7.统计案例 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

章末综合提升 　 第七章　统计案例 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 探究点一　线性回归分析 下图是某市2018年至2024年生活垃圾无 害化处理量y(单位：万吨)与年份代码t的散点图. (1)根据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用 相关系数加以说明； 解：根据散点图推断变量y与t线性相关，说明 如下： 由题意得＝＝＝4， ＝＋＋(－1)2＋02＋12＋22＋32＝28， 典例 1 ＝tiyi－7＝39.33－4×9.06＝3.09， 故r＝≈≈0.97， 由y与t的相关系数约为0.97表明y与t线性相关，且相关程度相当高. (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2026年该市生活垃圾无害化处理量. 参考数据：yi＝9.06，tiyi＝39.33， ＝0.36，≈2.646. 参考公式：＝，＝－；相关系数r＝. 解：由＝≈1.29以及(1)可得＝＝≈0.11， 则＝－≈1.29－0.11×4≈0.85，故y关于t的回归方程为Y＝0.85＋0.11T， 将2026年对应的年份代码t＝9代入回归方程得Y＝0.85＋0.11×9＝1.84， 故预测2026年该市生活垃圾无害化处理量约为1.84万吨. 规律方法 解决回归分析问题的一般步骤 第一步：画散点图.根据已知数据画出散点图； 第二步：判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程； 第三步：实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题. 对点练1.某手机生产企业为了对一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 单价x(千元) 3 4 5 6 7 8 销量y(百件) 70 65 62 59 56 48 (1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(百件)关于试销单价x(千元)的线性回归方程Y＝X＋； 解：由题意知，＝＝5.5，＝＝60， 而xiyi＝1 910，＝199，于是＝＝＝＝－4， ＝－＝60＋4×5.5＝82， 所以所求线性回归方程为Y＝－4X＋82. 单价x(千元) 3 4 5 6 7 8 销量y(百件) 70 65 62 59 56 48 (2)用(1)中所求的线性回归方程得到与xi对应的产品销量的估计值.若当销售数据满足≤1时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求“好数据”至少有1个的概率. 单价x(千元) 3 4 5 6 7 8 销量y(百件) 70 65 62 59 56 48 参考数据：xiyi＝1 910，＝199(参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为＝，＝－). 解：利用(1)中所求得的线性回归方程＝－4x＋82， 当x1＝3时，＝70；当x2＝4时，＝66； 当x3＝5时，＝62；当x4＝6时，＝58； 当x5＝7时，＝54；当x6＝8时，＝50， 单价x(千元) 3 4 5 6 7 8 销量y(百件) 70 65 62 59 56 48 与销售数据对比知满足｜－yi｜≤1(i＝1，2，…，6)的共有4个“好数据”：(3，70)，(4，65)，(5，62)，(6，59).从6个销售数据中任取2个， 记“好数据”至少有1个为事件A， 则P(A)＝＝， 所以“好数据”至少有1个的概率为. 单价x(千元) 3 4 5 6 7 8 销量y(百件) 70 65 62 59 56 48 探究点二　独立性检验 为了全面贯彻落实《未成年人保护法》和《海南省中小学生生命安全教育和防护能力提升工程实施方案》，进一步加强中小学生生命安全宣教，海南省某学校组织了一场安全知识竞赛(总分100分)，一共有1 000名学生参加，竞赛结束后，将得分按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图. 典例 2 (1)求出x的值并估计这1 000名学生的平均得分 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 解：由频率分布直方图可得10×(0.005＋x＋ 0.035＋0.030＋0.010)＝1，解得x＝0.020. 估计这1 000名学生的平均得分为55×0.05＋ 65×0.20＋75×0.35＋85×0.30＋95×0.10＝77(分). (2)已知得分不低于80分的为“优良”. ①请补充完整下面的2×2列联表(单位：人)； 性别 得分情况 总计 非“优良” “优良” 男     500 女 280     总计       解：补充完整2×2列联表如下表(单位：人)： 性别 得分情况 总计 非“优良” “优良” 男 320 180 500 女 280 220 500 总计 600 400 1 000 ②是否有99％的把握认为这次安全知识竞赛的得分是否“优良”与性别有关联？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解：根据列联表计算得χ2＝≈6.667＞6.635， 所以有99％的把握认为这次安全知识竞赛的得分是否“优良”与性别有 关联. 规律方法 处理独立性检验问题的一般步骤 第一步：认真读题，指出相关数据，得出2×2列联表； 第二步：根据2×2列联表中的数据，计算统计量χ2； 第三步：通过统计量χ2与已知临界值的比较判断“X与Y有关系”的把握的大小. 对点练2.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 运营公司 班次数 准点 未准点 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； 解：根据表中数据，A家公司共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M， 则P(M)＝＝. B家公司共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N， 则P(N)＝＝. 所以A家公司长途客车准点的概率为， B家公司长途客车准点的概率为. 运营公司 班次数 准点 未准点 A 240 20 B 210 30 (2)能否有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：χ2＝， P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解：补充列联表如下. 运营公司 班次数 合计 准点 未准点 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 根据2×2列联表，可得χ2＝＝≈3.205＞2.706. 所以有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 返回 考 教 衔 接 返回 (2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是 真题 1 √ 观察选项可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选A. 溯源(北师版P246例3)表7－7中是在某校高二年级中抽取了246名学生的化学成绩(单位：分)和物理成绩(单位：分)，求这组成对数据中化学成绩和物理成绩的样本相关系数. 表7－7(表中部分数据略，详见教材) 学号 化学 物理   学号 化学 物理 21012 88 99   20830 97 92 20823 92 99   20922 83 92 20727 65 86   20220 78 79 20903 70 79   20527 74 81 20836 80 68   20219 84 60 20216 73 76   20413 71 77 20837 88 83   20908 80 82 20712 78 81   20429 82 79 20720 70 61   20212 58 67 点评：教材例题给出了化学成绩与物理成绩的冰冷数据，但是把这些数据放到散点图中，就会呈现这两个变量之间的相关关系，而真题直接抛弃了数据关系，直接给出变量间的直观显示，二者考查本质几乎相同，体现了真题来源于教材而高于教材的命题规则. (2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是 A.沿海地区气温高，海水表层温度就高 B.沿海地区气温高，海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势 真题 2 √ 对于A、B，当气温高时，海水表层温度高低不确定，故A、B错误.对于C、D，因为相关系数为正，故随着气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选C. 溯源(北师版P235T1)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(单位：杯)与当天气温(单位：℃)的对比表： (1)根据上表中的数据画出散点图. (2)你能从散点图中发现当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈现什么关 系吗？ 点评：教材习题让学生观察到随着温度的降低，卖出的热茶杯数有增加的趋势，两变量负相关，而真题考查气温与海水温度之间的相关关系，二者都是研究变量间的相关关系，是教材习题的变式的典范. 气温/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯数/杯 20 24 34 38 50 64 (2024·全国甲卷(理))某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据 如下： 真题 3   优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表：   优级品 非优级品 甲车间     乙车间     能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 解：填写如下列联表：   优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.   优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解：由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 溯源(北师版P257练习T1)某县有甲、乙两所规范化学校，教育主管部门为了检验两校九年级学生的数学水平，从甲、乙两校的九年级学生中，分别随机抽取55人和45人(各占全校九年级学生总数的15％)进行统一试题的数学测验.测验结果如下表(单位：人)： 试问：甲、乙两校九年级学生的数学成绩的差异是否显著？ 点评：教材习题与高考真题都考查两个变量之间在多大程度上是否有关联的问题，是教材习题的另一种变式. 学校 及格情况 及格 不及格 甲校 47 8 乙校 30 15 返回 单 元 检 测 卷 返回 √ 1.(2025·山东菏泽高二期末)关于回归分析，下列说法错误的是 A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B.运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(，) C.回归模型中一定存在随机误差 D.散点图能明确反映变量间的关系 对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，故A正确；对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(，)，故B正确；对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，故C正确；对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，但存在误差，故D错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 2.研究两个变量时，依据作出的2×2列联表，计算得χ2＝4.836，而已知P≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是 A.有99％的把握认为两变量有关联 B.有99％的把握认为两变量无关联 C.有95％的把握认为两变量无关联 D.有95％的把握认为两变量有关联 由题意知，χ2＝4.836＞3.841，因此有95％的把握认为两变量有关联.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.已知一组数据(1≤i≤10且i∈Z)的线性回归方程为Y＝7X＋a，若xi＝70，yi＝500，则a的值为 A.－1 B.0 C.1 D.2 由于xi＝70，yi＝500，所以＝7，＝50.将代入Y＝7X＋a，所以7×7＋a＝50，解得a＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 4.有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据： 根据以上数据，则χ2＝ A. B. C. D.   重金属含量高 重金属含量低 设备甲 6 9 设备乙 1 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得到如下2×2列联表： 所以χ2＝＝.故选A.   重金属含量高 重金属含量低 合计 设备甲 6 9 15 设备乙 1 14 15 合计 7 23 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 5.(2025·四川广安高二月考)为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到统计数据表： 根据上表可得线性回归方程Y＝＋0.76X.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元 年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为＝＝10，＝＝8，所以＝－0.76＝8－0.76×10＝0.4，所以Y＝0.4＋0.76X.当X＝15时，Y＝0.4＋0.76×15＝11.8.故选B. 年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 6.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是 A.列联表中c的值为30，b的值为35 B.列联表中c的值为15，b的值为50 C.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 班级 数学成绩 总计 优秀 非优秀 甲班 10 b   乙班 c 30   总计     105 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，故A、B错误；根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95％的把握认为“成绩与班级有关系”.故选C. 班级 数学成绩 总计 优秀 非优秀 甲班 10 b   乙班 c 30   总计     105 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其线性回归方程为＝x＋，并计算出变量x，y之间的相关系数为－0.96，xi＝－8，yi＝－15，则线性回归直线经过 A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由相关系数为－0.96，知x，y负相关，所以＜0.又xi＝－8，yi＝－15，求得样本中心点为(－0.8，－1.5)，由于(－0.8，－1.5)在经验回归直线上，且点在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.假设有两个变量X和Y的2×2列联表如下：χ2＝＝n(－)(－).对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是 A.a＝45，c＝15 B.a＝40，c＝20 C.a＝35，c＝25 D.a＝30，c＝30 √ Y X y1 y2 总计 x1 a 10 a＋10 x2 c 30 c＋30 总计 60 40 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据独立性检验的方法和2×2列联表可得，当相差越大，则分类变量X和Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，相差越大.由各选项可得A满足条件.故选A. Y X y1 y2 总计 x1 a 10 a＋10 x2 c 30 c＋30 总计 60 40 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.下面各图中，散点图与样本相关系数r符合的有 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以样本相关系数r＝－1，故A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以样本相关系数r＝1，故B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以－1＜r＜0，故C正确；对于D，散点图中x，y之间几乎不存在线性相关关系，所以样本相关系数趋于0，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.某公司过去五个月的广告费支出X(单位：万元)与销售额Y(单位：万元)之间有下列对应数据： 工作人员不慎将表格中Y的第一个数据丢失.已知Y与X具有线性相关关系，且线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5，则下列说法正确的有 A.销售额Y与广告费支出X正相关 B.丢失的数据(表中▲处)为30 C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元 D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元 √ √ 广告费支出X/万元 2 4 5 6 8 销售额Y/万元 ▲ 40 60 50 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5，可知＝6.5，则销售额Y与广告费支出X正相关，故A正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点(5，)的坐标代入线性回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，故B正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，故C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，故D不正确.故选AB. 广告费支出X/万元 2 4 5 6 8 销售额Y/万元 ▲ 40 60 50 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 11.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间是否有关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据(单位：人)： 由以上数据，计算得到χ2＝≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是 临界值表： A.有95％的把握认为是否选物理与数学成绩有关 B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选物理与数学成绩有关 C.95％的数学成绩优异的同学选择物理 D.若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，χ2值不会发生变化 数学成绩 是否选物理 总计 选物理 不选物理 数学成绩优异 20 7 27 数学成绩一般 10 13 23 总计 30 20 50 P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为4.844＞3.841，所以有95％的把握认为是否选物理与数学成绩有关，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选物理与数学成绩有关，故A、B正确；由独立性检验的基本思想可知C错误；若表中的数据都扩大为原来的10倍，则χ2＝≈48.44，所以χ2值发生变化，故D错误.故选AB. 数学成绩 是否选物理 总计 选物理 不选物理 数学成绩优异 20 7 27 数学成绩一般 10 13 23 总计 30 20 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量Y(单位：度)与当天的平均气温X(单位：℃)之间具有线性相关关系，且Y关于X的线性回归方程为Y＝－2X＋60.据此可以预测，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数为　　. 68 由线性回归方程知，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数为－2×(－4)＋60＝68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到了如下的列联表： 认为这种药物对预防疾病有效果的把握有　　　　. 是否服用药 是否患病 总计 患病 未患病 服用药 10 46 56 没服用药 22 32 54 总计 32 78 110 99％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为χ2＝≈6.979＞6.635，所以有99％的把握认为这种药物对预防疾病有效果. 是否服用药 是否患病 总计 患病 未患病 服用药 10 46 56 没服用药 22 32 54 总计 32 78 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.(2025·江苏扬州高二期末)将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi，得到样本，且其相关系数r＝，记y关于x的线性回归方程为Y＝＋X.经计算可知：＝9，＝550，＝256，则＝　　　　. 参考公式：＝，r＝. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为＝9，＝550，所以＝－6＝550－6×92＝64.由r＝＝＝， 解得＝120，所以＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)某水果店对某个新品种水果进行试销， 需了解试销价格X(单位：元/斤)对销售量Y(单 位：斤)的影响情况，现得到5对销售数据，并 对得到的数据进行初步处理，得到如图所示的 散点图. (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合Y与X的关系，请用样本相关系数加以说明；(结果精确到0.01) 解：由题意知，＝＝5， ＝＝14， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (xi－)2＝10，(yi－)2＝112，(xi－)(yi－)＝－32， 所以r＝＝≈－0.96， 由样本相关系数r≈－0.96，可以推断Y与X这两个变量负相关，且线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合Y与X的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求Y关于X的线性回归方程. 附：参考公式：样本相关系数r＝，＝，＝－. 参考数据：≈8.367. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由(1)可得＝＝－＝－3.2，＝－＝14－(－3.2) ×5＝30， 所以Y＝－3.2X＋30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)(2025·河北邢台高二期中)为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.   选择课程A 选择课程B 男生 40 60 女生 20 80 (1)根据上表，是否有99.5％的把握认为选择课程与性别有关联？ 解：依题意得：χ2＝ ＝≈9.524＞7.879， 所以有99.5％的把握认为选择课程与性别有关联. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多的概率. 附：χ2＝. P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 解：选出的5名男生中，选择课程A的人数为5×＝2， 选择课程B的人数为5×＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 从5人中选3人，这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多有如下两种可能： 选择课程B有3人，选择课程A有0人，此时有种选法； 选择课程B有2人，选择课程A有1人，此时有种选法； 记“这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多”为事件M， 则P(M)＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)(2025·吉林白山高二期末)为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2018年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2018－2024年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 (1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都不低于0.5吨/亩的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，记A＝“从这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，B＝“从这7年中任取3年，3年的亩产量都不低于0.5吨/亩”， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B｜A)＝＝＝. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求出该线性回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量. 附：＝，＝－. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由表可知，2024年的数据异常，剔除2024年的数据， 则剩余6年的数据中，＝＝3.5，＝＝1， ＝(1－3.5)×(0.4－1)＋(2－3.5)×(0.5－1)＋(3－3.5)×(0.8－1)＋(4－3.5)×(1.1－1)＋(5－3.5)×(1.5－1)＋(6－3.5)×(1.7－1)＝4.9， 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2＝17.5， 所以＝＝＝0.28， 所以＝－＝1－0.28×3.5＝0.02， 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以y与x的线性回归方程为Y＝0.28X＋0.02， 当X＝8时，Y＝0.28×8＋0.02＝2.26(吨/亩). 所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡萝卜的亩产量为2.26吨/亩. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)某服装批发市场2024年1月至5月的服装销售量x与利润y的统计数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售量x/万件 3 6 4 7 8 利润y/万元 19 34 26 41 46 (1)从这5个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率； 解：这5个月的利润中有3个月的利润不小于30万元，有2个月的利润小于30万元， 记“m，n均不小于30”为事件A，所以所求概率P＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知销售量x与利润y近似满足线性关系，请根据表中前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝＋x； 月份 1 2 3 4 5 销售量x/万件 3 6 4 7 8 利润y/万元 19 34 26 41 46 解：由题表中前4个月的数据可得＝5，＝30，xiyi＝652，＝110， 所以＝＝5.2，＝30－5.2×5＝4， 所以所求的线性回归方程为y＝5.2x＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想. 月份 1 2 3 4 5 销售量x/万件 3 6 4 7 8 利润y/万元 19 34 26 41 46 解：由题意，得当x＝8时，y＝5.2×8＋4＝45.6，＝0.4＜2， 所以利用(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是理想的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜桔的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表： 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 可用线性回归模型拟合y与x之间的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)试求变量y与x的线性回归方程＝x＋； 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 解：由题意得＝＝11，＝＝75， 又xiyi＝4 218，＝635， 所以＝＝＝＝＝3.1， 所以＝－＝75－3.1×11＝40.9， 所以线性回归方程为Y＝3.1X＋40.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？ 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 解：根据题意得， 40×100·Y＝4 000＞600 000， 解得X＞≈35.2，又＝8.8， 所以至少要请9位主播进行直播. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为t 元/箱，且每箱坏果的个数X服从P＝若采用乙款包装箱， 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 成本为t元/箱，且每箱坏果的个数Y服从P(Y＝i)＝请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大？ 附：＝，＝－，xiyi＝4 218，＝635. 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：对于乙款包装箱， 由m＋m＋m＋＝1，所以m＝. 设采用甲款包装箱每箱获得的利润的均值为E1， 则E1＝40－EX－t＝40－1×［0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×］－t＝－t， 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设采用乙款包装箱每箱获得的利润的均值为E2， 则E2＝40－EY－t＝40－1×［0×＋1×＋2×＋3×］－t＝－t， 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令－t＝－t，解得t＝. 因为1≤t≤5，所以令－t＞－t，解得t∈， 令－t＜－t，解得t∈. 综上所述，当t＝时，采用两款包装箱获得的利润一样； 当t∈时，采用甲款包装箱获得的利润更大； 当t∈时，采用乙款包装箱获得的利润更大. 返回 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $