2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册第21、22章综合复习题

人教版九年级上册 第21、22章复习 考试时间:120分钟 满分120分 选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+xy＝1 B．x2+1＝（x+1）2 C．x2﹣2x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0 2．若函数是关于x的二次函数．则常数m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．2或﹣1 3．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（　　） A．无实数根 B．不能判定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9 6．如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 7．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 8．已知实数m，n是关于x的一元二次方程x2+8x＝1﹣x的两个根，则代数式m﹣2mn+n的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣11 D．11 9．将抛物线y＝（x﹣2）2﹣1平移，使它平移后图象的顶点为（2，4），则需将该抛物线（　　） A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①4a﹣b＝0；②c＜3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac，正确的有（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．若抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2的开口向上，则m的取值范围是 　 　 ． 12．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2+2x﹣1＝0有实数根，求k的取值范围　 　 ． 13．二次函数y＝6（x+3）2﹣5，当x＞﹣3时，y随x的增大而　 　 ． 14．某校建设校园农场．如图，该矩形农场长32m，宽20m，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540m2，若设道路的宽为x m，那么可列方程为　 　 （化为一般形式）． 15．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解下列方程： （1）（x﹣2）2＝4； （2）x2+2x﹣15＝0； （3）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0； （4）2x2+5x+3＝0． 18．已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），求该抛物线的函数关系式． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求m的值． 20．如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为（3，0），顶点D的坐标为（2，﹣1）． （1）求二次函数的表达式； （2）判断△ADC的形状，并说明理由． 21．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx（x﹣2m）（m≠0）． （1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点． ①若对于x1＝﹣2，x2＝3，有y1＝y2，求m的值； ②若对于x1＝2m，1≤x2≤2，都有y1＜y2，求m的取值范围． 23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程x2+3x﹣8＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2+bx﹣1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值； （3）若一个波浪方程mx2+nx+p＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，求这个波浪方程． 24．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C A B A A D 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．m＞1． 12．k≤2且k≠1． 13．增大． 14．x2﹣52x+100＝0． 15．a． 16．20． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）（x﹣2）2＝4， ∴x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2， ∴x1＝4，x2＝0； （2）x2+2x﹣15＝0， （x+5）（x﹣3）＝0， ∴x+5＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝3； （3）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+2）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （4）2x2+5x+3＝0， （2x+3）（x+1）＝0， ∴2x+3＝0或x+1＝0， ∴x1，x2＝﹣1． 18．解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和B（5，0）， ∴设抛物线表达式可表示为：y＝a（x+1）（x﹣5）， 将点C（0，5）代入上式得：5＝a（+1）×（﹣5）， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的函数关系式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+4x+5． 19．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0有两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝m+2，x1x2＝2m， ∵，即：， ∴（m+2）2﹣2×2m＝9， 解得， ∴m的值为或． 20．解：（1）∵顶点D的坐标为（2，﹣1）， ∴设y＝a（x﹣2）2﹣1， 将点C（3，0）代入得：a（3﹣2）2﹣1＝0， 解得：a＝1， ∴y＝（x﹣2）2﹣1； （2）△ADC是直角三角形， 当x＝0时，y＝（x﹣2）2﹣1＝3， ∴A（0，3）， ∵C（3，0），D（2，﹣1）， ∴AC2＝32+32＝18，AD2＝22+42＝20，CD2＝12+12＝2， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形． 21．解：（1）设这个降价率为x， 依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理，得：y2﹣15y+50＝0， 解得：y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每千克应涨价5元． 22．解：（1）当m＝1时，则抛物线y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴当m＝1时，抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； （2）①由抛物线y＝mx（x﹣2m）＝m（x﹣m）2﹣m3得对称轴为直线x＝m， 由条件可知点M，N关于直线x＝m对称， ∴． ②当x1＝2m时，y1＝0，则M（2m，0）， ∴当m＞0时，抛物线的开口向上，且2m＞m， ∵点M关于直线x＝m的对称点为M′（0，0）， 又x＞m时，y随x的增大而增大，x＜m时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x2≤2时，都有y1＜y2，则2m＜1， 解得：， ∴． 当m＜0时，抛物线的开口向下，且2m＜m， ∵点M关于直线x＝m的对称点为M′（0，0）， 又x＞m时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x2≤2时，都有y1＞y2，不符合题意， 综上，满足条件的m的取值范围为． 23．解：（1）方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程，理由如下： 由题意得，a＝1，b＝3，c＝﹣8， ∴3a+2b+c＝1＝3+6﹣8＝1， ∴方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程； （2）由条件可知3a+2b+c＝1，且c＝﹣1， ∴3a+2b＝2①， ∵x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0的一个根， ∴4a+2b﹣1＝0②， 联立①②解得； （3）由条件可知，，3m+2n+p＝1， ∴n＝﹣3m，p＝2m， ∴3m﹣6m+2m＝1， ∴m＝﹣1，n＝3，p＝﹣2， ∴这个波浪方程为﹣x2+3x﹣2＝0． 24．解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+5， 把代入解析式得，， 解得，， ∴y关于x的函数表达式为， 即：； （2）不能得满分，理由如下， 根据题意，令y＝0，且x＞0， ∴，解方程得，x1＝9，x2＝﹣1（舍去）， ∵9＜9.7， ∴不能得满分． 25．解：（1）把点A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）连接AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小． 在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y＝mx+n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴，∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴是直线x＝1． 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴P（1，2）； （3）设Q（m，﹣m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S＝S△OBQ+S△AOQ﹣S△AOB 3m3（﹣m2+2m+3）3×3 m2m （m）2， ∴当m时，S最大，此时Q（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $