专题2.2直线的方程重点题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 直线的方程 目录 考点1 直线的方程 0 题型1 求直线的方程 1 题型2 直线的方程综合 4 考点2 求高、中心、角分线的直线方程 7 题型3 根据垂直平分求直线方程 8 题型4 根据中点求直线方程 9 题型5 根据角分线求直线方程 10 考点3 动直线问题 12 题型6 动直线过定点 12 题型7 动直线经过象限 14 题型8 动直线中的面积最值 16 题型9 平行直线系方程 19 考点1 直线的方程 一、 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴 斜截式 不垂直于x轴 两点式 不垂直于x轴和y轴 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 任意直线都适用 反设式：圆锥曲线中经常用到 （直线不与x轴平行） 注意：平行于x轴的直线：（为常数）； 平行于y轴的直线：（为常数）； 题型1 求直线的方程 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角先求斜率，根据直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角是，所以斜率， 又经过点，所以直线的方程是. 故选：B. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； （4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 3．（25-26高二上·新疆昌吉·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【详解】（1）直线斜率是3且经过点，则直线方程为，化为一般式为； （2）直线经过两点，则直线方程为，化为一般式为； （3）直线在x轴、y轴上的截距分别是，，则直线方程为，化为一般式为. 4．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线的一个法向量为且过点，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据法向量设其方程，再将点代入即可求出. 【详解】因为直线的一个法向量为，所以可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为. 故答案为： 5．（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，再根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）直线经过点，且在轴上的截距是，在轴上的截距是，则此直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分为直线的截距都不为0和为0两种情况，待定系数法求出直线方程. 【详解】当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 经过点，则，解得，故，即直线的方程为； 当直线的截距为0时，则直线过原点，设直线的方程为， 经过点，则，解得，即直线的方程为. 故答案为：或 7．（2025高二·全国·专题练习）设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的方程，两式相减即可求解. 【详解】由已知可得直线，直线，两式相减得，则直线与的交点满足此方程，又因为原点也满足此方程，所以此方程即为直线的方程． 故选：A． 题型2 直线的方程综合 1．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题错误的是（   ） A．任意一条直线有且只有一个倾斜角 B．当直线平行轴时，直线的倾斜角是 C．直线可以表示所有直线 D．直线（其中，不同时为0）可以表示所有直线 【答案】BC 【分析】根据倾斜角的定义可判断AB的正误，根据直线方程的点斜式、一般式的意义可判断CD的正误. 【详解】对于A，任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A项正确； 对于B，当直线平行于轴时，直线的倾斜角是，故B项错误； 对于C，直线不可以表示垂直于轴的直线，故C项错误； 对于D，直线可以表示所有直线，故D项正确. 故选：BC. 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 【答案】BCD 【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断. 【详解】A选项，取，则，即直线在轴的截距是，A选项错误； B选项，直线化为，直线的斜率是， 设倾斜角为，则，，B选项正确； C选项，根据方向向量的定义可知其正确； D选项，点在直线上，则，即， 直线可化为，D选项正确. 故选：BCD 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确. 故选：AC 6．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是： B．与直线平行 C．与直线垂直 D．若直线上任一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，则点仍在直线上 【答案】BD 【分析】把直线方程化成斜截式，可判断A的真假；根据平行直线的判断方法判断B的真假；根据垂直之线的判断方法判断C的真假；设，平移得点坐标，代入直线的方程验证可判断D的真假. 【详解】对A：由，为直线的斜截式方程，故A错误； 对B：因为，所以直线与平行，故B正确； 对C：因为，所以直线与不垂直，故C错误； 对D：设，则，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，因为，所以点仍在直线上，故D正确. 故选：BD 7．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 【答案】AC 【分析】画图观察判断A，利用斜率公式计算判断BD，根据重心坐标公式和两点式方程判断C； 【详解】对于A，如图，在平面直角坐标系中，描出，，，由图可知直线的倾斜角为钝角．A正确； 对于B，直线的斜率．B错误； 对于C，因为的顶点分别为， 则重心），所以点的坐标为， 则直线的方程为，即．C正确； 对于D，，， 所以为等腰三角形，则的平分线也为中线，边的中点为， 所以的平分线所在直线的斜率为．D错误； 故选：AC. 考点2 求高、中心、角分线的直线方程 一、 求已知线段的垂直平分线 ①直线过线段的中点 ②直线与已知线段垂直，斜率乘积为-1 二、两点到直线距离相等：直线过这两点的中点 三、角分线的直线方程：求角分线的斜率或方向向量，再根据直线过角的顶点 题型3 根据垂直平分求直线方程 1．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为两点，， 所以线段中点坐标为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：， 整理得：. 故答案为：. 2．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的中点，以及直线的斜率，进而利用点斜式求出方程即可. 【详解】由题意可得，线段的中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即. 故选：B 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以线段的中点， 且， 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 题型4 根据中点求直线方程 1．（2025高三·全国·专题练习）已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 【答案】 【分析】在上取点，则点关于点的对称点必在上，由中点坐标公式求出点，代入直线，得点，再由两点式方程求解． 【详解】在上取点，则点关于点的对称点必在上， 由，得， 得， 于是， 求得， 所以， 故所求直线的方程为：， 即． 2．（25-26高二上·新疆昌吉·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) . 【分析】（1）首先确定中点坐标，再由两点式即可求解. 【详解】（1）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为，所求直线为. 3．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先利用几何意义得到直线与平行或经过的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 题型5 根据角分线求直线方程 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（1）中方程求解即可. 【详解】（1）设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. （2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 考点3 动直线问题 直线过定点问题： （1） 将直线方程化为点斜式，直线恒过定点 （2） 分离参数：将直线方程按有参数跟没参数的分类放在一起，结构变成两条直线的形式，定点为两直线的交点。 题型6 动直线过定点 1．（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 3．（2025高三·全国·专题练习）证明：无论为何值，直线与点的距离都小于． 【答案】证明见解析 【分析】求出直线系过的定点坐标，得可得答案． 【详解】将直线方程整理得， 故该直线系恒过两直线和的交点． 易解得，求得，所以． 直线的斜率为，垂直的直线的斜率为， 所以过点垂直的直线方程为，即， 又无论为何值，题设直线系方程都不可能表示直线， 所以． 题型7 动直线经过象限 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 2．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出其斜率和在轴上的截距，再根据其所过象限得到不等式组，解出即可. 【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距． 因为直线，所以，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， 直线经过第一、二、三象限，，， 且. 故选：B. 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线，若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 【答案】 【分析】根据直线恒过的定点，以及不经过第四象限，判断斜率的取值范围. 【详解】直线过定点，斜率为，则直线不经过第四象限时，有． 可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限,斜率不能大于3，则有． 所以a的取值范围为． 题型8 动直线中的面积最值 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意求出直线解析式，设出各点坐标，根据三点共线的斜率关系，求出各点坐标，表示出面积，根据基本不等式，求出面积的最小值； 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为 时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是 ． 【答案】 8 【分析】设、，，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率． 【详解】设， 则直线， 将代入得， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，， 所以直线的斜率时， 的面积最小，最小值为8， 故答案为：，8． 3．（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知直线． (1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为16，此时直线l的方程为 【分析】（1）先分别求出直线l与x轴交点的横坐标和在y轴上的截距，再根据二者相等列方程求解k的值； （2）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时k的值确定直线l的方程． 【详解】（1）当时，直线l的方程为，与x轴无交点，不符合题意； 当时，直线l的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立． 综上，k的值为或． （2）由题可知，由（1）知A，， 故, 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 4．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D．5 【答案】A 【分析】由题意设，求出坐标，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数， 设直线， 令，得，令，得，可知， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为4. 故选：A. 题型9 平行直线系方程 1．（2025高三·全国·专题练习）设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】A 【分析】由分母不为0可判断A；分和两种情况讨论可得两直线的位置关系判断B；由已知可得，可判断C；由已知可得，且，进而可判断D. 【详解】对于A选项，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A不正确； 对于B选项，当时，若，则，整理得， 此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上， 故过、两点的直线与直线平行； 当时，若，则，整理得， 此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾， 故，所以， 即， 所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确； 对于C选项，若，则 即，， 直线经过线段的中点，即C正确； 对于D选项，若，则， 或， 所以，且， 所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等， 所以直线与线段不平行．故D正确． 故选：A． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）设为不同的两点，直线，记，当 时，直线经过的中点． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线方程中化简即可. 【详解】线段的中点， 若直线经过的中点，则， 即， 则，故. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线的方程 目录 考点1 直线的方程 0 题型1 求直线的方程 1 题型2 直线的方程综合 2 考点2 求高、中心、角分线的直线方程 3 题型3 根据垂直平分求直线方程 4 题型4 根据中点求直线方程 4 题型5 根据角分线求直线方程 4 考点3 动直线问题 5 题型6 动直线过定点 5 题型7 动直线经过象限 6 题型8 动直线中的面积最值 6 题型9 平行直线系方程 7 考点1 直线的方程 一、 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴 斜截式 不垂直于x轴 两点式 不垂直于x轴和y轴 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 任意直线都适用 反设式：圆锥曲线中经常用到 （直线不与x轴平行） 注意：平行于x轴的直线：（为常数）； 平行于y轴的直线：（为常数）； 题型1 求直线的方程 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 3．（25-26高二上·新疆昌吉·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别是，． 4．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线的一个法向量为且过点，则直线的一般式方程为 . 5．（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）直线经过点，且在轴上的截距是，在轴上的截距是，则此直线的方程为 . 7．（2025高二·全国·专题练习）设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型2 直线的方程综合 1．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题错误的是（   ） A．任意一条直线有且只有一个倾斜角 B．当直线平行轴时，直线的倾斜角是 C．直线可以表示所有直线 D．直线（其中，不同时为0）可以表示所有直线 4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 6．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是： B．与直线平行 C．与直线垂直 D．若直线上任一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，则点仍在直线上 7．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 考点2 求高、中心、角分线的直线方程 一、 求已知线段的垂直平分线 ①直线过线段的中点 ②直线与已知线段垂直，斜率乘积为-1 二、两点到直线距离相等：直线过这两点的中点 三、角分线的直线方程：求角分线的斜率或方向向量，再根据直线过角的顶点 题型3 根据垂直平分求直线方程 1．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为 . 2．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 题型4 根据中点求直线方程 1．（2025高三·全国·专题练习）已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 2．（25-26高二上·新疆昌吉·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程． 3．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 题型5 根据角分线求直线方程 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 考点3 动直线问题 直线过定点问题： （1） 将直线方程化为点斜式，直线恒过定点 （2） 分离参数：将直线方程按有参数跟没参数的分类放在一起，结构变成两条直线的形式，定点为两直线的交点。 题型6 动直线过定点 1．（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）证明：无论为何值，直线与点的距离都小于． 题型7 动直线经过象限 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 2．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是 ． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线，若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 题型8 动直线中的面积最值 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为 ． 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点．当直线的斜率为 时，的面积最小（是坐标原点），最小面积是 ． 3．（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知直线． (1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 4．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（    ） A．4 B． C．8 D．5 题型9 平行直线系方程 1．（2025高三·全国·专题练习）设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）设为不同的两点，直线，记，当 时，直线经过的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $