精品解析：河南省平顶山市第一高级中学附属初中2025-2026学年第一次月考九年级数学上册

2025—2026学年上学期学情调研卷（一） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 两点之间，线段最短 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形．   故选：C ． 3. 方程的根是（ ） A. ，1 B. C. 0， D. 0，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程， 利用两因式的积为零，则这两个因式至少有一个为零可得． 【详解】解：∵ ∴或 解得：或 故选C． 4. 我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴该菱形窗户的周长为， 故选：D． 5. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 6. 设、是方程的两根，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，此题可以直接由根与系数的关系求得． 【详解】解：、是方程的两根， 故选：D． 7. 2025年5月，河南省人民政府办公厅印发《河南省提振消费专项行动实施方案》，该方案提出做强数字消费，实施数字消费提升行动，办好“网上年货节”“双品网购节”等活动．若某电商直播间5月份营业额为81万元，借助该政策实现7月份营业额上涨到100万元的目标，假设每月营业额增加的百分比均为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每月营业额增加的百分比均为，根据“5月份营业额为81万元，借助该政策实现7月份营业额上涨到100万元的目标，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设每月营业额增加的百分比均为，根据题意得： ． 故选：C 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意可得且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， 故选：C． 9. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值．熟练掌握方程的根满足方程，将根代入方程得到等式，再利用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 先利用方程的根求出与的关系，再对所求式子进行转化并代入求值． 【详解】解：把代入方程中，可得， 即， ∴． 把代入可得： ． 故选：B． 10. 如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 3.6 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程化成一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式进行变形即可． 【详解】解：方程化成一般形式是． 故答案为． 12. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先推导出是等边三角形，再利用直角三角形30度角的性质，可得，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 13. 若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 14. 如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．连接、交于点，由菱形的性质得出，，，由点的坐标和点的坐标得出，求出，，即可解决问题． 【详解】解：连接、交于点，如图所示： 四边形是菱形， ，，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得； 【小问2详解】 解： ，，． ， ， 解得，． 17. 如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 【答案】 证明：四边形为矩形， ． ． 为的平分线， ． ． ． 矩形为正方形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 根据有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可． 【详解】略 18. 解方程，某同学的解题步骤如下： 解：．① ．② ．③ ．④ 方程无实数根．⑤ 完成下列问题： （1）这位同学解方程的过程中，从第_____步开始写错了； （2）请你帮他将解方程的正确过程完整地书写出来． 【答案】（1）③ （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了． 故答案为：③． 【小问2详解】 ∵， 两边同除以2，得． 配方，得． ∴． 移项，得． 两边开平方，得， 即，或． ∴，． 19. 如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 20. 年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． （1）当天火箭模型的销售量为_____件； （2）求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 【答案】（1） （2）当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润每件的销售利润当天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：当天火箭模型的销售量为件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，得． 整理得，即， 解得， （元）． 答：当该火箭模型的销售单价为元时，该产品当天的销售利润是元． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ，点为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，且， 又∵点为的中点， 为的中位线， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合三线合一；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 22. 阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． （1）用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； （2）请你按上述方法补全解方程的步骤． 【答案】（1） （2） 解：由（1）得，原方程可变形为， 整理，得.解得，． 当时，方程可整理为． ， 方程无解． 当时，方程可整理为， 解得．经检验，是原方程的根． 原方程的根为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，换元法解分式解方程， （1）根据换元法思想，令，则，即可得到关于的方程； （2）利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程求出的值，再解关于的分式方程即可得到原方程的解． 【小问1详解】 解：如果设，则原方程可化为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线， ． （1）求点的坐标； （2）把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点，连接，，求四边形的周长； （3）若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解； （2）证明，推出四边形是菱形，设，则， 勾股定理求出的长，即可得解； （3）分点在轴和点在轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 【小问2详解】 由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴四边形的周长； 【小问3详解】 解：由（1）可知：， ∵四边形是菱形， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ①在轴上时：设， 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； ②在轴上时：设 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； 综上：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期学情调研卷（一） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 两点之间，线段最短 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 两点确定一条直线 3. 方程的根是（ ） A. ，1 B. C. 0， D. 0，1 4. 我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 6. 设、是方程的两根，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 7. 2025年5月，河南省人民政府办公厅印发《河南省提振消费专项行动实施方案》，该方案提出做强数字消费，实施数字消费提升行动，办好“网上年货节”“双品网购节”等活动．若某电商直播间5月份营业额为81万元，借助该政策实现7月份营业额上涨到100万元的目标，假设每月营业额增加的百分比均为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 10. 如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 3.6 C. 4.8 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程化成一般形式是______． 12. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 13. 若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 14. 如图，在菱形中，点A在x轴上，点B的坐标为，点D的坐标为，则菱形面积为________． 15. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 18. 解方程，某同学的解题步骤如下： 解：．① ．② ．③ ．④ 方程无实数根．⑤ 完成下列问题： （1）这位同学解方程的过程中，从第_____步开始写错了； （2）请你帮他将解方程的正确过程完整地书写出来． 19. 如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． （1）求证：； （2）如果，求的长． 20. 年月日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为元时，每天可销售件；当销售单价每增加元，每天的销售数量将减少件．设火箭模型的销售单价增加元． （1）当天火箭模型的销售量为_____件； （2）求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是元． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 22. 阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． （1）用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； （2）请你按上述方法补全解方程的步骤． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线， ． （1）求点的坐标； （2）把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点，连接，，求四边形的周长； （3）若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $