精品解析：吉林省白山市抚松县第十中学2025—2026学年上学期第一次月考 九年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期第一次月考 九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案. 【详解】解： ∴ 则， 故选：B 4. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据的图象与性质即可判断答案． 【详解】解：∵中， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，有最小值，最小值是，当时，随的增大而增大 故选：D． 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 6. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 一元二次方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先通过移项将方程右边化为0，再提取公因式，把方程转化为两个一次方程求解． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝b2−4ac＝22−4×（−3k）＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2−4ac＝22−4×（−3k）＞0． 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 9. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 10. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知点、是抛物线上两点，A是抛物线的顶点，P点是轴上一动点，当最小时，P点的坐标是_______，的最小值为_______． 【答案】 ①. ②.   【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键 先求出该抛物线的解析式，从而可以求得顶点的坐标，然后即可得到点关于轴的对称点的坐标，该点与点B所连直线与轴的交点即为所求． 【详解】解：∵点、是抛物线上两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴， 点关于轴的对称点的坐标为， 则点与点所连直线与轴的交点即为所求的点，此时最小， 设直线的解析式为, 则有， 解得：， 即直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 此时的最小值为 故答案为：①② ． 三、解答题 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 14. （过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 （1）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； （2）上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】（1）完全平方公式 （2）二，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程， （1）根据解答过程得出依据即可； （2）根据配方法判断即可； 掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 15. 国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同． （1）求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率． （2）如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，根据2020年收入（1增长率）2022年收入列方程求解即可； （2）利用2022年的收入（1增长率）即可求解． 【小问1详解】 解：设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：或（舍）， 答：该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：（万元）， 答：2023年该公司快递业务收入为万元． 16. 用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为30米，宽为25米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽； （2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； 【小问2详解】 解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 17. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，若，求出点的坐标； 【答案】（1） （2）P点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题． （1）设交点式，化为一般式得到，解得，从而得到抛物线解析式； （2）先确定，再利用待定系数法求得直线的解析式为，根据三角形面积公式可判断，则可求得直线的解析式为，然后联立解方程组得P点坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴P点坐标为． 18. 某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） （2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ （3）该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）根据题意列出一元二次方程，由方程的解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴不能平均每天盈利元． 19. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】（1） （2）不会 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【小问1详解】 解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； 【小问2详解】 解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 20. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或2时，； （2）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； 【小问2详解】 存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； 【小问3详解】 存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 21. 如图，P（m，n）是抛物线y=﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q． （1）【探究】填空：当m=0时，OP=　 　，PH=　 　；当m=4时，OP=　 　，PH=　 　． （2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． （3）【应用】当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标． 【答案】（1）1，1，5，5；（2）OP=PH；（3）P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长； （2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长； （3）当OP=OH，且m≠0时，由（2）可知△OPH是等边三角形，进而求得∠HOQ=30°，解直角三角形即可求得． 【详解】解：（1）当m=0时，P（0，1），OP=1，PH=2﹣1=1； 当m=4时，y=﹣3，P（4，﹣3），OP==5，PH=2﹣（﹣3）=5， 故答案为1，1，5，5； （2）猜想：OP=PH， 证明：PH交x轴与点Q， ∵P在y=﹣x2+1上， ∴设P（m，﹣m2+1），PQ=|﹣x2+1|，OQ=|m|， ∵△OPQ是直角三角形， ∴OP====m2+1， PH=2﹣yp=2+m2﹣1=m2+1 OP=PH． （3）∵OP=PH， ∴当OP=OH，三角形OPH是等边三角形， ∵OQ⊥PH， ∴∠HOQ=30°， ∴OQ=HQ=2， ∴P点的横坐标为±2， ∴P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形函数等，利用的知识点较多，题目稍有难度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在；， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第一次月考 九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而增大 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 一元二次方程的解为________． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 9. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 10. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 11. 如图，已知点、是抛物线上两点，A是抛物线的顶点，P点是轴上一动点，当最小时，P点的坐标是_______，的最小值为_______． 三、解答题 12. 解方程：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 14. （过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 （1）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； （2）上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 15. 国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同． （1）求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率． （2）如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？ 16. 用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 17. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，若，求出点的坐标； 18. 某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） （2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ （3）该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 19. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 20. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，P（m，n）是抛物线y=﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q． （1）【探究】填空：当m=0时，OP=　 　，PH=　 　；当m=4时，OP=　 　，PH=　 　． （2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． （3）【应用】当OP=OH，且m≠0时，求P点的坐标． 22. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $