1.1.3 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦直线方程的点斜式与斜截式核心知识点，前承直线的倾斜角与斜率，后续其他直线方程形式。通过问题链引导、定义辨析、例题变式及对点练构建学习支架，帮助学生掌握方程推导与应用。 资料以问题驱动探究，从确定直线的几何要素设问，培养数学眼光。通过公式推导培养逻辑推理，结合面积最值等实例提升数学运算。分层评价与易错警示设计，课中助教师落实素养，课后方便学生查漏补缺。

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式，培养直观想象、逻辑推理的核心素养.　2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线方程的点斜式 问题1.过点P0(x0，y0)的直线在平面内有多少条？过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？由此得到什么结论？ 提示：无数条和一条，结论是：平面内一个点和斜率确定一条直线. 问题2.已知直线过P0(x0，y0)且斜率为k，直线上任意一点P(x，y)和它们有怎样的关系？试建立它们的代数关系式. 提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k(x－x0).当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P(x，y)均满足：y－y0＝k(x－x0). 1.直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用范围 斜率存在 3.特殊的直线方程 直线l经过点P(x0，y0)， (1)当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，特别地，x轴的方程是 y＝0. (2)当直线l的斜率不存在，即直线l倾斜角为时，直线l与y轴平行(或重合)，直线方程为x＝x0，特别地，y轴的方程是 x＝0. 微提醒(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)过某点P，可设直线方程的点斜式，注意讨论斜率不存在的情况. (链教材P10例7)根据条件写出下列直线的方程，并画出直线： (1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为； (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为； (4)经过点C(2，8)，D(－3，－2). 解：(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图①所示. (2)因为k＝tan＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x.如图②所示. (3)因为倾斜角为，所以直线的斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图③所示. (4)因为k＝＝2，所以y－8＝2(x－2)， 即y＝2x＋4.如图④所示. 学生用书⬇第7页 求直线方程的点斜式的步骤 对点练1.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点. 解：(1)因为直线y＝x的斜率为， 所以直线y＝x的倾斜角为. 所以所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 任务二　直线方程的斜截式 问题3.考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过P0(0，b)，那么此时直线的方程如何表示？ 提示：由y－b＝k(x－0)，得y＝kx＋b. 直线方程的斜截式 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用范围 斜率存在 微提醒(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－3的斜率k＝2，纵截距为－3. 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 解：(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1. (2)因为直线y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°， 故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝. 又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为在y轴上的截距为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3. 所以所求直线方程为y＝x＋3. [变式探究] (变条件)若本例(3)变为：倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.求直线的斜截式方程. 解：因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 学生用书⬇第8页 求直线的斜截式方程的策略 1.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. 2.直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可. 对点练2.(1)(多选题)关于直线l：y＝x－1，下列说法正确的是(　　) A.过点(，－2) B.斜率为 C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1 (2)(双空题)直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为　　　　 　　；在y轴上的截距为　　　　. 答案：(1)BC(2)y＝3x－7　－7 解析：(1)对于A，将点(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确；易知B正确；对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于D，由y＝x－1，知直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC. (2)直线l过点(2，－1)，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7. 任务三　点斜式(斜截式)方程的应用 过点P(2，1)作直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； (2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程. 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 则可得A，B(0，1－2k). 因为与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点， 所以⇒k＜0. 于是S△AOB＝｜OA｜｜OB｜＝··(1－2k) ＝≥＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2. (2)因为A，B(0，1－2k)(k＜0)， 所以截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥ 3＋2＝3＋2， 当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立. 故截距之和的最小值为3＋2，此时直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1. 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点 1.一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在. 2.构建函数解析式后，应注明变量的取值范围. 3.运用基本不等式求最值，应注意“等号”是否取到.如果取不到，可用函数单调性求最值. 对点练3.已知直线l过点(1，2)且在x，y轴上的截距相等. (1)求直线l的方程； (2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值. 解：(1)①截距为0时，l：y＝2x； ②截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－(x－1)， 所以y＝－x＋3. 综上，l的方程为y＝2x，或y＝－x＋3. (2)由题意得l：x＋y－3＝0，所以a＋b＝3， 所以3a＋3b≥2＝2＝6， 当且仅当a＝b＝时，等号成立， 所以3a＋3b的最小值为6. 任务再现 1.直线方程的点斜式.2.直线方程的斜截式.3.点斜式(斜截式)方程的应用 方法提炼 待定系数法、数形结合思想 易错警示 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 1.方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　 ) A.过点(－1，0)的一切直线 B.过点(1，0)的一切直线 C.过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线 D.过点(1，0)且除x轴外的一切直线 答案：C 解析：y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线.故选C. 2.斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　) A.y＋3＝4(x－2) B.y－3＝4(x－2) C.y－3＝4(x＋2) D.y＋3＝4(x＋2) 答案：A 3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　 ) A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0 答案：B 解析：因为直线通过第一、三、四象限，所以图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.故选B. 4.经过点A(1，2)，倾斜角为的直线的斜截式方程为　　　　　　. 答案：y＝x＋1 解析：因为倾斜角为，则斜率k＝tan ＝1，且过点A(1，2)，所以y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1. 课时分层评价2　直线方程的点斜式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝，则直线的点斜式方程是(　　 ) A.y＋3＝x－2 B.y－3＝x＋2 C.y＋2＝x－3 D.y－2＝x＋3 答案：A 解析：因为直线l的斜率k＝tan ＝1，所以直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2.故选A. 2.直线y＝kx＋1恒过点(　　 ) A.(1，0) B.(－1，0) C.(0，1) D.(0，－1) 答案：C 解析：当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点.故选C. 3.直线y＝ax－的图象可能是(　　 ) 答案：B 解析：直线y＝ax－的斜率与在y轴上的截距异号.故选B. 4.直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　) A.k1＜k2，且b1＜b2 B.k1＜k2，且b1＞b2 C.k1＞k2，且b1＞b2 D.k1＞k2，且b1＜b2 答案：A 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知，＜α1＜α2＜π，所以k1＜k2，又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A. 5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　 ) A.(1，3) B.(－1，－3) C.(3，1) D.(－3，－1) 答案：C 解析：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，所以恒过定点(3，1).故选C. 6.(多选题)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　　 ) A.y＝x＋3 B.y＝x－1 C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1 答案：BC 解析：由题意可知直线的斜率为k＝±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.故选BC. 7.直线y＝x－4在y轴上的截距是　　　　. 答案：－4 解析：在y＝x－4中，令x＝0，得y＝－4. 8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成角的直线的斜截式是　　　　　　　　 　　. 答案：y＝x－6或y＝－x－6 解析：因为直线与y轴相交成角，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为或－，又因为直线在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式为y＝x－6或y＝－x－6. 9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则实数k的取值范围为　　　　. 答案： 解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥. 10.(13分)求斜率为，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程. 解：设所求直线的方程为y＝x＋b， 令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝－b. 由已知，得｜b｜＋＋ ＝20， 即｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝20，解得b＝±5. 故所求直线的方程为y＝x±5. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l1：y＝x＋2，直线l2是直线l1绕点P(－2，1)逆时针旋转45°得到的直线，则直线l2的方程是(　　) A.y＝x＋3 B.y＝－2x－3 C.y＝4x＋9 D.y＝3x＋7 答案：D 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则tan α，β＝α＋45°，故tan β＝tan(α＋45°)＝＝3，又点P在直线l2上，故直线l2的方程为y－1＝3(x＋2)，整理得y＝3x＋7.故选D. 12.(新情境)若光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为(　　) A.y＝x－4 B.y＝－x－4 C.y＝－x－4 D.y＝x－4 答案：A 解析：光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，经y轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率k＝tan 60°＝，且反射光线过点A(0，－4)，故反射光线所在的直线方程为y＝x－4.故选A. 13.(多选题)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则实数b可取的值有(　　) A.－1 B.0 C.2 D.3 答案：ABC 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，当直线y＝－2x＋b过点B(1，0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以实数b的取值范围是[－2，2].故选ABC. 14.(15分)已知直线l经过点P(－1，2). (1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程； (2)设l的斜率k＞0，l与两坐标轴的交点分别为A，B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程. 解：(1)由l不过原点且在两坐标轴上截距和为0，可得截距互为相反数，则斜率k＝1， 所以l的点斜式方程为y－2＝1·[x－(－1)]. (2)设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 可得A(0，k＋2)，B( －－1，0)， 所以△AOB的面积S＝·｜k＋2｜＝＝＋2＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，k＞0，即k＝2时等号成立， l的点斜式方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4， 所以l的斜截式方程为y＝2x＋4. 15.(5分)若△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，则角A的平分线所在的直线方程为　　　　. 答案：y＝7x－17 解析：因为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，所以kAB＝＝－，kAC＝＝，则kABkAC＝－1.所以∠BAC＝90°.如图所示，设角A的平分线所在直线的倾斜角为α，则tan α＝－tan(45°＋∠ABO)＝－＝7.所以角A的平分线所在直线的斜率为7，因此所求的直线方程为y－4＝7(x－3)，即y＝7x－17. 16.(17分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将矩形折叠，使点A落在线段DC上.若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在的直线方程. 解：当k＝0时，A与D重合， 折痕所在直线方程为y＝； 当k≠0时，点A关于折痕EF的对称点G在DC上. 设点G的坐标为(t，1)，A(0，0)，则由AG⊥EF，得·k＝－1，所以t＝－k，所以G(－k，1)， 所以M，代入点斜式， 得直线EF的方程为y－＝k， 即y＝k＋＝kx＋＋， 当k＝0时也满足上式. 综上所述，直线EF的方程为y＝kx＋＋. 所以折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋. 学生用书⬇第9页 学科网（北京）股份有限公司 $