22.3-2 勾股定理 课件 2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，从逆命题引入，通过构造直角三角形证明（利用全等三角形对应角相等），结合例题（如8、15、17判断直角三角形）、勾股数口诀及综合练习，构建“定理证明-例题应用-口诀记忆-分层练习”的学习支架，帮助学生衔接勾股定理与逆定理的逻辑关系。 其亮点在于以逻辑推理培养数学思维，证明过程通过构造全等三角形体现严谨推理，例题（如四边形绿地面积计算）引导用数学眼光分析问题，勾股数口诀“奇数平方对半分，偶数半方加减一”助力数学语言表达。学生能提升推理能力和应用意识，教师可直接使用结构化内容高效教学。

PowerPoint Design 汇报人：XXX 时间：2025 第22章 直角三角形 22.3-2 勾股定理 CONTENTS 勾股定理的逆定理及其证明 01. 目录 例题分析 02. 勾股定理的逆定理及其证明 我们来研究股定理的逆命题 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和， 那么这个三角形是直角三角形。 下面我们证明这个逆定理 勾股定理的逆定理及其证明 如图22-3-6，已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a²+b²=c²。 求证：△ABC是直角三角形。 分析 构造一个直角边长为a、b的直角三角形，证明它与△ABC全等。 证明 如图22-3-7，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b， 由勾股定理，可得A'B'²=B'C'²+A'C'²=a²+b²。又因为a²+b²=c²，所以A'B'²=c²，即A'B'=c。 因此，△ABC与△A'B'C'的三边对应相等，从而△ABC≌△A'B'C'。 由“全等三角形的对应角相等”，可得∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。 例题分析 例2 在△ABC中，BC=8，AC=15，AB=17。试判断△ABC是不是直角三角形。 解： ∵ BC²+AC²=8²+15²=289，AB²=17²=289， ∴ BC²+AC²=AB²。 ∴ △ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）。 我们已经知道，3²+4²=5²，8²+15²=17²。如果正整数a、b、c满足a²+b²=c²，那么a、b、c称为一组勾股数。以勾股数中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形。 例题分析 关于勾股数的口诀： 奇数平方对半分，偶数半方加减一 例如： 找与3配的勾股数：3的平方是9，对半分成两个整数，一个是4，一个5，所以3、4、5是一组勾股数； 找与5配的勾股数：5的平方是25，对半分成两个整数，一个是12，一个13，所以5、12、13是一组勾股数； 找与6配的勾股数：6的一半的平方是9，9加一是10,9减一是8，所以6、8、10是一组勾股数； 勾股定理的逆定理及其证明 例3 图22-3-8是一块四边形绿地的示意图，其中AB长24 m，BC长7 m，CD长20 m，DA长15 m，∠C=90°。求绿地ABCD的面积。 解：如图22-3-9，连接BD。 在△BCD中，∠C=90°， ∴ BD²=BC²+CD² (勾股定理)， ∴ BD²=15²+20²=225+400=625， ∴ BD=25. 在△ABD中，AD=15，AB=24， ∴ AD²+AB²=7²+24²=49+576=625， ∴ BD²=AD²+AB²。 ∴ ∠A=90°(勾股定理的逆定理)。 ∴ S绿地△BCD=S△BCD+S△ABD=½BC·CD+½AD·AB =½×7×20+½×15×24 =150+84=234. 答：绿地ABCD的面积是234 m²。 课堂练习 22.3(2) 1、判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”: 以0.3, 0.4, 0.5为三边长的三角形不是直角三角形. ( ) (2) 以50, 120, 130为三边长的三角形是直角三角形. ( ) 只要是3、4、5的倍数组成的都是勾股数。 只要是已知勾股数的倍数组成的都是勾股数。 × √ 课堂练习 22.3(2) 2、以下列a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪个角是直角? a=8, b=13, c=11; (2) a=6.5, b=2.5, c=6; （3） a=40, b=41, c=7 分析：首先需要确定三条边中的最长边，然后计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方进行比较。若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；否则不是直角三角形。 这里用到勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、6、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 解：（1）因为8<11＜13，所以最长边为b=13,计算两条较短边的平方和：a2+c2=82+112=64+ 121 = 185 计算最长边的平方：b2 = 132= 169 因为185≠169，所以a2+c2 ≠b2 所以a=8, b=13, c=11为边长的三角形不是直角三角形。 课堂练习 22.3(2) 2、以下列a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪个角是直角? a=8, b=13, c=11; (2) a=6.5, b=2.5, c=6; （3）a=40, b=41, c=7 解：（2）因为2.5＜6＜6.5，所以最长边为a=6.5 计算两条较短边的平方和：b2+c2=2.52+62=6.25 +36=42.25 计算最长边的平方：a2 = 6.52=42.25 因为42.25 = 42.25，所以b2+c2=a2 所以a=6.5, b=2.5, c=6为边长的三角形是直角三角形,最长边a所对的角是直角。 课堂练习 22.3(2) 2、以下列a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪个角是直角? a=8, b=13, c=11; (2) a=6.5, b=2.5, c=6; （3）a=40, b=41, c=7 解：（3）因为7＜40＜41，所以最长边为b=41 计算两条较短边的平方和：a2+c2=402+72=1600 +49=1649 计算最长边的平方：b2 = 412=1681 因为1649 = 1681，所以a2+c2≠b2 所以a=40, b=41, c=7为边长的三角形不是直角三角形。 课堂练习 22.3(2) 3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，CD=8，BC=17，BD=15。求AB的长。 解： ∵CD=8， BC=17， BD=15 ∴CD2+ BD2=64+225=289=172=BC2 ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°（如果三角形两边的 平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） ∴∠BDA=90° ∴AB2= AD2+ BD2（直角三角形勾股定理） 又∵AB=AC， CD=8， BD=15 ∴AB2= (AB - 8)2+ 152 ∴ AB = 小结 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和， 那么这个三角形是直角三角形。 关于勾股数的口诀： 奇数平方对半分，偶数半方加减一 PowerPoint Design 汇报人：XXX 时间：2025 谢谢大家 $