精品解析：上海市建平中学2026届高三上学期9月练习数学试题

建平中学高三数学练习试卷 2025.09 一､填空题 1. 已知全集，，则________． 2. 若，，则________． 3. 设为虚数单位，若，则________． 4. 已知等比数列的首项与公比相等，若，则________． 5. 函数在处的切线斜率为________． 6. 设实数，圆:的面积为，则________． 7. 未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为________． 8. 在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 9. 在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 10. 设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为________． 11. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥________平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 12. 已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 二､单选题 13. 设，则下列选项中正确的是（ ）． A. B. C. D. 14. 有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 15. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论： ① 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． ② 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（ ）． A. 命题①成立，命题②成立 B. 命题①成立，命题②不成立 C. 命题①不成立，命题②成立 D. 命题①不成立，命题②不成立 三､解答题 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 设，.已知函数的定义域为，且． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）设，若对任意的，均有，求的取值范围． 19. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) （2）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 21. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学高三数学练习试卷 2025.09 一､填空题 1. 已知全集，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：． 2. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则. 故答案为：. 3. 设为虚数单位，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的运算法则、模的计算公式计算可得. 【详解】由，则， 所以. 故答案为：5. 4. 已知等比数列的首项与公比相等，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为等比数列的首项与公比相等， 所以， 所以， 故答案为：. 5. 函数在处的切线斜率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 则函数在处的切线斜率为. 故答案为：. 6. 设实数，圆:的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意得面积为，所以, 将圆一般式化为标准式得， 又， 所以，所以. 故答案为：. 7. 未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】记零件为1号车间加工，零件为2号车间加工， 零件为3号车间加工，任取1个零件为合格， 则，，， ，，， 则 . 故答案为：. 8. 在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数________． 【答案】 【解析】 【分析】二项式系数最大的有且仅有第4项，可知展开式有7项，即可求解. 【详解】因为二项式系数最大的有且仅有第4项， 由二项式系数的性质可知：展开式有7项， 所以， 故答案为：6 9. 在正七棱锥中，直线过A、B、C、D、E、F、G中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出底面的外接圆，圆心为，根据题意即可分析出答案． 【详解】作出底面的外接圆，圆心为， 由题意得，当直线过点，且最近接点时，与直线所成角最小，即与夹角最小， 因为，所以，所以，则也符合题意， 同理可得，， 所以满足题意得直线有，共6条， 故答案为：6． 10. 设（且，）．若对任意，均成立，则当时，的取值范围为________． 【答案】； 【解析】 【分析】利用恒等式可求出参数，，再利用对数运算性质进行求解对数不等式即可. 【详解】由均成立，可得恒成立， 即， 则，因为，所以，解得， 所以， 由，则， 故答案为： 11. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥________平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 【答案】 【解析】 【分析】以矩形的中心为原点建立直角坐标系，计算直线的方程，根据图形中心对称得到直线的方程，计算图形中的关键点坐标，通过面积公式计算即可得到结果. 【详解】 如图以矩形的中心为原点建立平面直角坐标系，记边上的圆心分别为， 则直线的斜率为， 根据圆与圆的半径相等，可知， 设直线的方程为，即， 根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，根据图中位置可得， 则直线的方程为， 它与坐标轴的交点为， 根据图形的中心对称性，可知直线的方程为， 它与坐标轴的交点为， 所以中间重合部分的面积为：， 对于直线的方程为， 令，可得，令，可得， 可得，即， 所以， 根据对称性可知， 所以六边形的面积为：， 在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道的面积为：. 故答案为：. 12. 已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 【答案】 【解析】 【分析】结合条件与等比数列求和公式可得，从而得，再按分类探究.当时，可设，进而结合数列缺少项，利用等比数列求和公式得到，再借助取值推出矛盾. 【详解】由题意对任意正整数，存在不超过的正整数，使得， 由，令，则； 令，则，或； 故数列的任意一项均为的正整数次幂形式，且为递增数列， 设，其中，，且， 即数列各项均为正整数的递增数列. 又，且， 可得，故； 由， 故， 由，可知， 则， 故，则； ①当时，则，则由可知， 此时，， 满足题意； ②当时，则，可取， 则， 满足题意； ③当时，则，，又， 故； 由， 可知数列的前项中， 至少有两项不在数列的前项中（不包含第项）. 故可设， 其中，且数列为正整数列的递增子数列且. 故， 解得. 又，而， 故只能取，即只可能两项不在数列的前项中； 则数列中，而只能取或，故产生矛盾； 故不满足题意； 综上可知，满足要求的正整数只能为或，即个数为. 故答案为：. 二､单选题 13. 设，则下列选项中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于ACD，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，故ACD错误； 对于B，由题知，所以，当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 故选：B． 14. 有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的定义即可判断AD；根据相互独立事件的定义结合古典概型公式进行计算，即可判断BC. 【详解】由题意，与互斥但不对立，故A错； 事件有共种，则， 事件有共种，则， 其中事件有共种，事件有共种， ， 则，所以与相互独立，故B对； ，所以与不独立，故C错； 因为与可同时发生，所以与不互斥，故D错. 故选：B. 15. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 16. 在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论： ① 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． ② 任意，存在．对任意正整数，为大于零的常数． 下列选项中，判断正确的是（ ）． A. 命题①成立，命题②成立 B. 命题①成立，命题②不成立 C. 命题①不成立，命题②成立 D. 命题①不成立，命题②不成立 【答案】B 【解析】 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 三､解答题 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明:平面，平面，所以； 因为底面是正方形，故．    而，平面,故平面． 又因为平面，因此． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定和性质即可得证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可利用向量法求线面角，或者利用等体积法求解点到平面的距离，利用线面角的几何法求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 方法一： 取的中点，连接，由（1）中结论易知两两垂直. 以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，根据，可知，； 易知，故 即，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则 设直线与平面所成角为， 可知. 综上所述：直线与平面的所成角为. 方法二： 设，则，根据，可知， 而，是棱的中点，故，进而 由于平面，,故平面,又平面,故． 在中，可知， 又，在中由余弦定理知. 故的面积为 设到平面的距离为，根据，可知 设直线与平面所成角为，可知. 综上所述：直线与平面的所成角为. 18. 设，.已知函数的定义域为，且． （1）若函数是偶函数，求的值； （2）设，若对任意的，均有，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据定义域两个端点的偶函数性质求出的值； 方法二：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据求出的值. （2）首先根据定义域求出的范围，然后通过讨论不同的范围下，利用函数的单调性和最大最小值，求出满足不等式成立的的范围，即是最终要求的答案. 【小问1详解】 方法一：由函数是偶函数，，可知，解得， 同时，则，解得， 此时，对任意，显然有. 综上所述：，. 方法二：由函数是偶函数，，可知，解得. 且对任意，有，即， 化简得恒成立，所以. 综上所述：，. 【小问2详解】 根据，，且，则或. 情况1：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 则，故是上的严格增函数， 故只需，解得，则. 情况2：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 由情况1可知，是上的严格增函数， 只需，即，与无交集，舍去. 综上所述，的取值范围是. 19. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) （2）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 【答案】（1）76分 （2） （3）平均数，方差21 【解析】 【分析】（1）先根据“第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积”，得“第 1 组的频率的平方为第 2 组和第 4 组频率的积”求，，求该组数据的第70百分位数即可. （2）根据古典概型求概率. （3）根据平均数与方程的概念求新数据的平均数与方程. 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积， 所以，解得 ， 又 ，解得， 所以， 成绩落在 内的频率为：，落在内的频率为： ， 设第70百分位数为，则，解得 ， 所以晋级分数线划76较为合理. 【小问2详解】 由图可知， 按分层抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ， 则所有的抽样有： ， 共 15 个样本点， "抽到的两位同学来自不同小组"，则 ， 共 8 个样本点， 所以 ． 【小问3详解】 因为 ， 所以， 所以 ， 所以 ， 剔除其中的 和 86两个分数， 设剩余 8 个数为 ，，平均数与标准差分别为 ，则剩余 8 个分数的平均数： 方差：. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． （1）求椭圆的离心率； （2）设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； （3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【小问1详解】 根据题意：，，故. 离心率. 【小问2详解】 由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. 【小问3详解】 设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 21. 对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据的解析式求导，并求出和，然后列出不等式，不等式的解集即是. （2）首先对函数求导，根据已知条件求出的值，然后将其对应的函数值和导数值代入不等式中，求出不等式的解集即为. （3）首先根据已知条件列出的表达式，然后求出的关系，然后求出的关系，最后得出的关系. 【小问1详解】 对求导有， 所以，， 因此， 求解不等式有， 由于该式对于任意均成立，所以. 【小问2详解】 对求导有， 则在处的切线方程为， 将点代入方程可得， 解得或， 由于，所以. 所以，. 因此. 将不等式化简得：，化简得. 解得，所以. 【小问3详解】 先证明： 设， 则， 所以在上的最大值为， 进而，因此. 再证明： 根据和，分别推出和， 由不等式性质可得，，即. 由于在和处的切线为和， 所以在和处的切线重合. 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $