2.重点突破(五) 圆锥曲线中的定点(线)、定值问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦圆锥曲线中的定点（线）、定值问题，以椭圆、双曲线等圆锥曲线方程和性质为基础，通过直线过定点、曲线过定点、定值、定直线四个题型构建学习支架，结合例题解析与对点练习，帮助学生逐步掌握综合应用方法。 资料特色在于运用“先特殊后一般”策略培养逻辑推理能力，借助数形结合提升直观想象素养，例题与方法总结结合助力学生用数学语言表达问题。如直线过定点问题先特殊情况探定点再严格证明，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固思路弥补薄弱点。

学习目标 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想在定点(线)、定值问题中的应用.　2.能根据圆锥曲线的有关性质解决有关定点(线)、定值的综合问题.　3.借助于圆锥曲线的定点(线)、定值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　直线过定点问题 已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点. 解：(1)由题意知c＝1，A，B，P， 由△PAB的面积为，得ab＝. 又a2＝b2＋c2，代入可得a2＝2，b2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：联立x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 设M，N，可得x1＋x2＝，x1x2＝， 由题知kMQ＋kNQ＝0， 即＋＝＋＝＝0， 即2kx1x2＋－4m＝0，解得k＝－m， 所以直线l的方程为y＝k， 故直线l恒过定点. 学生用书⬇第80页 由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). 对点练1.已知椭圆＋＝1的离心率e＝，上顶点是P，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点A和B是椭圆上的两个动点，点A，B，P不共线，直线PA和PB的斜率分别是k1和k2，若k1k2＝，求证直线AB经过定点，并求出该定点的坐标. 解：(1)因为椭圆的离心率e＝，椭圆经过点，所以又a2＝b2＋c2， 解得a2＝3，b2＝1，c2＝2. 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)证明：若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝m，m∈(－，).A(m，n)，B(m，－n)，＋n2＝1. k1·k2＝·＝＝≠，显然不符合题意. 故设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， k1＝，k2＝， 所以k1·k2＝·＝ ＝＝， 解得b＝－3，所以直线AB的方程为y＝kx－3. 所以直线AB过定点(0，－3). 题型二　其他曲线过定点问题 已知椭圆C：＋＝1(a＞b≥1)的离心率为，其上焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点，试探究以线段AB为直径的圆是否过定点，若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解：(1)由题意得，e＝＝， 又a2＝b2＋c2，所以a＝b，c＝b， 又＝，a＞b≥1，所以b2＝1，a2＝2， 故椭圆C的方程为＋x2＝1. (2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为＋y2＝. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 可得两圆交点为Q(－1，0)， 由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(－1，0). 下证Q(－1，0)符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0， 其方程为y＝k，代入＋x2＝1， 并整理得(k2＋2)x2－k2x＋k2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2＝(1＋k2)·＋·＋1＋k2＝0，故⊥， 即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上. 综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0). 1.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 2.用好两个策略 (1)“先特殊后一般”策略：即从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. (2)“重视对称作用”策略：即用好“由题意知，定点必在x轴上，或者定点显然在y轴上”. 对点练2.已知双曲线C：－＝1经过点(2，－3)，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，点M(－1，0)，求证：以AB为直径的圆经过点M. 解：(1)由题意知， 所以双曲线C的方程为x2－＝1. (2)证明：由(1)得c＝＝2，F2(2，0)， 若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝2， 将x＝2代入双曲线C方程，有22－＝1，解得y＝±3， 此时A(2，3)，B(2，－3)，F2是AB中点， 由于｜F2A｜＝｜F2B｜＝｜F2M｜，故以AB为直径的圆经过点M； 若直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0， 所以当k≠±时，Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)＝36(k2＋1)＞0，该方程有两解， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2＋(1－2k2)(x1＋x2)＋1＋4k2 ＝(1＋k2)·＋(1－2k2)·＋1＋4k2＝＝0， 所以⊥，即以AB为直径的圆经过点M. 综上所述，以AB为直径的圆经过点M. 学生用书⬇第81页 题型三　定值问题 已知中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴的双曲线E经过点P，且其渐近线的斜率为±. (1)求双曲线E的方程； (2)若动直线l与E交于A，B两点，且∠AOB＝，证明：为定值. 解：(1)由题意可设双曲线E的方程为4y2－3x2＝λ. 因为E经过点P， 所以4×7－3×＝λ，解得λ＝12. 故双曲线E的方程为－＝1. (2)证明：若直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m， 由消去y得x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 则Δ＝64k2m2－4＞0，即m2＋4k2－3＞0， 设A，B，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为∠AOB＝，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋＝0， 整理得12＝m2， 如图所示， 设点O到直线l的距离为d，则由等面积法得·＝·d，所以＝d， 又d＝＝＝＝2， 所以＝2. 若直线l的斜率不存在，则直线OA的斜率为±1， 不妨设直线OA的斜率为1，则x1＝y1， 将点A的坐标代入方程－＝1，得＝12， 所以＝＝2，＝4， 所以＝2. 综上，为定值2. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1.求代数式为定值：依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. 2.求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. 3.求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 对点练3.已知椭圆C：＋＝1和抛物线E：y2＝2px.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：P1，P2，P3(，－1)，P4. (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设m为实数，已知点T，直线x＝my＋3与抛物线E交于A，B两点.记直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，判断＋m2是否为定值，并说明理由. 解：(1)将四个点代入抛物线方程解得p的值分别为p1＝－，p2＝，p3＝，p4＝， 注意到P2，P4对应的p一样，所以P2，P4在抛物线上， 故抛物线E的方程为y2＝x. 所以P1，P3为椭圆上的点， 则 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)＋m2是定值，理由如下： 设A，B，如图所示， 联立整理得 y2－my－3＝0， 由韦达定理得 又因为x1＝my1＋3， 所以k1＝＝＝， 同理k2＝. 所以＋m2＝＋m2＝2m2＋＋＝2m2＋＋＝－12， 所以＋m2为定值－12. 题型四　定直线问题 (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求双曲线C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上. 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由焦点坐标可知c＝2， 则由e＝＝，可得a＝2，b＝＝4， 故双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，如图所示， 显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－＜m＜， 与－＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝－， 由＝－，可得x＝－1，即xP＝－1， 据此可得点P在定直线 x＝－1上. 动点在定直线上的问题解题方法 1.设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. 2.待定系数法：设出含参数的直线方程，代入条件求解系数. 3.验证法：面对复杂问题时，可从特殊情况入手，先确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜后证”. 注意：本题为非对称韦达定理的应用. 对点练4.已知椭圆C：＋＝1.A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点.直线l：x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由. 解：当l⊥x轴时， 不妨令P，Q， 又A1(－3，0)，A2(3，0)，：y＝(x＋3)， ：y＝(x－3)，联立解得S(9，4). 当l过椭圆的上顶点时， y＝－x，P(0，)，Q， ：y＝(x＋3)，：y＝(x－3)， 联立解得S(9，4). 若定直线存在，则方程应是x＝9. 下面给予证明. 把x＝my＋1代入椭圆方程，整理得 (2m2＋3)y2＋4my－16＝0，Δ＞0成立， 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝. ：y＝(x＋3)，：y＝(x－3)， 联立的方程可得 ＝＝ ＝＝＝2， 由＝2，可得x＝9， 综上，定直线方程为x＝9. 学生用书⬇第82页 学科网（北京）股份有限公司 $