1.1.3 直线的方程 第3课时 直线方程的一般式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线方程的一般式这一核心知识点，系统梳理其与点斜式、斜截式、两点式、截距式的联系与转化，明确Ax+By+C=0（A、B不全为0）可表示所有直线，构建从特殊到一般的知识支架。 通过问题链驱动数学抽象（如“任意直线能否用二元一次方程表示”），表格对比五种形式培养逻辑推理，含参数问题及分层练习提升数学运算素养。课中助力教师高效授课，课后分层评价帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第3课时　直线方程的一般式 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，培养数学抽象的核心素养.　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可表示一条直线.　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 任务一　直线方程的一般式 问题1.平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以.直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程. 问题2.任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示：可以，任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，当B≠0时，y＝－x－，它表示平面直角坐标系中的一条与x轴不垂直的直线(其中－是直线的斜率)；当B＝0，且A≠0时，x＝－，它表示平面直角坐标系中的一条与x轴垂直的直线. 1.直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式. (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. (3)几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，且A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率. 微提醒　直线方程的一般式的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(2)x的系数一般不为分数和负数.(3)解题时，如无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 2.直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 方程形式 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零 [微思考]　当直线满足如下位置关系时，直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件？ (1)与两条坐标轴都相交；(2)直线只与x轴相交； (3)直线只与y轴相交；(4)直线与x轴重合； (5)直线与y轴重合. 提示：(1)当A≠0，B≠0；(2)当A≠0，B＝0，C≠0；(3)当A＝0，B≠0，C≠0；(4)当A＝0，B≠0，C＝0；(5)当A≠0，B＝0，C＝0. (链教材P13例11)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是 ，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 解：(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由直线方程的斜截式得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由直线方程的两点式得＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由直线方程的截距式得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. 学生用书⬇第13页 1.求直线方程的一般式的策略 在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式)，然后转化为一般式. 2.直线方程的一般式与其他形式的互化 对点练1.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为　　　　　　　　； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为　　　　　　　　； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为　　　　　　　　. 答案：(1)x＋2y＋4＝0(2)2x－y－3＝0(3)x＋y－1＝0 解析：(1)由直线方程的点斜式得y－(－b)＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0； (2)由直线方程的截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0； (3)由直线方程的两点式得＝，即x＋y－1＝0. 任务二　与含参数的一般式方程有关的问题 已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R). (1)求该方程表示一条直线的条件； (2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； (3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值. 解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线. 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以x，y的系数同时为零时m＝－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为. (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由(1)知当m＝时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4＝0. (3)易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在. 依题意，令y＝0，得直线在x轴上的截距＝－3，解得m＝－(m＝3舍去). 所以实数m的值为－. [变式探究] (变条件)本例(3)中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值. 解：易知m≠－1且m≠时，直线的斜率存在， 方程即y＝－x－(m∈R)，故斜率为－. 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝(m＝－1舍去). 所以实数m的值为. 　　已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 对点练2.已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 解：(1)由条件知，a≠0且a≠， 在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝. 所以＝×3，解得a＝1，或a＝， 经检验，a＝1，均符合要求. (2)当a＝时，l的方程为x＋＝0，即x＝－1，此时l不通过第四象限； 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. l不通过第四象限，即＜a≤1. 综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为. 学生用书⬇第14页 [教材拓展1]　直线的点向式方程与平面内直线的点法式方程(源于教材P15－例14、例15) (1)已知点A，B和C(4，－5)，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程为(　　) A.2－＝0 B.－2＋3＝0 C.x－4＝0 D.7－4＝0 (2)(双空题)直线3x＋4y－7＝0的点向式方程是　　　　　　；点法式方程是　　　　　　　. 答案：(1)D(2)＝　3(x－1)＋4(y－1)＝0 解析：(1)根据题意知道直线l的法向量可取＝(7，－4)，则直线l的点法式方程为7－4(y－6)＝0.故选D. (2)因为直线3x＋4y－7＝0过点(1，1)，一个方向向量为(4，－3)，所以点向式方程是＝，点法式方程是3(x－1)＋4(y－1)＝0. 任务 再现 1.直线方程的一般式.2.直线方程五种形式的互化.3.与含参数的一般式方程有关的问题 方法 提炼 分类讨论思想、转化与化归思想 易错 警示 1.忽视斜率不存在的情况.2.忽视不同直线方程形式的适用范围 1.直线＋＝1化成一般式方程为(　　 ) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 答案：C 2.在平面直角坐标系中，直线x＋ y＋1＝0的倾斜角是(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为直线斜率k＝－，所以倾斜角为.故选C. 3.经过点P(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是　　　　　　　. 答案：x－2y＝0或x＋2y－4＝0 解析：当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将P(2，1)代入得＋＝1，解得a＝2，故直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(2，1)代入得1＝2k，解得k＝，故y＝x，即x－2y＝0. 4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是，则实数m的值是　　　　. 答案：3 解析：由已知得解得m＝3. 课时分层评价4　直线方程的一般式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是(　　) A.(－3，0) B.(3，0) C.－3 D.3 答案：C 解析：令y＝0，则2x＋6＝0，解得x＝－3，所以直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3.故选C. 2.已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于(　　) A.－2 B.2 C.－ D. 答案：A 解析：直线x－ay＝4可化为y＝x－，所以－＝2，得a＝－2.故选A. 3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则(　　) A.C＝0，B＞0 B.A＞0，B＞0，C＝0 C.AB＜0，C＝0 D.AB＞0，C＝0 答案：D 解析：因为直线l过原点和第二、四象限，所以即AB＞0，C＝0.故选D. 4.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案：C 解析：将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.对于A，由l1的图象可知，a＜0，b＜0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故A错误；对于B，由l1的图象可知，a＜0，b＞0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故B错误；对于C，由l1的图象可知，a＞0，b＞0，由l2的图象可知，a＞0，b＞0，故C正确；对于D，由l1的图象可知，a＞0，b＜0，由l2的图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故D错误.故选C. 5.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.直线y＝ax－2a(a∈R)必过定点(2，0) B.直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1 C.直线x＋y＋1＝0的倾斜角为 D.经过点P(2，1)，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为y＝x或x－y－1＝0 答案：AD 解析：对于A，由直线方程有y＝a(x－2)，故必过定点(2，0)，故A正确；对于B，令x＝0得y＝－1，故在y轴上的截距为－1，故B错误；对于C，由直线方程知：斜率为－，则倾斜角不为，故C错误；对于D，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入P(2，1)，得a＝1，所以直线方程为x－y－1＝0，故D正确.故选AD. 6.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化 答案：ABC 解析：对于A，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，故A正确；对于B，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)，故B正确；对于C，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，故C正确；对于D，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，不能用直线的截距式表示，故D错误.故选ABC. 7.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为　　　　　　. 答案：2x－y＋1＝0 解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 8.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为　　　　. 答案：－ 解析：把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，所以a＝－6，所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－. 9.若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为　　　　. 答案：2或－1 解析：根据题意a≠0，由直线l：ax＋y－2－a＝0，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距是2＋a，根据题意得＝2＋a，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.故直线l的斜率为2或－1. 10.(13分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线. (1)求实数m需满足的条件； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值. 解：(1)由解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1，解得m＝0. (11—13，每小题5分，共15分) 11.将直线l上一点A(－1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是(　　) A.2x－y＋4＝0 B.2x＋y＝0 C.2x－y＋5＝0 D.x＋2y－3＝0 答案：A 解析：将A(－1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(0，4)，因为A，B都在直线l上，则kl＝＝2，所以直线l的方程为y－4＝2x，即2x－y＋4＝0.故选A. 12.当点P(x，y)为直线l上任意一点时，点Q(4x＋2y，x＋3y)也在该直线上，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x＋y＝0或x－2y＝0 解析：设直线方程为ax＋by＋c＝0，则a(4x＋2y)＋b(x＋3y)＋c＝0也成立，即(4a＋b)x＋(2a＋3b)y＋c＝0，它与ax＋by＋c＝0表示的是同一直线方程，若a，b之一为0，则由上述结论可知另一数也为0，这不可能.所以a，b均不为0，上述两个直线方程表示同一直线，则(4a＋b)b＝(2a＋3b)a，即(2a＋b)(a－b)＝0，所以b＝a或b＝－2a，无论何种情况c都为0，所以直线方程经化简后为x＋y＝0或x－2y＝0. 13.(新角度)已知直线(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝0(k∈R)恒过定点A，点A在直线＋＝1(m＞0，n＞0)上，则2m＋n的最小值为　　　　. 答案：9 解析：由题意知，(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝k(x－2y)＋x＋y－3＝0，所以当时，方程恒成立，故直线恒过定点A(2，1)，所以＋＝1.则2m＋n＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当m＝n＝3时等号成立，所以2m＋n的最小值为9. 14.(15分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：(1)当直线过原点时满足条件，此时2－a＝0，解得a＝2，化为3x＋y＝0. 当直线不过原点时，则直线斜率为－1，故a＋1＝1，解得a＝0，可得直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不经过第二象限， 所以解得a≤－1. 所以实数a的取值范围是. (3)令x＝0，得y＝a－2＜0，解得a＜2； 令y＝0，得x＝＞0，解得a＞2或a＜－1. 综上有a＜－1. 所以S＝＝｜a＋1＋－6｜＝3＋ ≥3＋×2＝6， 当且仅当a＝－4时取等号. 所以S的最小值是6，此时直线l的方程为－3x＋y＋6＝0，即3x－y－6＝0. 15.(5分)(新情境)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为　　　　　　　. 答案：x＋4y－14＝0 解析：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).因为四边形ACGH为正方形，所以Rt△AMH≌Rt△COA，所以AM＝OC＝1，MH＝OA＝2，所以OM＝OA＋AM＝3，所以点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，所以直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 16.(17分)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程. 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝tan 150°＝－， 所以lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C. 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，得 解得m＝，所以A(，). 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $