1.1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学习目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，培养直观想象的核心素养.　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，提升数学抽象的核心素养.　3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，提升数学运算的核心素养.　4.理解直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率，提升数学抽象、数学运算的核心素养. 任务一　直线的倾斜角 问题1.在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2.在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 倾斜角的概念 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0，π) 具体如下： 倾斜角 α＝0 0＜α＜ α＝ ＜α＜π 直线 与x轴平行(重合) 由左向右上升 与x轴垂直 由左向右下降 微提醒(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. 学生用书⬇第2页 [微思考]　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的. 求图中各直线的倾斜角： 解：(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角. 易知∠ABO＝， 所以∠OAB＝，即直线l1的倾斜角为. (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝，所以∠OAB＝， 所以∠xAB＝，即直线l2的倾斜角为. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝，所以∠BAO＝， 所以∠OAC＝，即直线l3的倾斜角为. 求直线倾斜角的关键及两点注意 1.关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角. 2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为.(2)直线倾斜角的取值范围是[0，π). 对点练1.(1)若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　) A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180° (2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　. 答案：(1)C(2)60°或120° 解析：(1)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.故选C. (2)有两种情况：如图①所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 如图②所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 任务二　直线的斜率 问题3.日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：结合“坡度”的计算方法可以利用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度. 问题4.(1)直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是什么？ (2)如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 提示：(1)k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π). (2)过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，如图，则△ABC是直角三角形，故有tan α＝，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝，即k＝tan α. 问题5.当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 提示：如图所示， 根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 1.直线的斜率 (1)称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. (2)若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一.因此我们常用斜率表示直线的倾斜程度. 2.直线的斜率与倾斜角的关系 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan α. 学生用书⬇第3页 (2)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图所示. ①当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； ②当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大； ③当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 微提醒　k的大小与两点P1，P2的位置无关. (链教材P4例1，P6例3)(1)已知两条直线的倾斜角分别为，，求这两条直线的斜率； (2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率； (3)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率； (4)若≤α≤，求斜率k的取值范围. 解：(1)直线的斜率分别为k1＝tan ＝，k2＝tan ＝－1. (2)直线AB的斜率kAB＝＝. (3)当m＝2时，直线AB的斜率不存在； 当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝. (4)由正切函数的性质，可得当≤α＜时，k＝tan α≥1；当＜α≤时，k＝tan α≤－；当α＝时，斜率k不存在. 综上，斜率k的取值范围是{k｜k≤－，或k≥1}.特别地，当α＝时，斜率k不存在. 求直线斜率的两种类型 1.已知直线的倾斜角α( α≠)求直线斜率时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得. 2.已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝求得. 注意：(1)x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在.(2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 对点练2.若－≤k≤1，则倾斜角α的取值范围为　　　　. 答案： 解析：由－≤k≤1，可得－≤tan α≤1.又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是. 任务三　直线的斜率与方向向量的关系 问题6.(1)什么是直线的方向向量？ (2)已知直线l上两点A(1，2)，B(－1，3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1，2)，B(1，3)呢？ 提示：(1)直线上的向量及与之平行的非零向量. (2)＝(－1－1，3－2)＝(－2，1). ＝(1－1，3－2)＝(0，1). 1.直线的方向向量 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度.它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2). 2.直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 微提醒(1)任意斜率不存在的直线的单位方向向量为a＝(0，±1). (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角). (1)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为(　　) A.(－3，－4) B.( －，－) C.( ±，±) D.±( ，) (2)已知直线l的一个方向向量为(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　) 学生用书⬇第4页 A.(6，10) B.(4，8) C.(2，4) D. 答案：(1)D(2)A 解析：(1)由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－3，－4)，所以直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±( ，).故选D. (2)因为直线l的一个方向向量为(5，8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立.故选A. 直线的方向向量的求法 1.在直线上任找两个不同的点P1，P2，则(或)为直线l的一个方向向量. 2.已知直线的斜率为k，则v＝(1，k)为直线的一个方向向量. 3.a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量. 对点练3.已知直线l的斜率为－，求直线l的模长为1的方向向量. 解：设直线l的方向向量为b＝(x，y)， 则＝－.① 因为｜b｜＝1，所以x2＋y2＝1.② 由①②得 所以b＝，或b＝. 任务四　三点共线问题 (链教材P5例2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). (1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； (2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围. 解：(1)因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kBC，即＝， 所以a＝2，或a＝. (2)当A，B，C三点共线时，a＝2，或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2，且a≠. 所以实数a的取值范围为. 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练4.已知A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围. 解：因为A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)， 所以kAC＝＝. 当a＋2＝1，即a＝－1，此时A(1，－1)，B(1，1)，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在， 此时A，B，C三点能构成一个三角形； 当a＋2≠1，即a≠－1时，kAB＝，要使A，B，C三点能构成一个三角形，则kAB≠kAC，即≠，解得a≠. 综上可得，实数a的取值范围为( －∞，)∪( ，＋∞). 学生用书⬇第5页 任务五　数形结合法求倾斜角或斜率范围 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围. 解：如图所示，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). [变式探究] 1.(变条件)本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围. 解：由本例知与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1，1). 2.(变条件，变结论)本例条件改为点(x，y)在线段AB上，求的取值范围. 解：表示连接两点(x，y)和(1，0)的直线的斜率，与本例题解题过程一样. 解决取值范围问题的基本方法——数形结合 　　斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置. 对点练5.已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围. 解：设点P(0，－2)，由题意作出图形，如图所示， 因为kPA＝＝1，kPB＝＝－， 若要使直线l与线段AB相交， 则kl≥kPA或kl≤kPB， 所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞). 任务再现 1.直线的倾斜角及其范围.2.直线斜率的定义和斜率公式.3.直线的倾斜角与斜率的关系.4.直线的斜率与方向向量的关系.5.三点共线问题.6.数形结合法求倾斜角或斜率范围 方法提炼 数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 忽视倾斜角范围、图形理解不清、由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误 1.下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　 ) A.① B.①② C.①③ D.②④ 答案：A 解析：由倾斜角的定义可得. 2.已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　 ) A.3 B.－2 C.2 D.不存在 答案：B 解析：由题意可得AB的斜率为k＝＝－2.故选B. 3.已知经过A(1－a，1＋a)，B(3，2a)两点的直线l的方向向量为(1，－2)，则实数a的值为　　　　. 答案：－1 解析：由已知可得，＝(2＋a，a－1).又直线l的方向向量为(1，－2)，所以＝(2＋a，a－1)与(1，－2)共线，所以有－2(2＋a)－1×(a－1)＝0，解得a＝－1. 4.已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是　 　 　　　　　　. 答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：当倾斜角α＝时，l的斜率不存在；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]. 课时分层评价1　一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　 ) A.(4，1)与(－4，－1) B.(0，1)与(1，0) C.(1，4)与(－1，4) D.(－4，1)与(－4，－1) 答案：D 解析：选项A、B、C、D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在.故选D. 2.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　 ) A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2 答案：D 解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D. 3.(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是(　　 ) A.若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率 B.若直线l的斜率是k，则是该直线的一个方向向量 C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案：ABC 4.过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　 ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案：A 解析：因为kMN＝＝1，所以m＝1.故选A. 5.(多选题)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为，则点P的坐标为(　　 ) A.(0，1) B.(－1，0) C.(3，0) D.(0，－3) 答案：CD 解析：若点P在x轴上，设P(x，0)，则k＝＝tan ＝1，所以x＝3，即P(3，0).若点P在y轴上，设P(0，y)，则k＝＝tan＝1，所以y＝－3，即P(0，－3).故选CD. 6.(一题多解)直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　 ) A.1 B. C. D.－ 答案：B 解析：法一：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，0≤α＜π，所以α＝，所以2α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝.故选B. 法二：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝＝.故选B. 7.已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是　　　　. 答案：2 解析：如图所示，kOA＝2，＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2].故直线l的斜率k的最大值为2. 8.若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是　　　　　　　. 答案： 解析：当0≤k＜时，即0≤tan α＜，又α∈，所以α∈. 9.(开放题)已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为　　　　，直线AC的一个方向向量为　　　　. 答案：2－3(1，－)(答案不唯一) 解析：因为kAB＝＝，所以直线AB的倾斜角为，则直线AC的倾斜角为.kAC＝＝tan ，即＝－，得m＝2－3，直线AC的一个方向向量为(1，－). 10.(13分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围. 解：如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， 故直线PM的倾斜角为，直线PN的倾斜角为. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是. (11—13，每小题5分，共15分) 11.若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是(　　 ) A.(－∞，1) B.(－1，＋∞) C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C 解析：因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k＝＞0，所以－1＜m＜1.故选C. 12.(双空题)已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1).则直线AC的倾斜角为　　　　；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为　　　　　　　. 答案：0(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：因为kAC＝＝＝0，所以直线AC的倾斜角为0，又kAB＝＝，要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，所以≠0，所以k≠1. 13.已知直线l的方向向量n＝(2，4)且与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，则直线l'的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：设直线l，l'的倾斜角分别为α，β，由直线l的方向向量n＝(2，4)可得直线l的斜率为2，即tan α＝2＞0，α为锐角，又因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，所以直线l'的斜率为k＝tan β＝tan(α＋60°)＝＝＝－. 14.(15分)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点. (1)若直线BC的倾斜角为135°，求m的值； (2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为B(2，4)，C(m，2)，直线BC的倾斜角为135°， 所以kBC＝－1＝，解得m＝4，故m的值为4. (2)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点， 当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即＝，解得m＝. 所以存在m使得A，B，C三点共线，此时m＝. 15.(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为(　　) A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3} 答案：B 解析：如图所示，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B. 16.(17分)已知点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围. 解：(1)因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈，记点A(－3，2)，B(5，18). 由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动.记点N(－1，－1)， 则可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率. 又因为kNA＝－，kNB＝， 由于－1∈，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为( －∞，－］∪［，＋∞). (2)因为＝2×，记点P， 则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率. 又因为kPA＝－，kPB＝－，所以. 学生用书⬇第6页 学科网（北京）股份有限公司 $