交点(0，b)的__纵坐标b__； ②符号：可正，可负，也可为零． (2)斜截式方程： ①已知条件：斜率为k，在__y轴__上的截距为b； ②方程形式：__y＝kx＋b__. [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点(x0，y0)、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成＝k.(　　) (2)y轴所在直线方程为y＝0.(　　) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离．(　　) (4)过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．(　　) 解析：(1)×.点(x0，y0)不满足＝k，所以＝k不能表示过点(x0，y0)斜率为k的直线． (2)×.y轴所在直线方程为x＝0. (3)×.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标． (4)×.过点(1,1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来． 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　) A．2　　　　　 B．－1 C．3 D．－3 答案：C 3．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________． 解析：直线y＝3x－2的斜率为3，在y轴上的截距为－2. 答案：3　－2 4．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________． (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________． 解析：(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为x＝2. (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为y＝1. 答案：(1)x＝2　(2)y＝1 题型一　直线的点斜式方程 [例 1]　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________； (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________； (3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ x 倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 解析：(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1. 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线的斜率不存在．所以方程为x＝－5. (3)因为直线y＝ x的斜率为，所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为. 所以所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)． 答案：(1)y－5＝x－2 (2)x＝－5 (3)y＋3＝(x－2) [反思感悟] 求直线的点斜式方程的步骤 [提醒]　当斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标都相等，为x0，故直线方程为x＝x0. 1．直线y＝kx－3k＋2(k∈R)必过定点(　　) A．(3,2)　　　　　　　 B．(－3,2) C．(－3，－2) D．(3，－2) 解析：选A　已知直线的点斜式方程为y－2＝k(x－3)，所以直线过定点(3,2)． 2．求经过点A(2,5)，且满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)与直线y＝2x＋7平行； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 解：(1)由题意知，直线的斜率为2.所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0.所以直线的点斜式方程为y－5＝0. (3)由题意可知，直线的斜率不存在．所以直线的方程为x＝2，该直线没有点斜式方程． 题型二　直线的斜截式方程 [例 2]　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程． 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2. 又因为l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2. 所以l在y轴上的截距b＝－2. 所以由斜截式，可得直线l的方程为y＝－2x－2. [反思感悟] 求直线的斜截式方程的策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可． (3)注意灵活运用直线的斜截式方程，如果已知斜率k，只需引入参数b；同时，如果已知截距b，只需引入参数k. 　求倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的，且满足在y轴上的截距是－3的直线方程． 解：因为直线的方程为y＝x＋1， 所以k＝，倾斜角为60°. 由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为. 因为所求直线在y轴上的截距为－3， 所以由斜截式知，所求直线的方程为y＝x－3. 题型三　两直线平行和垂直的应用 [例 3]　已知直线l1：y＝－x＋3a与直线l2：y＝(a2－5)x＋6. (1)当a为何值时，l1∥l2； (2)当a为何值时，l1⊥l2； (3)求证：无论a为何值，直线l2恒过定点，并求出定点． 解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1＝－1，k2＝a2－5. (1)当l1∥l2时，有解得a＝－2. (2)当l1⊥l2时，有k1k2＝－1，即a2－5＝1. 所以a2＝6.所以a＝±. (3)证明：由y＝(a2－5)x＋6知，无论a为何值，l2在y轴上的截距恒为6，即l2恒过定点(0,6)． [反思感悟] 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求过A点且与BC平行的直线方程． 解：(1)直线AB的斜率k1＝ ＝，AB边上的高所在直线的斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)． (2)直线BC的斜率k2＝ ＝－1，过点A且与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝－x. [课堂小结] 1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1. 2．斜截式方程可看作点斜式方程的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$