专题09 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

专题09 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆锥曲线中的定点问题 题型二、圆锥曲线中的定值问题 题型三、圆锥曲线中的定直线问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆锥曲线定点、定值、定直线问题是解析几何板块的压轴题型，所有题型均围绕直线设参、联立方程、韦达翻译、参数消去、特殊探路五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是定点定值问题可先用特殊位置猜测结果，再做一般性证明，二是设直线时要考虑斜率存在与不存在两种情况，防止漏解，三是联立方程后优先利用韦达定理整体代换，减少单独求点运算，四是定值题型核心是消去变量参数，结果不受参数变化影响，五是定直线问题抓住恒成立条件，分离参数寻找约束关系，算出结果之后带回原题检验是否满足全部条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆锥曲线中的定点问题 典例1-1 设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（    ）． A． B． C． D． 典例1-2 设点，，过线段上动点，作线段，垂足为，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，是曲线上不同的两点，若直线和的斜率之商为，证明：直线过定点． 题型模版 1.特征：一条动直线与圆锥曲线交于两个交点，满足固定的几何条件，求证或者求解这条直线恒经过某个固定不变的点。常见条件：两条直线垂直、斜率之和为定值、向量数量积为零 2.方法：第一步，设出直线方程，需要考虑直线斜率存在和斜率不存在两种情况。 第二步，联立直线方程和圆锥曲线方程，整理得到一元二次方程，写出判别式，保证有两个交点。 第三步，设出两个交点坐标，利用根与系数的关系，得到两点横坐标之和、横坐标之积。 第四步，把题目中的几何条件，转化为坐标的代数式，代入根与系数的结果进行化简。 第五步，整理直线方程，分离参数，找到无论参数如何变化都满足方程的定点坐标. 变式1-1已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 变式1-2已知点F为椭圆的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为____________． 变式1-3已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 变式1-4已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 变式1-5已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 类型二、圆锥曲线中的定值问题 典例2-1 设点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，设MA、MF、MB的斜率分别为，则的值为 A．2 B． C．4 D． 典例2-2 设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； (3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 题型模版 1.特征：动点在指定曲线上运动，随着动点位置变化，某个代数式（斜率组合、距离乘积、向量数量积等）的计算结果始终保持不变，不随参数改变，要求求出这个固定数值 2.方法：第一步，根据圆锥曲线方程，求出题目中定点、焦点、准线相关固定点坐标。 第二步，设出动点坐标，用一个参数来表示动点。 第三步，利用坐标写出需要研究的代数式，比如斜率、距离表达式。 第四步，代入坐标展开化简，消去里面的可变参数，最后得到一个常数。 第五步，检验特殊位置，确认结果不受参数影响，验证定值成立 变式2-1定点A和动点是抛物线上的两点，点与点A关于轴对称，其中与A、不重合，且的纵坐标为，直线，的斜率之差为，斜率之积为，当从小到大变化时，的变化情况是（    ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直不变 D．以上情况都不对 变式2-2已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 变式2-3已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为__________. 变式2-4在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 变式2-5已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 题型三、圆锥曲线中的定直线问题 典例3-1 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为，则的标准方程为_______________；已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，则点在定直线_______上． 典例3-2 已知椭圆，当过点的动直线与椭圆相交于不同两点，时，在线段上取一点，满足，求证：点总在某定直线上． 题型模版 1.特征：圆锥曲线上有动点，由动点生成两条动直线，两条动直线产生交点。随着动点变化，交点始终落在一条固定不变的直线上，这条直线不随参数改变，需要求出该定直线。一般分为两小问，第一问求圆锥曲线方程，第二问证明交点在定直线上 2.方法：比第一步，利用题干条件，求解圆锥曲线的标准方程。 第二步，设出动点坐标，设出过动点的动直线，注意区分直线斜率存在、不存在两种情况。 第三步，联立动直线与圆锥曲线方程，写出判别式，借助根与系数的关系，得到两个交点坐标的和与积。 第四步，写出两条相交动直线对应的方程，联立这两个直线方程，求出交点坐标。 第五步，利用前面根与系数的关系式化简交点坐标，消去可变参数，找到坐标恒满足的固定直线。 第六步，取特殊位置验证，确认交点都在这条直线上。 变式3-1给定双曲线 ，，为实轴端点.过右焦点 任作一条直线，与双曲线右支交于、两点.直线与交于点.证明:点在一条定直线上. 变式3-2已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过两点作曲线的两条切线，求证：两切线的交点都在定直线上，并求此直线的方程． 变式3-3已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 变式3-4在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点. (1)若是直线l的一个法向量，求直线l的标准方程； (2)若的面积为，求直线l的方程； (3)在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上. 变式3-5设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（    ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，点在椭圆上，若点分别在直线，上，若四边形为平行四边形，且为定值，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（    ） A． B． C． D． 4．设抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，设直线的斜率分别为，则 A． B． C． D．不确定 5．点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于点，，且，设直线，的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．直线过点 D．直线过点 6．已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 7．设椭圆的上顶点为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点______________． 8．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则定点A的坐标为__________． 9．抛物线的焦点为，顶点为，其上两点（均异于原点）满足，则直线过定点_____；过点作于点，则的取值范围是_____． 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 11．过的直线交椭圆于不同两点、，在线段上取点，满足．求证：点Q在某定直线上． 12．已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． (1)求的方程； (2)已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； (3)设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作互相垂直的两条直线与，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是； (1)若双曲线的虚轴长为4，求该双曲线的方程； (2)求证：为定值，并写出该定值； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由； 15．设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆锥曲线中的定点问题 题型二、圆锥曲线中的定值问题 题型三、圆锥曲线中的定直线问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆锥曲线定点、定值、定直线问题是解析几何板块的压轴题型，所有题型均围绕直线设参、联立方程、韦达翻译、参数消去、特殊探路五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是定点定值问题可先用特殊位置猜测结果，再做一般性证明，二是设直线时要考虑斜率存在与不存在两种情况，防止漏解，三是联立方程后优先利用韦达定理整体代换，减少单独求点运算，四是定值题型核心是消去变量参数，结果不受参数变化影响，五是定直线问题抓住恒成立条件，分离参数寻找约束关系，算出结果之后带回原题检验是否满足全部条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆锥曲线中的定点问题 典例1-1 设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合抛物线的定义求得抛物线方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得，由此求得直线过定点. 【详解】∵是抛物线上一点，且．∴， 解得，即抛物线的方程为． 依题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为，，， 由消去得，则，． 因为，所以，即． 化简得．由得，所以直线的方程为， 所以直线经过定点． 故选：C 典例1-2 设点，，过线段上动点，作线段，垂足为，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，是曲线上不同的两点，若直线和的斜率之商为，证明：直线过定点． 【答案】(1)（） (2)证明见解析 【分析】（1）根据位置关系与点到点的距离公式，即可求解； （2）设出方程，对应得到方程，求解出、两点坐标，结合直线方程即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，垂足为且在线段上，所以设，， 而，，， 因此， 故曲线的方程为. （2）由题意得，直线斜率必然存在，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，得， 设点坐标为，则由韦达定理，， 则，，， 因为直线与直线的斜率之商为，所以直线方程为， 联立，得， 设点坐标为，则由韦达定理，， 则，，， 由题意知，直线斜率必存在，， 直线的方程为，即， 所以此时直线过定点，故得证. 题型模版 1.特征：一条动直线与圆锥曲线交于两个交点，满足固定的几何条件，求证或者求解这条直线恒经过某个固定不变的点。常见条件：两条直线垂直、斜率之和为定值、向量数量积为零 2.方法：第一步，设出直线方程，需要考虑直线斜率存在和斜率不存在两种情况。 第二步，联立直线方程和圆锥曲线方程，整理得到一元二次方程，写出判别式，保证有两个交点。 第三步，设出两个交点坐标，利用根与系数的关系，得到两点横坐标之和、横坐标之积。 第四步，把题目中的几何条件，转化为坐标的代数式，代入根与系数的结果进行化简。 第五步，整理直线方程，分离参数，找到无论参数如何变化都满足方程的定点坐标. 变式1-1已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线，，将直线与抛物线方程联立，得到，，根据列出方程，解得，即可确定直线所过定点. 【详解】显然直线的斜率不为，且不经过坐标原点， 故设直线的方程为，，． 联立方程消去得， 则，所以． 因为，所以，即， 解得， 所以直线的方程为，则直线过定点． 故选：C． 变式1-2已知点F为椭圆的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题根据直线与圆锥曲线位置关系，联立直线与曲线的方程转化为一元二次方程，利用根与系数的关系法，设而不求，整体代入即可求解. 【详解】由题可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为：， 设，则， 联立直线与椭圆方程，消去y并整理得：， 则,，显然， 所以直线QM的方程为：，整理得， 又， 所以直线QM的方程为，当时，恒成立，故直线QM过定点． 故答案为： 变式1-3已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，且定点坐标为 【分析】（1）利用焦距与椭圆定义计算可得、，即可计算出，即可得解； （2）设出直线方程，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关的韦达定理，则可得点坐标，再表示出直线方程，即可得点坐标，由以为直径的圆上的点满足，即可借助向量得到，设，求出是否存在定值、使得恒成立即可得解. 【详解】（1）由椭圆焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 即， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点. 变式1-4已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 变式1-5已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方. (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值； (3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，定点 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参数，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为与交点纵坐标的等式，进而求出； （3）用斜率参数表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数的多项式，构造方程组即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 因为直线经过该抛物线的焦点， 所以，即，故抛物线的方程为. （2）已知直线与抛物线交于两点，设， 联立，消去得， 则，， 已知直线在轴上方，则， 当线段在直线上方时，记直线分别与交于点， 由三角形面积公式，有，， 所以， 解得（负值舍去）. （3）已知为线段中点，则， 由（2）知， 则，， 以为圆心且过点的圆为， 整理得， 令，解得， 即当时，以为圆心且过点的圆过定点. 类型二、圆锥曲线中的定值问题 典例2-1 设点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，设MA、MF、MB的斜率分别为，则的值为 A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先写出F,A,B点坐标，设，然后直接用坐标表示斜率即可得解. 【详解】点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），可设为. 过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，不妨设. 则. 故选A. 典例2-2 设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； (3)直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 【答案】(1) (2) (3)，定值为 【分析】（1）根据题意列出等式即可求解； （2）根据题意求出过点的两条切线，利用弦长公式即可求解； （3）联立直线与抛物线，根据得到直线经过定点，再根据直线得到动点的运动轨迹即可求解. 【详解】（1）设，由，可得，通分可得，解得， 所以曲线的方程为：. （2） 如图所示，设点，过的切线为， 联立得，由，，得， 所以切线方程为，代入得， 同理，抛物线在处切线方程：， 切线过得，直线的方程为， 联立得所以，， . （3） 如图所示，设直线的方程为，设，， 联立抛物线方程可得：，由韦达定理得：，， ，， 由得：得， 所以化简得：， 直线方程为：即恒过定点：， 直线，且恒过定点，所以． 动点的运动轨迹是以线段为直径的圆，圆心即为线段的中点，， 所以平面内存在定点，使得为定值，定值为． 题型模版 1.特征：动点在指定曲线上运动，随着动点位置变化，某个代数式（斜率组合、距离乘积、向量数量积等）的计算结果始终保持不变，不随参数改变，要求求出这个固定数值 2.方法：第一步，根据圆锥曲线方程，求出题目中定点、焦点、准线相关固定点坐标。 第二步，设出动点坐标，用一个参数来表示动点。 第三步，利用坐标写出需要研究的代数式，比如斜率、距离表达式。 第四步，代入坐标展开化简，消去里面的可变参数，最后得到一个常数。 第五步，检验特殊位置，确认结果不受参数影响，验证定值成立 变式2-1定点A和动点是抛物线上的两点，点与点A关于轴对称，其中与A、不重合，且的纵坐标为，直线，的斜率之差为，斜率之积为，当从小到大变化时，的变化情况是（    ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直不变 D．以上情况都不对 【答案】C 【分析】先利用点、点A、点求得直线，的斜率，进而得到的解析式，化简整理后即可得到当从小到大变化时，的变化情况. 【详解】设，，， 则， 则，则 则当从小到大变化时，的变化情况是一直不变. 故选：C 变式2-2已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【详解】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 变式2-3已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为__________. 【答案】 【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解. 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故答案为：. 变式2-4在平面直角坐标系xOy中，设m为实数，若双曲线的右焦点为，离心率为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为1，直线交双曲线于A，B两点. (1)求此双曲线的方程. (2)若A，B两点都在双曲线的右支上. （ⅰ）求面积的最小值. （ⅱ）在x轴上是否存在一点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式列式求出即可. （2）（ⅰ）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出三角形面积的函数关系，进而求出最小值；（ⅱ）假定存在并设出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合韦达定理化简求解. 【详解】（1）由离心率，得，又，得， 焦点到渐近线的距离为，解得，，， 所以双曲线方程为. （2）（ⅰ）由消去得，设， 且，，， 因此的面积 ， 令，函数在上递减，当时，， 因此当时，取得最大值1， 所以面积的最小值为. （ⅱ）假设在x轴上存在一点P，使得为定值，设， 则， ，要为定值，当且仅当，即， 所以在x轴上存在一点P，使得为定值，点的坐标为. 变式2-5已知点，，，且. (1)求点P的轨迹方程C； (2)已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据双曲线的性质及定义写出对应参数，即可得； （2）（i）设直线，联立双曲线方程得，讨论、，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（ii）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【详解】（1）由题意，点P的轨迹为双曲线，且， 所以，则点P的轨迹方程C为； （2）（i）由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或. （ii）由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 题型三、圆锥曲线中的定直线问题 典例3-1 已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为，则的标准方程为_______________；已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，则点在定直线_______上． 【答案】 【分析】设，根据斜率之积和点在椭圆上整理可得椭圆的标准方程；设直线的方程为，联立椭圆方程消去，利用，坐标表示出直线与的方程，求解出点的坐标，然后用韦达定理化简即可得证． 【详解】由题意可得，且，则. 设，则，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，代入式得， 由，代入得， 故椭圆C的标准方程为； 设，，显然直线不垂直于轴， 故可设直线的方程为， 由消去得， 因为点在椭圆的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， ， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由直线与相交于点，则， 消得①， 由于，得， 可得 ， 将代入①式得，解得，即点在直线上． 故答案为: .   典例3-2 已知椭圆，当过点的动直线与椭圆相交于不同两点，时，在线段上取一点，满足，求证：点总在某定直线上． 【答案】证明: 设点，，． 记，则且，，， ， 所以， 于是，， 同理可得，， 从而 ①， ②， ③， ④． 由并结合③，④得，即点总在定直线上． 【分析】记，利用向量关系表示出点坐标，再结合，在椭圆上代入可解. 【详解】略. 题型模版 1.特征：圆锥曲线上有动点，由动点生成两条动直线，两条动直线产生交点。随着动点变化，交点始终落在一条固定不变的直线上，这条直线不随参数改变，需要求出该定直线。一般分为两小问，第一问求圆锥曲线方程，第二问证明交点在定直线上 2.方法：比第一步，利用题干条件，求解圆锥曲线的标准方程。 第二步，设出动点坐标，设出过动点的动直线，注意区分直线斜率存在、不存在两种情况。 第三步，联立动直线与圆锥曲线方程，写出判别式，借助根与系数的关系，得到两个交点坐标的和与积。 第四步，写出两条相交动直线对应的方程，联立这两个直线方程，求出交点坐标。 第五步，利用前面根与系数的关系式化简交点坐标，消去可变参数，找到坐标恒满足的固定直线。 第六步，取特殊位置验证，确认交点都在这条直线上。 变式3-1给定双曲线 ，，为实轴端点.过右焦点 任作一条直线，与双曲线右支交于、两点.直线与交于点.证明:点在一条定直线上. 【答案】设直线的方程为，.联立， 消元整理得. 因为直线与双曲线右支交于、两点，所以，且由韦达定理得. 已知，，由直线的两点式方程可以得直线与的方程分别为： 和. 联立得：，即. 因为，所以， 将代入并化简得， 即，展开整理得，所以点一定在定直线上. 变式3-2已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，过两点作曲线的两条切线，求证：两切线的交点都在定直线上，并求此直线的方程． 【答案】(1) (2)证明:由题意知，过点的直线的斜率一定存在，设为，设， 联立得，则， ∵抛物线方程为， 所以两切线方程为，即 两切线方程作差可得：，又，计算得：， 代入得：，整理得：， 又，可得，所以两切线的交点在定直线上. 【分析】（1）因为动点到的距离比到直线的距离小，所以可转化为动点到的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义，可确定曲线的类型，进而求出其方程； （2）先设出过的直线方程，与曲线的方程联立，得到两点坐标的关系；再利用导数求出曲线在两点处的切线方程，联立两条切线方程求出交点坐标；最后根据坐标的关系化简交点坐标，判断是否在定直线上. 【详解】（1）解：由题意知，动点到点的距离与动点到直线的距离相等， 所以曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）证明略；定直线为.． 变式3-3已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设，， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简； （3）直线的方程为，联立直线、的方程求出点的坐标，结合韦达定理化简得出. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）略 变式3-4在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点. (1)若是直线l的一个法向量，求直线l的标准方程； (2)若的面积为，求直线l的方程； (3)在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上. 【答案】（1）； （2）或； （3）证明：设 根据题意，Q点在之间，不妨设点在点的左侧. 当直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点轴上方时， 由 则,即 所以，则 同理当A，B两点轴下方时，也有成立. 所以当直线l的斜率不为0时，有， 由（2）有 当直线l的斜率为0时，即A，B两点为椭圆的左右顶点，即 所以满足的点为 综上所述: 满足条件的点 Q在直线上.即点Q在一条定直线上. 【分析】(1)由条件得到直线l的斜率为，从而写出方程. (2)设直线l的方程为，与椭圆方程联立写出韦达定理，由，求解出答案. (3) 设由,则,即,即，从而可得从而可证. 【详解】（1）直线l的一个法向量为，则直线l的斜率为 又直线l过点，所以直线l的方程为：，即 （2）根据题意直线l的斜率不为0，则其方程为： 设 所以,可得 所以，即 ， ，即 设，则 所以，即，解得 或 即或 经检验，或都满足 所以直线l的方程为：或 即直线l的方程为：或 （3）略. 变式3-5设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）设， 因为，所以， 由​​​，可得， 所以， 结合， 化简得：， 所以，代入​​， 可得​， 所以， 因此 恒在定直线上. 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（i）设过的切线方程为，根据切线性质可得，由此可求，联立方程组求的坐标和直线的斜率，再求点的坐标； （ⅱ）设，由条件利用表示 ，结合（ⅰ）化简可得结论. 【详解】（1）由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率， 得 ，又， 因此椭圆的标准方程为：； （2）（ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以，整理得， 由根与系数关系得：， 将代入椭圆方程得，同理， 所以直线的斜率， ，所以​​， 令可得， 因此点坐标为； （ⅱ）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而得结果． 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 依题意圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上． 故选：C． 2．已知为坐标原点，点在椭圆上，若点分别在直线，上，若四边形为平行四边形，且为定值，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知四边形可得，再用，，的坐标表示出斜率，得到，最后由定值条件求出离心率. 【详解】四边形为平行四边形， ． 设，，，则，， ，，， ， 当时，为定值，即为定值， 椭圆的离心率为． 故选：C． 3．已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再表达出，结合双曲线的方程化简即可. 【详解】设，则， . 故选：B 4．设抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，设直线的斜率分别为，则 A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】分析： 由，得，由韦达定理可得，利用斜率公式可得结果. 详解：设的方程为，，， 由，得，， 又，， ，故选C. 5．点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于点，，且，设直线，的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．直线过点 D．直线过点 【答案】D 【分析】设，，则，， ，再根据题干列式化简即可. 【详解】解：设，，则，，，所以. 直线的方程为，即， 因为，所以，即， 代入方程整理得，则直线l过点. 故选：D. 6．已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】D 【分析】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解. 【详解】依题意，设，则， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以的方程为，即，即， 所以，故D正确，显然ABC错误. 故选：D. 7．设椭圆的上顶点为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点______________． 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立方程组得到，根据列出方程，求得的值，进而得到答案. 【详解】根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则， 且， 由，所以， 所以，解得或， 当时，直线AB经过点D，不满足题意，则直线AB的方程为， 所以直线AB过定点． 故答案为：． 8．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则定点A的坐标为__________． 【答案】 【分析】先列出直线和双曲线联立，再得到的表达式，要使得为定值，则需满足各项对应的系数成比例，求出点坐标. 【详解】设，若直线斜率不存在，此时为轴，与双曲线没有交点， 所以可令，，，则， 由，可得，易知， 则，， 所以 ， 所以，即， 将代入，得，则， 从而，解得或， 当，时，此时不在双曲线上，舍去； 当，时，此时在双曲线上，满足题意； 综上，. 故答案为： 9．抛物线的焦点为，顶点为，其上两点（均异于原点）满足，则直线过定点_____；过点作于点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设直线，与抛物线方程联立，再根据，由求解；由，设，与抛物线方程联立，求得点C的坐标，再利用两点间的距离求解. 【详解】如图所示， 不妨设直线，， 由，得， 所以，从而． 由可知，解得， 此时满足题意， 所以直线，过定点． 因为，所以不妨设， 由,得,即，又， 所以． 因为，所以， 即的取值范围是． 多解 由二级结论“若直线与抛物线交于两点，为坐标原点， 且，则直线过定点，反之亦成立”，知直线过定点． 设，直线与轴的交点为，则． 因为，所以， 所以，即． 设圆心，所以， 又两点均异于原点，所以， 即的取值范围是． 故答案为：， 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 【答案】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到：，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 11．过的直线交椭圆于不同两点、，在线段上取点，满足．求证：点Q在某定直线上． 【答案】证明：当过的直线斜率不存在时，直线方程为，此时与椭圆无交点. 当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，即. 设，，， 与联立，整理得， 则，. 由题意可知，、、、四点共线，不妨设，则 因此，，，， 由可得，，即， 整理得. 即， 化简整理得，即 又，所以，整理得. 故点Q在定直线上. 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到、两点坐标的关系，再根据求出点所在直线. 【详解】略. 12．已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【详解】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）略 13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． (1)求的方程； (2)已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； (3)设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由题知直线的斜率存在且不为零，设其方程为，     与联立，消去并整理得，                        则，且，即，且． 设，，则， 则，，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线过定点． (3)存在，定点（椭圆的左焦点） 【分析】（1）根据距离公式和渐近线中关系，求出，得到的方程. （2）设直线截距式方程与双曲线联立，结合判别式确定参数取值范围，利用韦达定理得到交点纵坐标关系；由对称点写出直线方程，令化简横坐标，借助韦达结论消参求得定点横坐标，完成定点证明. （3）设过动点且不与双曲线渐近线平行的切线方程，与双曲线方程联立，利用直线与双曲线相切时判别式建立等式，整理得到以切线斜率为变量的一元二次方程，结合韦达定理与两切线斜率乘积的定值条件化简，推导出动点的轨迹椭圆，再根据椭圆的定义，结合椭圆的两个焦点，确定使为定值的定点. 【详解】（1）设，由到渐近线的距离为1，得．解得， 又由及，解得，， 所以的方程为． （2）略. （3）设过点，与只有一个公共点，且与的渐近线不平行的直线方程为， 与联立，消去整理，得. 则，由，得， 整理得， 设的斜率分别为，则是上面关于的方程的两个实根， 所以，整理得， 所以动点在椭圆上，且点为其右焦点， 所以存在定点（椭圆的左焦点），使得，为定值． 14．已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作互相垂直的两条直线与，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是； (1)若双曲线的虚轴长为4，求该双曲线的方程； (2)求证：为定值，并写出该定值； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由； 【答案】(1) (2)双曲线的焦距为，则，. 所以. 由，得，即. 双曲线的渐近线方程为， 则或. 所以或. 又点在双曲线上，所以， 化简得，所以. 故. 即为定值，该定值为. (3)过定点，定点为和 【分析】（1）根据的关系，直接求方程； （2）将，转化成坐标关系，结合点在双曲线上，其坐标满足双曲线方程，可得，结合渐近线方程，可得，根据，可得为定值，并求得该定值； （3）由题意用分别表示的方程 ，结合点在双曲线上，化简的坐标，设为以为直径的圆上一点，由圆的性质获得的关系式，分析可得Q为定点，并求得定点坐标. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则，. 若双曲线的虚轴长为4，则，，所以. 所以该双曲线的方程为. （2）略 （3）由题可知，斜率均存在，且不为零. 所以，即，所以. ，所以. 由点在双曲线上，所以，得，所以. 设是以为直径的圆上任意一点，由，得， 即. 因为点是动点，所以是变量， 所以要使，须使， 所以，所以. 即以为直径的圆过定点，定点为. 15．设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)①16； ②由①得，，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 【分析】（1）由题设可得，再根据抛物线的焦半径公式求解即可； （2）①设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，设，同理可得，进而表示出，再根据基本不等式求解即可； ②结合①可得，再分、两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 因为为抛物线上一点，所以，则，即， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）抛物线的方程为，则， 由题意，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由于，所以直线的斜率为， 设，同理可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16. ②略，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $