圆的方程：以圆为背景的最值问题、定值问题、定点问题 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程：以圆为背景的最值问题、定值问题、定点问题专项训练 圆的方程：以圆为背景的最值问题、定值问题、定点问题专项训练 考点目录 以圆为背景的最值问题 以圆为背景的定值问题 以圆为背景的定点问题 考点一 以圆为背景的最值问题 1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 6．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽·期末·多选）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 8．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 9．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 10．（2025·重庆·一模）已知圆分别是上的动点，则的最大值为 ． 11．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 12．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 (1)求圆的标准方程； (2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 13．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点和圆：. (1)求经过点的圆的切线方程； (2)若是圆上一动点，求的取值范围. 14．（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 15．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 考点二 以圆为背景的定值问题 1．（24-25高二上·四川南充·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点． (1)求A点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与（1）中曲线交于不同的两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点， (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 6．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 7．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 考点三 以圆为背景的定点问题 1．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·山东·期中）已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点P在直线上，过点P引的两条切线PA、PB，切点为A、B． (1)求四边形OAPB面积的最小值； (2)求证：直线AB过定点． 4．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)在（1）的条件下，若点P在y轴右侧，求出对应的直线AB的方程； (3)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由. 5．（24-25高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 6．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 7．（24-25高二上·贵州·期中）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 8．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，圆，且. (1)证明：与相切； (2)若与内切，求公切线的方程； (3)若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的方程：以圆为背景的最值问题、定值问题、定点问题专项训练 圆的方程：以圆为背景的最值问题、定值问题、定点问题专项训练 考点目录 以圆为背景的最值问题 以圆为背景的定值问题 以圆为背景的定点问题 考点一 以圆为背景的最值问题 1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 2．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 3．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 4．（2025·湖南长沙·三模）已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 6．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 7．（24-25高二上·安徽·期末·多选）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】方程为，表示以为圆心，为半径的圆， 对于AB，设，直线与圆有公共点，由，解得，A正确，B错误； 对于C，表示圆上的点到原点的距离的平方， 又，因此，C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点， 由，解得，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 8．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 9．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 【答案】 【详解】由曲线，得， 作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得或（舍去）， 直线的斜率的最大值为． 故答案为： 10．（2025·重庆·一模）已知圆分别是上的动点，则的最大值为 ． 【答案】10 【详解】圆，圆心，， 圆，圆心，， 因为分别是上的动点， 则的最大值为. 故答案为：10. 11．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题设，圆心，半径为，则， 令圆心到弦的距离为，则到弦的距离为， 所以，，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 12．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 (1)求圆的标准方程； (2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为 【详解】（1）由已知圆心在直线上， 则设， 又圆经过点和， 则， 即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； （2） 由已知直线， 即， 令，解得， 即直线过定点， 且， 所以当直线过点时弦长最大为， 当直线时弦长最小为. 13．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点和圆：. (1)求经过点的圆的切线方程； (2)若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. （2）设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 14．（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 15．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 考点二 以圆为背景的定值问题 1．（24-25高二上·四川南充·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点． (1)求A点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为5 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 则，可得， 整理得曲线的方程为. （2）由题意可知：曲线是以为圆心，半径的圆，且直线的斜率存在，    设直线的方程为，，， 联立方程：，消去得：， 因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 则，解得， 又因为， 代入韦达得：， 所以是定值5. 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦AB的中点M的轨迹方程； (3)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【详解】（1） 当直线的斜率不存在时，直线与圆相离，不符合题意． 当直线的斜率存在时，可设直线，即． 因为直线与圆相切，圆的圆心，半径， 所以，即，解得或． 所以直线的方程为，或． （2） 法一：因为点A，B为过原点O的直线与圆的交点，且点弦AB的中点， 所以，则点的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程为． 法二： 设点．当点不与点，点重合时，由圆的性质可知，， 所以，所以，即． 当点M与点O或点C重合时，和均满足方程． 综上所述，点的轨迹方程为． （3） i）当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时点A，B的坐标为，． 所以． ii）当直线的斜率存在时，可设其方程为． 设，， 由联立，得． 由，得，， 所以 ． 综上所述，为定值． 法二： 所以． 所以． 综上所述，为定值． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与（1）中曲线交于不同的两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii），详见解析 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点，所以， 所以， 整理得曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，消去得：， 所以， 解得，又， 所以直线斜率的取值范围为. （ii）由（i）知，，， 则 ， 所以是定值5. 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且过，两点． (1)求圆的方程； (2)设，点为圆上的动点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，圆的方程为，圆过，， ，，解得，， 圆的方程为. （2）设，则，， ， ，， ， ，为定值得证. 5．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值 【详解】（1）解：因为，，所以圆的半径， 又圆与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，所以的取值范围为； （2）证明：设，圆的半径， 则圆方程为， 整理得，又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线的方程为， 所以到直线的距离, 因为在圆O上，所以，所以到直线的距离， 即点到直线的距离为定值． 6．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，， 所以，，其中为坐标原点， 所以， 所以圆以坐标原点为圆心，半径为的圆， 故圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，得， 由已知 设，，则，    所以 ， 即直线，的斜率之和是定值，该定值为. 7．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知圆O：和点 (1)过点M作圆O的切线，求切线的方程； (2)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由； 【答案】(1)和 (2)存在，定点，定值或定点，定值 【详解】（1）当切线斜率不存在时，显然与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， 所以，解得， 则，整理得， 综上，切线的方程为和； （2）设，由得， 即， 若存在，使为定值， 又，， 则， 整理得， 将代入得， 整理得， 要使为定值，则， 解得，，或，，， 综上，存在定点，定值或定点，定值. 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)圆，圆． (2)是定值． 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 考点三 以圆为背景的定点问题 1．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，以为圆心，半径为2的圆； (2)（ⅰ）证明见解析，定点为；（ⅱ）存在，. 【详解】（1）设，则，即， 所以，整理得. （2）（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证. （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 2．（24-25高二上·山东·期中）已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得，的中点，， 所以，线段的中垂线斜率为1， 所以线段的中垂线方程为：， 联立可得，圆心C点坐标为， 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为：. （2）依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，    所以， ， 所以，以M为圆心，以、为半径的圆的方程为：， 联立，两式作差并化简得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3,0）. 另解1：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、， 可知，，，则点A，B在以为直径的圆上， 由点，可知为直径的圆的方程为， 联立，可得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3，0）. 另解2：依题意，设点，，， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即 整理得， 而，则， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即 整理得， 而，则， 所以点A，B都在直线上，即直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3,0）. 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知圆O：，点P在直线上，过点P引的两条切线PA、PB，切点为A、B． (1)求四边形OAPB面积的最小值； (2)求证：直线AB过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【详解】（1）圆O：的圆心，半径，点到直线的距离， 由切于点，得， 四边形OAPB的面积 ，当且仅当是直线与轴的交点时取等号， 所以四边形OAPB面积的最小值是. （2）设点，由，得点在以线段为直径的圆上， 此圆的方程为，即， 则圆与的公共弦所在直线方程为，而当时，恒有， 所以直线AB过定点. 4．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)在（1）的条件下，若点P在y轴右侧，求出对应的直线AB的方程； (3)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)或 (2) (3)存在，， 【详解】（1）由题可知圆的圆心为，半径. 设，因为是圆的一条切线，所以. 在中，，故. 又， 所以，解得或. 所以点的坐标为或. （2）由题意可知：，且， 可知点在以为直径的圆，且的中点坐标为， 则圆的方程为， 整理可得， 又因为圆，即为， 两式相减即为直线AB的方程，整理可得. （3）因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆， 且的中点坐标为， 所以圆的方程为， 即. 由，解得或， 所以圆过定点和. 5．（24-25高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【详解】（1） 由题知：直线方程为，则由，得到，即， 点为线段的中点，，即， . （2） 由，则圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为.. （3）    由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 6．（24-25高二上·北京房山·期中）已知点和圆C：. (1)求圆C的圆心坐标及半径的大小； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程； (3)若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点. 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)， (3)证明见解析 【详解】（1）由题可知， 所以圆的圆心为，半径为. （2）当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切； 当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切， 则有 所以过点P且与圆C相切的直线方程为，. （3）由题可知， 显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为， 联立 得 所以有 所以 由题可知， 所以有 所以此时 此时的直线方程为 故过定点. 7．（24-25高二上·贵州·期中）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． （3）设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 8．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，圆，且. (1)证明：与相切； (2)若与内切，求公切线的方程； (3)若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：由，可得圆心，半径， 圆，可得， 可得圆心，半径， 则， 当时，可得，，则，两圆相外切； 当时，可得，，则，两圆相内切； 当时，可得，，则，两圆相内切. 综上可得，当时，圆与相切. （2）解：联立方程组，可得， 设直线的方程为， 由点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程， 即圆与的公切线方程. （3）证明：联立方程组，整理得，解得， 所以与的切点为，且圆与内切于点， 所以直线过点的直线，此时直线方程为， 当且时，可得，且和的面积之积为， 则，可得， 又由直线的倾斜角为，则有，可得， 则以为直径的圆的方程为：， 整理得， 即， 将其整理为关于的二次多项式，可得： ， 所以，即，解得或， 所以以为直径的圆恒过定点，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $