专题2.2 直线的方程（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题2.2 直线的方程 教学目标 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 教学重难点 重点 掌握直线方程的几种形式. 知识点01 直线的点斜式方程 方程由直线上_________决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【即学即练】 1．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 知识点02 直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得_________，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由_________与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【即学即练】 1．在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的_________，简称两点式． 【即学即练】 1．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点04 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为_________，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 【即学即练】 1．已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点05 直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择_________求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 【即学即练】 1.1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点06 直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为_________，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 【即学即练】 1．若直线，，则下列向量可以作为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 知识点07 直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 【即学即练】 1．直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点08 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用_________求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【即学即练】 1．若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 2．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 题型01 点斜式直线方程 【典例1】已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1】已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式3】已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．20 题型02 斜截式直线方程 【典例1】一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【变式1】下列命题中正确的是（　　） A．经过点的直线都可以用方程表示 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【变式2】倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是　(　　) A．y=x+1 B．y=x-1 C．y=-x+1 D．y=-x-1 【变式3】已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 题型03 两点式直线方程 【典例1】若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式1】经过点，的直线在轴上的截距为 ． 【变式2】已知直线l截圆所得的弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直 B．直线的斜率为 C．过（，），（，）两点的所有直线的方程 D．经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 题型04 截距式直线方程 【典例1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零 【变式1】已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 【变式3】过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 题型05 中点坐标公式 【典例1】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【变式1】已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【变式2】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【变式3】若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，求直线l的方程 ． 题型06 直线的一般式方程 【典例1】已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式1】已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型07 直线方程的综合应用 【典例1】已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 【变式1】若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【变式2】 ，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法中，错误的是（ ） A．经过点且与直线平行的直线方程是 B．直线的一个方向向量为 C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D．，，三点共线 题型08 判断动直线所过定点 【典例1】已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式1】已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 直线与坐标轴形成三角形问题 【典例1】直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式1】已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 【变式3】过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型10 直线方程的实际应用 【典例1】如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    用坐标法解决生活问题． 【变式1】足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置； (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【变式2】已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【变式3】已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 1．“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 3．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离均为 C．是两条平行直线 D．是一条与相交的直线 6．已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 7．经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 8．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 10．已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 11．已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 12．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 13．已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 14．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 15．已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线的方程 教学目标 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 教学重难点 重点 掌握直线方程的几种形式. 知识点01 直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【即学即练】 1．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【分析】首先求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程，从而判断直线不过第几象限. 【详解】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限. 故选：D. 知识点02 直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【即学即练】 1．在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 2．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果. 【详解】当时，直线过原点，且单调递增， 直线单调递增，且纵截距为正数， 没有符合的图象． 当时，直线过原点，且单调递减， 直线单调递增，且纵截距为负数， C选项符合． 故选：C 知识点03 直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 【即学即练】 1．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出点及点关于坐标原点的对称点的坐标，然后由两点式求解即可. 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 2．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 知识点04 直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 【即学即练】 1．已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 知识点05 直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 【即学即练】 1.1．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 2．中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得 【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且， 又，则， 则直线CD的方程为，即 故选：B 知识点06 直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 【即学即练】 1．若直线，，则下列向量可以作为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取作为的一个方向向量，设为的方向向量，可得，由此可得正确答案. 【详解】取上两点，，则可以作为的一个方向向量． 设为的方向向量， ∵，∴，故，即，B选项正确． 故选：B. 2．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将给定直线方程转化为斜截式方程，从而得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系以及倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】对于直线方程，得到,斜率. 设直线的倾斜角为，，根据直线倾斜角与斜率的关系， 已知斜率，所以. 在这个范围内，正切值等于的角只有，所以. 故选：B. 知识点07 直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 【即学即练】 1．直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线过原点时，可求得直线斜率，进而得到直线方程.当直线不过原点时，设直线的截距式方程，代入点坐标可得结果. 【详解】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得. 当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得. 综上得，直线的方程为或. 故选：C. 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果 【详解】根据题意可知直线可可变形为 故直线的斜率为， 设直线倾斜角为， 由可得. 故选：B 知识点08 直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【即学即练】 1．若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，解得或，检验均符合题意，得到结果. 【详解】直线与平行,所以,即，解得或， 当时，直线为；为，两直线不重合. 当时，直线为；为，两直线不重合. 所以或. 故选：C 2．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 题型01 点斜式直线方程 【典例1】已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1】已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围. 【详解】直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与线段相交， 所以由图可知. 故答案为：. 【变式2】已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 【变式3】已知直线l过点，且分别交两直线于x轴上方的两点，O点为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．20 【答案】A 【分析】判断直线斜率存在并设直线l的方程为，求出两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率一定存在，斜率设为k，则直线l的方程为， 分别与联立可得两点的横坐标：， 故，两点都在x轴的上方， 故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最小值为8， 故选：A． 题型02 斜截式直线方程 【典例1】一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可． 【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错； 对于选项B中，直线的直线的，∴B错； 对于选项C中，直线的直线的∴C对； 对于选项D中，直线的直线的∴D错． 故选：C． （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 【变式1】下列命题中正确的是（　　） A．经过点的直线都可以用方程表示 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【答案】C 【分析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果. 【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确； 故选C. 【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 【变式2】倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是　(　　) A．y=x+1 B．y=x-1 C．y=-x+1 D．y=-x-1 【答案】D 【详解】∵ 直线的倾斜角为 ∴直线的斜率等于 ∵在轴上的截距为 ∴由直线方程的斜截式可得直线方程为： 故选D 【变式3】已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 题型03 两点式直线方程 【典例1】若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式1】经过点，的直线在轴上的截距为 ． 【答案】27 【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距. 【详解】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 故答案为：27. 【变式2】已知直线l截圆所得的弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质可知弦AB的垂直平分线过圆心，结合题中所给的弦AB的中点坐标，利用两点式写出直线方程，整理得结果. 【详解】将圆的方程化为，得圆心为， 由圆的性质可知弦AB的垂直平分线过圆心， 弦AB的中点坐标为， 所以弦AB的垂直平分线方程为， 整理得， 故选：B. 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直 B．直线的斜率为 C．过（，），（，）两点的所有直线的方程 D．经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】A 【解析】A. 当直线与的斜率，满足时，可得两直线一定垂直； B.分类讨论和两种情况； C.分类讨论：过两点的所有直线的方程为或或； D. 过点且在轴和轴上截距都相等，分类讨论：截距为0和不为0两种情况. 【详解】A.当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直，A项正确； B.直线，当时，其斜率为，所以不正确； C.过两点的所有直线的方程为或或，因此不正确； D.过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以不正确； 综上，只有A正确， 故选：A. 题型04 截距式直线方程 【典例1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零 【变式1】已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确. 故选：D 【变式2】直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】由题意设直线的方程为，则①， 又，∴②， 由①②解得，或，， 又由知，则，， 则直线的斜率为． 故选：C． 【变式3】过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果. 【详解】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条. 故选：B. 题型05 中点坐标公式 【典例1】已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【变式1】已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式得到点的坐标，即可得到直线的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可. 【详解】解：因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 【变式2】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【分析】应用截距式求直线方程. 【详解】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即. 故答案为： 【变式3】若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，求直线l的方程 ． 【答案】x＋3y＋2＝0 【分析】设出点坐标，由中点坐标公式求得坐标后，用两点式写出直线方程并整理． 【详解】解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有，解得a＝－5，b＝－3， 即P(－5，1)，Q(7，－3)．由两点式可得＝，化简得，l的方程为x＋3y＋2＝0． 故答案为：x＋3y＋2＝0． 题型06 直线的一般式方程 【典例1】已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】根据直线方程，可得，利用向量共线的坐标表示可求. 【详解】取，由可得，解得． 故选：A. 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式1】已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得直线过点，再数形结合，即可求解. 【详解】直线过点，画出图象如下图所示，， 由于直线与线段没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意， 当时，直线的斜率为， 根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：A. 【变式2】设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．    易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 【变式3】已知直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程得直线斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由直线可知斜率， 所以直线的倾斜角为， 故选：A． 题型07 直线方程的综合应用 【典例1】已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】D 【分析】先判断的图象关于直线对称，可得，设根据求出，从而可得答案. 【详解】因为 所以的图象关于直线对称，故. 因为在都单调递增，在都单调递减 在单调递增； 在单调递减. 所以直线与的图象只有两个交点和点， 设则， 设直线与交点为， 所以， 则，即， 因为直线经过点，， 所以. 故选：D 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 【变式1】若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式2】 ，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 【变式3】下列说法中，错误的是（ ） A．经过点且与直线平行的直线方程是 B．直线的一个方向向量为 C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D．，，三点共线 【答案】C 【分析】A设所求直线为，代入点求参数即可判断；B根据斜率写出一个方向向量，判断两个向量是否平行即可；C注意直线过原点的情况；D利用两点式求斜率，判断是否相等即可. 【详解】A：令过点且与直线平行的直线为， 则，故所求直线为，对； B：直线的斜率为，则一个方向向量为， 显然与向量平行，故向量也是一个方向向量，对； C：当直线过原点时，直线方程为，错； D：由，故三点共线，对. 故选：C 题型08 判断动直线所过定点 【典例1】已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解． 【详解】直线，即， 则直线过定点， ，，， ，， 直线与线段（含端点）有公共点， 或，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D． 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式1】已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线过定点以及两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】易知直线过定点，如下图所示：    易知当直线与线段相交时，直线需处在直线与直线之间； 且，， 又易知可化为，其斜率为， 因此可得，解得. 即的取值范围是. 故选：C 【变式2】已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 【变式3】已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围. 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率， 直线的斜率， 如下图所示，由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 题型09 直线与坐标轴形成三角形问题 【典例1】直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式1】已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 【变式2】已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，直线交轴于点，交轴于点. 由题意可得，即. ①当时，可得，即，； ②当时，可得，即，. 综上所述，符合条件的直线有条. 故选：B. 【变式3】过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式设出的方程，由此得出，结合基本不等式得出，从而得出当时，的面积最小，即可得出此时直线的方程. 【详解】设的方程为，则有 因为，所以，即 所以，当且仅当，即时，取“=”. 即当时，的面积最小. 此时的方程为，即. 故选：A 题型10 直线方程的实际应用 【典例1】如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【分析】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    用坐标法解决生活问题． 【变式1】足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置； (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置； （2）建立平面直角坐标系，从而利用斜率公式表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置. 【详解】（1）若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. （2）若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则，直线的方程为， 设点，其中， ，， 所以 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 【变式2】已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 【变式3】已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    1．“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 2．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 3．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 4．直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的一般式方程表示直线斜率，利用倾斜角和斜率之间的关系可得结果. 【详解】由题意得，直线方程可化为，直线斜率为， ∵直线的倾斜角为， ∴，即. 故选：D. 5．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．上的点到的距离均为 C．是两条平行直线 D．是一条与相交的直线 【答案】B 【分析】由向量关系得到坐标关系后可得的轨迹方程，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】设，则，故， 故，故即， 故为一条直线，该直线与平行，它到的距离为， 故ACD错误，B正确， 故选：B. 6．已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 7．经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 8．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 9．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 10．已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 11．已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 12．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， （2）又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 13．已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【详解】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 14．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 15．已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$