6.1.3 全概率公式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦全概率公式及贝叶斯公式核心知识点，前承条件概率与乘法公式，后接复杂概率模型应用。通过问题引入、定义辨析、实例解析和步骤总结搭建学习支架，助力学生理解样本空间划分及公式运用逻辑。 特色在于融入机床加工、新能源汽车满意率等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实，通过化整为零的问题拆解培养数学思维，以符号化表达和建模过程提升数学语言能力。课中例题与对点练辅助教师教学，课后分层评价与练习题帮助学生查漏补缺。

1.3　全概率公式 学习目标 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式.　2.会利用全概率公式计算概率，培养数学运算的核心素养.　*3.了解贝叶斯公式.　4.借助全概率公式的应用，培养数学建模的核心素养. 任务一　全概率公式 问题1.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，如何求它是合格品的概率？ 提示：设事件A表示“取到的零件为合格品”，事件Bi表示“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2. 其中B1，B2互斥，A发生总是伴随着B1，B2之一同时发生，即A＝B1A∪B2A，且B1A，B2A互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)＝P(B1)P＋P(B2)P＝×0.96＋×0.93＝0.95. 1.设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若 (1)BiBj＝⌀，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)， (2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω， 则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分. 条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个； 条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生. 2.定义：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝PP，称上式为全概率公式. (链教材P192例7)2025年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80％，60％，70％，求用户对S型新能源汽车的满意率. 解：设B1＝“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，B2＝“用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，B3＝“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， A＝“用户对S型新能源汽车满意”， 则B1，B2，B3两两互斥，且P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.4， P(A｜B1)＝0.8，P(A｜B2)＝0.6，P＝0.7， 由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＋P(B3)P ＝0.3×0.8＋0.3×0.6＋0.4×0.7＝0.7. 1.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题，即“化整为零”求多事件的全概率问题. 2.运用全概率公式的一般步骤 (1)求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn； (2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)； (3)求P(A｜Bi)(i＝1，2，…，n)； (4)求目标事件的概率P(A). 对点练1.某公司餐厅有米饭和面食两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为.已知小张第一天中午选面食的概率是，求小张第二天中午吃米饭的概率. 解：记B1＝“小张第一天中午吃面食”，B2＝“小张第一天中午吃米饭”， A＝“小张第二天中午吃米饭”，由题意：P(B1)＝，P(B2)＝，P(A｜B1)＝，P(A｜B2)＝， 由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＝×＋×＝， 即小张第二天中午吃米饭的概率为. 学生用书⬇第157页 任务二　*贝叶斯公式 问题2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现随机取到一合格零件，那它来自哪台机床的可能性较大？ 提示：由问题1可知取一产品是合格品的概率为P(A)＝P(B1)P＋P(B2)P＝×0.96＋×0.93＝0.95， 则P＝＝＝≈0.67， P＝＝＝≈0.33. 0.67＞0.33，则随机取到一合格零件，那它来自第一台机床的可能性较大. 定义：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi｜A)＝，称上式为贝叶斯公式. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为　　　　. 答案：0.8 解析：设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校正过”，事件B2表示“使用的枪未校正”，则B1，B2是Ω的一个划分.P(A｜B1)＝0.9，P(B1)＝，P(A｜B2)＝0.4，P(B2)＝，根据全概率公式得P(A)＝P＋P＝P(A｜B1)P(B1)＋P(A｜B2)P(B2)＝0.9×＋0.4×＝0.7，所以P＝1－P(A)＝0.3，所以P＝＝＝＝0.8. 1.公式P(B1｜A)＝＝反映了P(B1A)，P(B1)，P(A)，P(B1｜A)，P(A｜B1)之间的互化关系. 2.P(B1)称为先验概率，P(B1｜A)称为后验概率，其反映了事件B1发生的可能在各种可能原因中的比重，贝叶斯公式本质是求条件概率. 对点练2.(双空题)已知男人中有5％患色盲，女人中有0.25％患色盲，若从100个男人和100个女人中任选一人，则此人患色盲的概率为　　　　，若此人是色盲，则此人是男人的概率为　　　　. 答案：　 解析：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C，此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C｜A)＋P(B)P(C｜B)＝×＋×＝， 则P(A｜C)＝＝＝. 任务三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 (链教材P193例8)放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2024年该机场飞往A地，B地及其他地区(不包含A，B两地)航班放行准点率的估计值分别为84％，80％和75％，2024年该机场飞往A地，B地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6. 试解决以下问题： (1)现在从2024年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若2024年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地，B地及其他地区三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 解：(1)设B1＝“该航班飞往A地”，B2＝“该航班飞往B地”，B3＝“该航班飞往其他地区”，A＝“该航班准点放行”， 则P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.2，P(B3)＝0.6， P(A｜B1)＝0.84，P(A｜B2)＝0.8，P＝0.75， 由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＋P(B3)P ＝0.2×0.84＋0.2×0.8＋0.6×0.75＝0.778， 所以该航班准点放行的概率为0.778. (2)P＝＝＝＝， P＝＝＝＝， P＝＝ ＝＝， 因为＞＞，所以该航班飞往其他地区的可能性最大. P(Bi)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道A发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Bi｜A)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化. 对点练3.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和火车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动车和火车迟到的概率分别为，，. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 解：设A＝“迟到”；B1＝“乘飞机”；B2＝“乘动车”；B3＝“乘火车”. (1)所求概率为P(A)，由全概率公式得， P(A)＝P(A｜B1)P(B1)＋P(A｜B2)P(B2)＋P(A｜B3)P(B3)＝×＋×＋×＝. (2)所求概率为P(B1｜A)，由贝叶斯公式得，P(B1｜A)＝＝＝＝. 任务再现 1.全概率公式.*2.贝叶斯公式.3.全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 方法提炼 公式法、化整为零、转化与化归思想 易错警示 事件拆分不合理或不全面 学生用书⬇第158页 1.设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B｜A)＝0.2，则P(B｜)＝(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 答案：D 解析：由P(A)＝0.5，得P＝0.5，显然P(B)＝P(A)P(B｜A)＋PP(B｜)，因此0.4＝0.5×0.2＋0.5×P(B｜)，所以P(B｜)＝0.6.故选D. 2.长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设“任意调查一名学生，他每天看电脑超过2小时”为事件A，则P(A)＝，P()＝.设“从该校任意调查一名学生，他是近视”为事件B，则P(B｜A)＝，P＝.所以P(B)＝P(A)·P(B｜A)＋P()·P＝×＋×＝.故选B. 3.某地成年人体重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为0.2，0.1，0.05.则该地成年人患高血压的概率等于　　　　. 答案：0.106 解析：令B＝{某人患高血压}，Ai＝{某人体重的特征}(i＝1，2，3)，所以P(B)＝P(A1)P(B｜A1) ＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106. 4.某校高一(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一人作学生代表.已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为　　　　. 答案： 解析：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”，由题意得，P(A)＝＝， P(B｜A)＝＝，P(B)＝＝，所以已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为＝＝. 课时分层评价40　全概率公式 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知事件A，B互斥，且P(A)＝P(B)＝0.5，M满足P＝0.8，P＝0.7，则P(M)＝(　　) A.0.25 B.0.35 C.0.4 D.0.75 答案：D 解析：根据题意，事件A，B互斥，且P(A)＋P(B)＝1，所以事件A，B对立，由全概率公式可得P(M)＝P(A)P＋P(B)P＝0.5×0.8＋0.5×0.7＝0.75.故选D. 2.某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为，答对B类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设“选出A类试题”为事件A1，“选出B类试题”为事件A2，“甲答对题目”为事件B，则P(A1)＝，P(A2)＝，P＝，P＝，所以P(B)＝PP(A1)＋PP(A2)＝×＋×＝.故选C. 3.某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程.现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为(　　) A.0.3 B.0.21 C.0.125 D.0.09 答案：C 解析：记事件A＝{使用新药}，则＝{不使用新药}，B＝{病人3天痊愈}，由题意得，P(A)＝0.7，P()＝0.3，P(B｜A)＝0.9，P＝0.3，P(B)＝P()P＋P(A)P(B｜A)＝0.3×0.3＋0.7×0.9＝0.72，所以P＝＝＝＝0.125.故选C. 4.某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设A，B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件知P(B｜A)＝，P＝，P(A)＝，可得P()＝1－P(A)＝1－＝.故P(B)＝P(B｜A)P(A)＋PP()＝×＋×＝.故选A. 5.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为5％，2％，4％，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为4∶5∶11，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“零件为次品”，则P＝(　　) A.0.2 B.0.05 C. D. 答案：D 解析：根据题意可得，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝；P＝0.05，P＝0.02，P＝0.04；由全概率公式可得，P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝×0.05＋×0.02＋×0.04＝；故P(A1)＝＝＝＝＝.故选D. 6.(多选题)已知事件A，B，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P(｜)＝，则(　　) A.P( )＝ B.P＝ C.P(A＋)＝ D.P(B)＝ 答案：ABC 解析：因为P(A)＝，则P()＝，所以P()＝P()·P＝×＝，故A正确；因为P(｜A)＝1－P(B｜A)＝1－＝，故B正确；因为P()＝，P＝1－P()＝，所以P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P＝×＋×＝，故D错误；因为P()＝1－P(B)＝1－＝，P(A)＝P(A)·P＝×＝，因为P(A＋)＝P(A)＋P()－P(A)＝＋－＝，故C正确.故选ABC. 7.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是　　　　. 答案： 解析：记事件A为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件B为“从乙箱中取出白球”，则P(A)＝，P()＝，P(B｜A)＝，P(B｜)＝，所以P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)＝×＋×＝. 8.某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为　　　　. 答案： 解析：设下午打篮球为事件A，晚上跑步为事件B，易知P(A)＝P(AB)＝，P＝，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)＋P()·P＝＋×＝，所以P(A｜B)＝＝. 9.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起.现取到一件产品为正品，则它是由甲、乙、丙三个厂中　　　　(填甲、乙、丙)厂生产的可能性最大. 答案：丙 解析：“取到一件产品为正品”的概率为0.95×＋0.90×＋0.80×＝0.86，则它是甲厂的概率为＝，是乙厂的概率为＝，是丙厂的概率为＝＝，所以它是由丙厂生产的可能性最大. 10.(15分)玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 解：(1)设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i只残次品”， 由题设可知，P(B0)＝0.8，P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.1，且P(A｜B0)＝1，P(A｜B1)＝＝，P(A｜B2)＝＝， 所以P(A)＝P(B0)P(A｜B0)＋P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. (2)因为P＝＝＝＝， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. (11—13，每小题5分，共15分) 11.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设A＝{第一次抽出的是黑球}，B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)，由题意P(A)＝，P(B｜A)＝，P()＝，P(B｜)＝.所以P(B)＝＋＝.故选A. 12.(多选题)甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6％，乙、丙加工的次品率均为5％，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25％、30％、45％，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有(　　) A.该零件出自于甲加工的概率为0.25 B.该零件是次品的概率为0.052 5 C.若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D.若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2∶2∶3 答案：ABD 解析：对于A，因为甲加工的零件数占总数的25％，所以该零件出自于甲加工的概率为0.25，故A正确；对于B，该零件是次品的概率为0.06×25％＋0.05×30％＋0.05×45％＝0.052 5，故B正确；对于C，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为＝，故C不正确；对于D，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为＝，出自于丙加工的概率为＝，所以甲、乙、丙的罚款额之比为2∶2∶3，故D正确.故选ABD. 13.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为　　　　. 答案：6 解析：设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则P(A1)＝P(A2)＝，P(A3)＝，P(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝，P(B｜A3)＝，可得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，则x的最大值为6. 14.(15分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33％，且这些消费者可以分为A，B，C三类.其中A类消费者占30％，其在一年内再次购买产品的概率为60％；B类消费者占40％，其在一年内再次购买产品的概率为30％；C类消费者占x％，其在一年内再次购买产品的概率为y％. (1)求x与y的值； (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率. 解：(1)记一年内再次购买产品为事件D，消费者是A类消费者记为事件A， 消费者是B类消费者记为事件B，消费者是C类消费者记为事件C， 则P(A)＝30％，P(B)＝40％，P(C)＝x％， P＝60％，P(D｜B)＝30％，P＝y％， 所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝30％＋40％＋x％＝1，解得x＝30， 则P(D)＝30％×60％＋40％×30％＋30％×y％＝33％，解得y＝10. (2)依题意可得P(B｜D)＝＝＝＝＝. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(创新题)“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则P(B｜A)＝0.1，P(B｜)＝0.5，P(A)＝0.9，P()＝0.1，则P(AB)＝P(A)P(B｜A)＝0.9×0.1＝0.09，P(B)＝P()P(B｜)＝0.1×0.5＝0.05，故P(B)＝P(AB)＋P(B)＝0.14，故P＝＝＝.故选D. 16.人工智能领域让贝叶斯公式：P(A｜B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频 的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98％的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4％的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为　　　　(用分数表示或者保留三位小数). 答案：0.024或 解析：记“视频是AI合成”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B，则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B｜A)＝0.98，P(B｜)＝0.04，由贝叶斯公式得，P＝＝≈0.024. 学科网（北京）股份有限公司 $