精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026届高三上学期9月月考数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若有三个元素，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ， C. D. 方程有唯一实数解 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种. 13. 已知，其中a为实数，若，则a=______. 14. 在中，，，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表. 性别 兴趣程度 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 （1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数． （1）求的解析式，并判断的单调性； （2）已知，，且，求的取值范围． 17. 已知. （1）求的单调增区间和对称中心； （2）在锐角 中，A，B，C的对边分别是..求的值域. 18. 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：； （3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的包含关系直接判断即可. 【详解】， 因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知集合，若有三个元素，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据有三个元素，且，可得或，解出再进行验证，即可得答案； 【详解】∵有三个元素，且 ∴分为两种情况： ①当时，解之得：或，均符合题意； ②当时，解之得：，符合题意. 综上所述，实数a的取值集合为. 故选：C. 【点睛】本题考查集合元素的互异性和并集运算，考查运算求解能力，求解时注意分类讨论. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 5. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出在上单调递增的值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数，求导得， 若函数在上单调递增，则对恒成立， 而当时，，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 7. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【详解】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ， C. D. 方程有唯一实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】由偶函数的性质结合导数的单调性和极值点逐一判断可得. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以，故A错误； 对于B，由偶函数在对称区间上的单调性是相反的可知，时，函数为增函数，所以，故B正确； 对于C，由偶函数的对称性质可得1位于增区间，2位于减区间，所以，故C正确； 对于D，由函数图象结合偶函数性质可知，函数的极值点最少有两个且不相同， 所以方程最少有两个不同解，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的定义及计算方式直接可得解. 【详解】恰好有个女生被选中时，共有种方法， 故答案为：. 13. 已知，其中a为实数，若，则a=______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则化简得，即可求解． 【详解】易得， 若，则， 解得. 故答案为： 14. 在中，，，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为______. 【答案】 ①. （或） ②. 【解析】 【分析】解法一：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据，可求得，记的中点为O，可得，且，可求结论.解法二：不妨记的内心为M.，内切圆半径，利用余弦定理可求得，当且仅当时取等号.，结合且可求结论. 【详解】解法一：不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由余弦定理可得，即， 故，又因为， 可得，而， 故，于是， 故， 故， 当且仅当时，等号成立. 故r的最大值为，此时，为等腰三角形. 记的中点为O，因为，，可得， 于是由等腰三角形性质可知， 故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立. 故的取值范围是. 解法二：不妨记的内心为M. ∵， ∴， 又，， ∴内切圆半径， 又由余弦定理，得， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时取等号.， 根据条件，易证得，为等腰三角形，A，M，D三点共线. ，由得， 故且， 当且仅当A，P，D三点共线时等号成立， 故的取值范围是 故答案为：①（或）；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表. 性别 兴趣程度 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 （1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，结合古典概型公式，即可得答案. （2）先求得，由题意可得，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知， 从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为. 【小问2详解】 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关， 则，解得 因为m为正整数， 所以m的最小值为10. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数． （1）求的解析式，并判断的单调性； （2）已知，，且，求的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性求得，再利用指数函数的单调性与单调性和差的性质即可得解； （2）利用的奇偶性与单调性，分类讨论的取值范围，结合指对数的运算法则即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 令，则， 故，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 综上，，在上单调递增. 【小问2详解】 因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ，且， ，即，则， 当时，，则，即，故； 当时，，则，即，则； 综上，的取值范围为. 17. 已知. （1）求的单调增区间和对称中心； （2）在锐角 中，A，B，C的对边分别是..求的值域. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的图象的递增区间和对称中心易得函数的单调增区间和对称中心； （2）由求得，设，由正弦定理将其化成，利用锐角三角形求出，继而利用函数单调性求出，最后求在上的值域即得. 【小问1详解】 由 . 由解得，， 即的单调增区间为； 由解得，，故的对称中心为. 【小问2详解】 由可得，， 因是锐角三角形，故则， 故，解得，， 由，设，由正弦定理可得，, 由解得，，则,,故有. 于是，， 而在上单调递减，在上单调递增，且 ， 则的值域为. 18. 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点(，0)． 【解析】 【分析】（1）根据离心率求得a,b的关系，进而求得椭圆的标准方程； （2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，利用判别式求得m,k满足的不等关系，由QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称，得，利用韦达定理表示，并化简得到化简得，直线l的方程为，进而得到结论. 【详解】（1）因为椭圆C：(a>b>0)的离心率e=， 所以，即， 又椭圆的短轴长为2，所以b=1，a=2， 所以椭圆C的方程为． （2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组，消去y，得 ，即， ， 因为QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称， 所以， 即 3 得 化简得，直线l的方程为， 所以，直线l恒过定点(，0)． 【点睛】本题考查利用离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的直线过定点问题，属中档题，关键是利用设而不求思想，利用韦达定理化简，进而得到m,k的关系,从而判定直线过定点. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：； （3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 证明：当时，， 要证明，即证，即， 设，则，令得，． 当时，，当时，， 所以为极大值点，也为最大值点． 所以，即．故； （3） 证明：由（2）知（当且仅当时等号成立）， 令，则， 所以 ， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）先求导得，根据的情况，分类讨论即可求解； （2）要证明，即证，即， 设，利用导数研究单调性求最大值即可得证； （3）由（2）知，令，则，又，最后利用裂项相消法即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为． ①当时，，所以在上单调递增， ②当时，令，解得． 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $