精品解析：云南省砚山县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

砚山一中2025年秋季学期高二年级9月月考 数学试卷 2025.9 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：选择性必修第一册（第二章2.1~2.5.1直线与圆的位置关系）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式即可求出. 【详解】经过两点的直线的斜率. 故选：D. 2. 点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离. 故选A． 3. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一个方向向量求出直线斜率，从而可得答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 故选：C. 4. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中点坐标公式，结合两点之间的距离公式，根据圆的标准方程，可得答案. 【详解】由，则线段的中点为，即圆的圆心为， 圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 6. 直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，设点到弦、的距离分别为、，，再由基本不等式求解即可. 【详解】显然，且两直线同时过定点，点在圆内， 设点到弦、的距离分别为、，则， ， 四边形面积 故选：D. 7. 设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，然后根据已知条件得到，然后根据基本不等式中1的妙用求出结果即可. 【详解】将圆化简为. 所以圆心坐标为. 因为直线经过该圆的圆心，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 此时的最小值为4. 故选：B. 8. 已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设直线的斜率为，直线交于点，而点为直线的交点，根据角度关系，可求得，所以，所以必为等腰三角顶角的顶点，所以，可得，求解即可. 【详解】由题意，如图所示，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的斜率为，所以，，， 直线与直线交于点， 点在直线上，直线与直线交于点， 又，所以， 所以，又为等腰锐角三角形，故必为等腰三角顶角的顶点， 所以必有，且， 又，， 所以，即， 所以，即， 解得或， 又，所以. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大，求得，即可得出答案. 【详解】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于. 故选：AB. 10. 在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分情况讨论与的正负情况，分别判断各选项. 【详解】A选项：由的图象可知，，经过一、三、四象限，则需经过二、三、四象限，故A选项正确； B选项：由的图象可知，，经过一、二、三象限，则需经过一、三、四象限，故B选项错误； C选项：由的图象可知，，经过一、二、四象限，则需经过一、二、三象限，故C选项正确； D选项：由的图象可知，，经过二、三、四象限，则需经过一、二、四象限，故D选项错误； 故选：AC. 11. 圆C：，点为圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为3 C. 的最大值为9 D. 无最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】设，则，利用直线与圆有公共点可求出k的最值，求得P到原点的距离，可求的最大值． 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 设，则，因P在圆上，所以， 解得，故的取值范围是，故A正确，D错误； 因为的几何意义为P点到原点距离的平方， 又P到原点的距离的取值范围为， 所以的取值范置为，故的最大值为9，故B错误，C正确． 故选：AC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与直线相交的弦长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由弦长公式计算可得. 【详解】解：圆的圆心坐标是，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以所求弦长． 故答案为： 13. 过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程. 【详解】解：由得，所以圆的圆心为， 所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到直线的方程和的重心，设分别是点关于直线和轴的对称点，设，求得，结合，求得的值，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 所以直线的方程为，且的重心， 设分别是点关于直线和轴的对称点， 设， 设，可得，解得，即， 又由，根据光的反射原理，可知四点共线， 所以，即，解得，即长为，所以长为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 16. 已知圆和点. （1）过点M向圆O引切线，求切线的方程； （2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解； （2）根据垂径定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 （1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线； 当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， ∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为 综上切线的方程为或. 【小问2详解】 点到直线的距离为， ∵圆被直线截得的弦长为8，∴， ∴圆的方程为. 17. 已知圆，直线． （1）判断并证明直线l与圆C的位置关系； （2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程． 【答案】（1）直线与圆相交，证明： 因为直线的方程为， 所以， 由得，， 所以直线恒过定点， 因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交； （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由题可得，由得直线恒过定点， 再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为圆的方程为， 所以点的坐标为，半径为2， 因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故, 所以，故圆心到直线的距离， 直线斜率不存在时，直线的方程为， 因为点到直线的距离为1， 所以直线满足条件，即直线的方程可能为， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 故直线的方程为或. 18. 将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成设直线的斜率为 （1）求点的坐标(用表示)及直线的斜率的范围； （2）令的面积为，试求出的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先设直线由直线过点代 入求出，再联立直线方程直线即可得解； （2）首先求出底长再求高，带入面积公式，即可得解. 【详解】（1）设直线因为直线过点 所以， 直线直线 故 （2）， 所以的取值范围为. 19. 已知圆的半径为，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于不同的两点，且为时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为 ,根据圆心到直线的距离等于半径求得的值，可得圆的方程； （2）依题意：设直线的方程为，代入圆的方程化简，利用根与系数的关系求得，再由，求得的值，可得直线的方程，进而求得的值，再由，计算求得结果. 【小问1详解】 根据题意，设圆心为，则圆C的方程为， 因为圆C与相切，所以圆心到直线的距离为， 解得：或（舍去）， 所以圆C的方程为：. 【小问2详解】 依题意，可知直线的斜率存在，故设为：， 由，消去得， 因为与圆交于不同的两点，， 所以，即，，， 故， 又，故， 整理得：， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为：，即 故圆心到的距离，故， 又原点到直线的距离为即底边边上的高，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 砚山一中2025年秋季学期高二年级9月月考 数学试卷 2025.9 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：选择性必修第一册（第二章2.1~2.5.1直线与圆的位置关系）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 4. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 15 7. 设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（ ） A. 1 B. C. D. 或1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 圆C：，点为圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为3 C. 的最大值为9 D. 无最大值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与直线相交的弦长为____________． 13. 过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知圆和点. （1）过点M向圆O引切线，求切线的方程； （2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程； 17. 已知圆，直线． （1）判断并证明直线l与圆C的位置关系； （2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程． 18. 将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成设直线的斜率为 （1）求点的坐标(用表示)及直线的斜率的范围； （2）令的面积为，试求出的取值范围. 19. 已知圆的半径为，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于不同的两点，且为时，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $