专题06 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题06 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 根据等式的性质解方程 题型二 一元一次方程的含参问题 题型三 一元一次方程的规律问题 题型四 一元一次方程的新定义问题 题型五 一元一次方程解的计算压轴题 题型六 一元一次方程解的拓展问题 题型七 一元一次方程的综合应用 题型八 一元一次方程与数轴有关问题 【经典例题一 根据等式的性质解方程】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·随堂练习）老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）以下是小数同学解方程的过程． 解：方程两边同除以，得． 根据小数的解题过程，回答下列问题： (1)小同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因． (2)请你写出正确的解答过程． 3．（23-24六年级上·上海宝山·期中）新冠肺炎疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． (1)根据题意列出方程； (2)利用等式的性质求出x的值． 4．（24-25六年级上·上海静安·期末）解方程 (1)在括号内填入方程中变形的依据： 解方程： 解：两边同时乘以，得 去括号，得（   ） 移项，得（   ） 合并同类项，得 方程两边都除以，得（   ） (2) 5．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 6．（24-25六年级上·上海松江·期中）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明： 解：设 ∵，∴， 等式两边同时乘以10得，即， ∴，∴，即，解得． 因此． 请模仿该例，将写成分数的形式． 7．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）（学习情境·过程纠错）解答下列各题． (1)下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：_____，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 方程两边同除以2，得．…第五步 填空： ①以上求解步骤中，第一步进行的是_____，这一步的依据是_____； ②以上求解步骤中，第_____步开始出现错误，错误的原因是_____； ③该方程正确的解为_____； ④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． (2)解方程：． 【经典例题二 一元一次方程的含参问题】 8．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 9．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时，对应的整式的值． x 0 1 0 (1)求a，b的值． (2)求关于x的方程的解． 10．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 11．（24-25六年级上·上海宝山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 12．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 13．（24-25六年级上·上海宝山·期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程与方程的解都为，所以它们为同解方程． (1)若方程与关于x的方程 是同解方程，求k的值． (2)若关于x的方程与是同解方程，求a的值． (3)若关于x的两个方程与是同解方程，试求的值． 14．（24-25六年级上·上海静安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【经典例题三 一元一次方程的规律问题】 15．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）将正整数1至2018按一定规律排列如图： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和是2013，请求出这三个数． 16．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）现有一列按某种规律排列的方程： 方程1：，方程2：，方程3：…… 并且方程1的解是，方程2的解是，…… (1)求方程3的解； (2)写出这列方程中： ①解是的方程； ②第n个方程． 17．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 18．（24-25六年级上·上海崇明·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 19．（24-25六年级上·上海虹口·期中）有机物是生命产生的物质基础，主要由碳、氢元素组成，烷烃是最基本的有机物，如图是烷烃前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种：如图1，有1个碳原子，4个氢原子；第2种：如图2，有2个碳原子，6个氢原子；第3种：如图3，有3个碳原子，8个氢原子；第4种：如图4，有4个碳原子，10个氢原子；…… (1)按照这一规律，图中氢原子的个数为_______________（用含的代数式表示）； (2)按照这一规律，烷烃中是否存在某种化合物的分子结构模型图中有2035个氢原子？请说明理由． 20．（2025六年级上·上海·专题练习）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 21．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】 如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且． （2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】 22．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 23．（24-25六年级上·上海松江·期末）用“”定义一种新运算，观察下列式子： (1)计算：； (2)试猜想：_______；（用含a、b的代数式表示） (3)若，求x的值． 24．（24-25六年级上·上海青浦·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，．    (1)计算的值； (2)若，在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求的值： (4)对于任意有理数，，请你定义一种新运算“★”，使得★，直接写出你定义的运算★______（用含，的式子表示）． 25．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)下列两位数：20，29，77中，“相异数”为___________，计算：___________； (2)若一个“相异数”x的个位数字为a，十位数字为b，则___________（用含a、b的最简代数式来表示）；并回答下列问题： ①若a比b大2，且，求x的值； ②小慧同学发现若，则的值一定为5，请判断小慧发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 26．（24-25六年级上·上海崇明·期末）定义：对于一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，用和除以11所得的商记为． 如个位数字与十位数字对调后的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13＋31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以． （1）计算： ； （2）若一个“相异数”的十位数字是，个位数字是，且，求相异数； （3）小慧同学发现若，则“相异数”的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 27．（24-25六年级上·上海静安·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 28．（25-26六年级上·上海嘉定·课后作业）用方程解答下列问题： (1)的倍与的和等于的倍与的差，求； (2)与的积等于与的和，求； (3)与的和的倍等于与的差的倍，求； (4)的倍与的和的等于与的差的，求． 【经典例题五 一元一次方程解的计算压轴题】 29．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）计算： (1)①；     ②． (2)小明在做解方程．作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是． ①小明猜想“■”部分是2．请你算一算的值； ②小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 30．（24-25六年级上·上海嘉定·课后作业）下面方程去分母对不对？若不对，请指出错误并改正． (1)将方程去分母，得； (2)将方程去分母，得； (3)将方程去分母，得． 31．（24-25六年级上·上海闵行·期中）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值； （2）①当，在数轴上的位置如图所示时，化简； ②当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． （3） 已知，求的值． 32．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，； (1)_________，_________； (2)若，的值为_____________； (3)，求的值． 33．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 34．（24-25六年级上·上海静安·期末）春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 35．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【经典例题六 一元一次方程解的拓展问题】 36．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）【新模拟预测  解题方法型阅读理解题】阅读下列材料： 将化为分数的形式： 设                              ① 则                        ② 所以，所以         ③ 所以，解得            ④ 解答下列问题： (1)步骤①到②的依据是______________ (2)请仿照上述方法将化为分数形式． 37．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）在活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆上的点处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，质量为，右端处挂有3个钩码，每个钩码质量是．已知，若使轻质木杆水平位置平衡，则动力臂的长是多少？（温馨提示：动力动力臂阻力阻力臂） 38．（24-25六年级上·上海松江·期末）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 39．（24-25六年级上·上海松江·期中）观察下面三行数： 第一行：，4，，16，，64，…… 第二行：，2，，8，，32，…… 第三行：0，6，，18，，66，…… (1)第一行的第8个数是 ，第三行的第8个数是 ； (2)若设第一行的第n个数是x，则第二行的第n个数是 ，第三行的第n个数是 （用含x的式子表示） (3)取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于322？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由． 40．（2025·上海奉贤·模拟预测）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 41．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读下列材料： 【问题探究】 小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如将转化为分数：设①，则②， 由得：，即． 所以． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）根据上述提供的方法把化成分数为____________； （2）根据上述提供的方法，写出把化成分数的过程； 【问题拓展】 （3）小丽在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：．请把混循环小数化为分数． 42．（24-25六年级上·上海静安·期末）虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） (1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） (2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； (3)小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 【经典例题七 一元一次方程的综合应用】 43．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）新情境在课间活动中，小英和小丽在操场上画出A，两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在区域所得分值不同．当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．沙包每次落在A，两个区域的分值各是多少？ 44．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如表： A型 B型 C型 满368优惠100 满168优惠68 满50优惠20 此次活动中，小尚和小东分别领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小尚最终使用了三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了________张B型“优惠券”． (2)若小东最终使用了5张A型、B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A型、B型“优惠券”各几张？ 45．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？ (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 46．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）为了提高某品牌家电的销售量，某店从11月份开始对销售员采取新奖励办法．已知该店在新奖励办法出台前一个月售出这种家电的A型和B型共200台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的家电共246台，其中A型和B型家电的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电多少台？ (2)若A型家电每台售价为3000元，B型家电每台售价为5000元．新奖励办法是：每销售一台A型家电按每台A型家电售价的给予奖励，每销售一台B型家电按每台B型家电售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型家电的销售量比出台后的第一个月增加了，而B型家电受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该店共发出奖励金额元，求a的值． 47．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图，已知数轴上有A、B、C三点，B、C两点在数轴上表示的数分别为4和6，点A在数轴上表示的数为a，且点A、C到原点O的距离相等．我们将A、B两点间的距离记为． (1) ； (2)若点P从原点O出发，沿数轴向左匀速运动，当时，求此时点P 在数轴上对应的数； (3)若动点M从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点C运动，同时点 N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点A 运动，设点M在数轴上表示的数为m，点N在数轴上表示的数为n，运动的时间为t秒，当 时，求t和m、n的值． 48．（24-25六年级上·上海青浦·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【经典例题八 一元一次方程与数轴有关问题】 49．（24-25六年级上·上海普陀·期末）【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 50．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）已知数轴上的点对应的数分别为，且是数轴上的动点． (1) ， ，两点间的距离为 ； (2)若点到点和点的距离相等，请直接写出此时点所对应的数． 51．（24-25六年级上·上海·阶段练习）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 52．（24-25六年级上·上海静安·期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 53．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 54．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为x秒． (1)当时，点P到点A的距离 ；此时点P所表示的数为 ； (2)当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后也停止运动，则点Q出发5秒时与P点之间的距离 ； (3)在（2）的条件下，当点Q到达C点之前，请求出点Q移动几秒时恰好与点P之间的距离为2个单位？ 55．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知是数轴上三点，点O为原点，点C在数轴上表示的数为8，点B到点C的距离为5，点A到点B的距离为13，且点A位于数轴的负半轴上，点B在点C的左侧． (1)数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为_______； (2)动点分别从同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒． ①当两点到原点的距离相等时，求出t的值； ②点M到点A的距离等于点M到点P的距离，点C到点N的距离等于点C到点Q距离的，且点N在点C和点Q之间．当三个点中的其中一个点到另两点距离相等的时候，求出t的值． 56．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次方程章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 根据等式的性质解方程 题型二 一元一次方程的含参问题 题型三 一元一次方程的规律问题 题型四 一元一次方程的新定义问题 题型五 一元一次方程解的计算压轴题 题型六 一元一次方程解的拓展问题 题型七 一元一次方程的综合应用 题型八 一元一次方程与数轴有关问题 【经典例题一 根据等式的性质解方程】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·随堂练习）老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【答案】王聪的说法错误，刘敏的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质即可求解，利用讨论得出是解题的关键． 【详解】解：王聪的说法错误，刘敏的说法正确， 理由如下：当时，为任意数； 当时，． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）以下是小数同学解方程的过程． 解：方程两边同除以，得． 根据小数的解题过程，回答下列问题： (1)小同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)两边同除以不为的数或式，等式依然成立，而可能为 (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）由于可以等于，则方程两边并不能同时除以，所以小数的解题过程不对； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可． 【详解】（1）两边同除以不为的数或式，等式依然成立，而可能为． （2）， ， 或， ，． 3．（23-24六年级上·上海宝山·期中）新冠肺炎疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． (1)根据题意列出方程； (2)利用等式的性质求出x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，利用等式的性质解方程，寻找题中等量关系，熟练掌握等式的性质是解题的关键； （1）根据题中条件，求出第二批出动的医护人员总数，再根据第二批和第八批医护人员共130名列出方程； （2）利用等式的性质解方程． 【详解】（1）因为第八批该市共出动了x名医护人员，所以第二批共出动了名医护人员． 根据题意，得． （2）将（1）中方程整理，得． 方程两边同时减去10，得． 方程两边同时除以4，得． 4．（24-25六年级上·上海静安·期末）解方程 (1)在括号内填入方程中变形的依据： 解方程： 解：两边同时乘以，得 去括号，得（   ） 移项，得（   ） 合并同类项，得 方程两边都除以，得（   ） (2) 【答案】(1)乘法分配律，等式的性质，等式的性质 (2) 【分析】（）根据解方程的步骤填上相应的变形依据即可； （）按照解一元一次方程的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：两边同时乘以，得 去括号，得（乘法分配律） 移项，得（等式的性质） 合并同类项，得 方程两边都除以，得（等式的性质） 故答案为：乘法分配律，等式的性质，等式的性质； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 5．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 【答案】(1)=；2；=；=；3； (2)我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据天平左右两边相等即可得到答案． （2）通过观察发现，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【详解】（1）解：∵天平平衡时，天平左右两边的质量相等， ∴，，， 填写如下： （2）解：我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 6．（24-25六年级上·上海松江·期中）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明： 解：设 ∵，∴， 等式两边同时乘以10得，即， ∴，∴，即，解得． 因此． 请模仿该例，将写成分数的形式． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等式的性质，设，则，即，再得到，求解即可，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设 ∵， ∴， 等式两边同时乘以得，即， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 7．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）（学习情境·过程纠错）解答下列各题． (1)下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：_____，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 方程两边同除以2，得．…第五步 填空： ①以上求解步骤中，第一步进行的是_____，这一步的依据是_____； ②以上求解步骤中，第_____步开始出现错误，错误的原因是_____； ③该方程正确的解为_____； ④除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． (2)解方程：． 【答案】(1)①去分母，等式的基本性质2；②三，移项时没有变号；③；④去分母时不要漏乘不含分母的项．（建议不唯一） (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的上下已有的过程，逐个解答即可． （2）先整理原式为，再去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，结合题干已有的过程， ①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2； 故答案为：去分母，等式的基本性质2； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，错误的原因是移项时没有变号； 故答案为：三，移项时没有变号， ③该方程正确的解为； 故答案为： ④提一条建议：去分母时不要漏乘不含分母的项．（建议不唯一）； （2）解：依题意，整理方程，得， 去分母，得3， 去括号，得3， 移项、合并同类项，得， 方程两边同除以5，得． 【经典例题二 一元一次方程的含参问题】 8．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解的倒数代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解互为倒数， 则是方程的解， ， 解得：． 9．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时，对应的整式的值． x 0 1 0 (1)求a，b的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过观察，找到合适的对应值代入求解并掌握解一元一次方程的步骤是关键． （1）观察表格数据，利用时，整式值为可以求出b的值，然后再利用时，整式值为0，代入b的值求得a的值，代入求解即可； （2）代入数据，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴为， 解得． 10．（24-25六年级上·上海青浦·期末）若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 【答案】(1)方程是方程的“滑行方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解“滑行方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两方程的解，然后根据“滑行方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据“滑行方程”的定义确定关于的方程的解，然后代入求a即可． 【详解】（1）解：方程是方程的“滑行方程”， 理由如下： 解方程得：； 解方程得：； ∵， ∴方程是方程的“滑行方程”． （2）解：解方程得：， ∵关于的方程是方程的“滑行方程”， ∴关于的方程的解为， ∴，解得：． 11．（24-25六年级上·上海宝山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 12．（24-25六年级上·上海奉贤·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次的方法和绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先解绝对值方程，得出或，再把或，分别代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 若，解得， 若，解得， ∴原方程的解是或． （2）解：由，得． 若，解得； 若，解得， ∴的解是或． 当时，方程化为， 解得：； 当时，化为， 解得：， ∴的值是2或． 13．（24-25六年级上·上海宝山·期末）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程与方程的解都为，所以它们为同解方程． (1)若方程与关于x的方程 是同解方程，求k的值． (2)若关于x的方程与是同解方程，求a的值． (3)若关于x的两个方程与是同解方程，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同解方程，整体代入的数学思想，解决本题的关键是理解题意进行准确计算． （1）根据方程与 是同解方程，即可求出k的值； （2）根据方程与是同解方程，用含a的式子表示x，即可求a的值； （3）根据方程与是同解方程，利用整体思想将得出的，代入化简后的式子即可求值． 【详解】（1）解：解方程，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：由方程，得， 解方程，得， 由题意，得， 解得； （3）解：由，得， 解，得， 由题意，得， 整理，得：， ， 因为， 所以， 所以， 所以． 14．（24-25六年级上·上海静安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 【经典例题三 一元一次方程的规律问题】 15．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）将正整数1至2018按一定规律排列如图： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和是2013，请求出这三个数． 【答案】三个数为670，671，672 【分析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，根据三个数的和=2013，列出方程解方程即可． 【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，根据题意得： （x﹣1）+x+（x+1）=2013， 解得：x=671， 答：这三个数为670，671，672． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系式，列出方程，是解题的关键． 16．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）现有一列按某种规律排列的方程： 方程1：，方程2：，方程3：…… 并且方程1的解是，方程2的解是，…… (1)求方程3的解； (2)写出这列方程中： ①解是的方程； ②第n个方程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察方程，得到规律，即可得到方程3的解； （2）①根据方程的规律，即可写出解是的方程； ②根据方程的规律，即可写出第n个方程． 【详解】（1）观察： 方程1：， 方程2：， 方程3： ∴方程的解的规律为：． ∴的解为． （2）①由上述方程，得出规律：方程：， ∴当时， 解得 ∴方程为： ∴方程为：． ②由上述可知：第个方程为：． 【点睛】本题考查整式加减的探究规律，解题的关键是得到整数的规律，根据规律解题． 17．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解即可； （2）根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点初始时在数字处， 点A的移动速度为， 秒时的数字为， 秒时的数字为， 点B的移动速度为， 点向左移动，秒时数字为， 秒时数字为， 秒时的数字为， （2）点A的移动速度为，点B的移动速度为， 当运动时间为时，点A表示的数为，点B表示的数为， 所以之间的距离为． 18．（24-25六年级上·上海崇明·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键． （1）设，两边同乘以10，得到，求出的值； （2）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案； （3）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 故答案为； （2）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成， 即， 故答案为：； （3）解：设， 两边同乘以100得，，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 则． 19．（24-25六年级上·上海虹口·期中）有机物是生命产生的物质基础，主要由碳、氢元素组成，烷烃是最基本的有机物，如图是烷烃前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种：如图1，有1个碳原子，4个氢原子；第2种：如图2，有2个碳原子，6个氢原子；第3种：如图3，有3个碳原子，8个氢原子；第4种：如图4，有4个碳原子，10个氢原子；…… (1)按照这一规律，图中氢原子的个数为_______________（用含的代数式表示）； (2)按照这一规律，烷烃中是否存在某种化合物的分子结构模型图中有2035个氢原子？请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解，即可得到结论． 【详解】（1）解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， 第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为： ， ， ∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个； （2）解：不存在，理由如下： 令， 解得：， ∵为正整数， ∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2035个氢原子． 20．（2025六年级上·上海·专题练习）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）； （2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 21．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】 如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且． （2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【答案】； ；；；； 秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点距离，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是利用数形结合的思想考虑问题． 根据阅读材料中的数轴上两点之间的距离公式进行计算即可； 根据是最大的负整数可知，根据平方的非负性和绝对值的非负性可得：，，根据可得； 用含的代数式表示出运动秒后点到达的位置是，点到达的位置是，根据数轴上两点之间的距离公式可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 线段的长为； 是最大的负整数， ， ､满足， ， 解得：，， ， 又， ； 故答案为：；；；； 解：秒后点到达的位置是，点到达的位置是， 当､两点之间的距离为个单位长度时， 可得：， 整理得：， 解得：或， 答：当运动秒或秒时､两点之间的距离为个单位长度 【经典例题四 一元一次方程的新定义问题】 22．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“美好方程”，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可． 【详解】（1）解方程得， 解方程得， 因为， 所以这两个方程是“美好方程”； （2）解方程得， 根据题意，方程的解为：， 所以， 解得． 23．（24-25六年级上·上海松江·期末）用“”定义一种新运算，观察下列式子： (1)计算：； (2)试猜想：_______；（用含a、b的代数式表示） (3)若，求x的值． 【答案】(1)； (2) (3)． 【分析】（1）原式根据已知的新定义计算即可求出值； （2）原式利用已知的新定义即可猜想出结果； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：猜想：； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 解得，． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（24-25六年级上·上海青浦·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，．    (1)计算的值； (2)若，在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求的值： (4)对于任意有理数，，请你定义一种新运算“★”，使得★，直接写出你定义的运算★______（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）原式利用题中的新定义化简； （4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式； （2）由，在数轴上位置，可得，， 则◎； （3）※◎， ， 解得：； （4）★， ★， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)下列两位数：20，29，77中，“相异数”为___________，计算：___________； (2)若一个“相异数”x的个位数字为a，十位数字为b，则___________（用含a、b的最简代数式来表示）；并回答下列问题： ①若a比b大2，且，求x的值； ②小慧同学发现若，则的值一定为5，请判断小慧发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 【答案】(1)29，7； (2)；①24；②正确，理由见解析 【分析】（1）根据“相异数”的定义，即可求解； （2）①根据“相异数”的定义，由，列方程求出“相异数”的十位数字和个位数字，进而确定x；②设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论． 【详解】（1）解：20的个位数为0，不是“相异数”； 77的个位数与十位数数字相同，不是“相异数”； 29是“相异数”， ， 故答案为：29，7； （2）解：∵； 故答案为： ①∵a比b大2，且， ∴， 解得， ∴x的值为24 ②正确，理由如下∶ 设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则， ∵， ∴， ∴， 因此判断正确． 【点睛】本题主要考查相异数，一元一次方程的应用，掌握相异数的定义及的求法是解题的关键． 26．（24-25六年级上·上海崇明·期末）定义：对于一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，用和除以11所得的商记为． 如个位数字与十位数字对调后的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13＋31＝44，和44除以11的商为44÷11＝4，所以． （1）计算： ； （2）若一个“相异数”的十位数字是，个位数字是，且，求相异数； （3）小慧同学发现若，则“相异数”的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 【答案】（1）7；（2）46；（3）正确；理由见解析 【分析】（1）根据“相异数”的定义进行计算即可； （2）根据“相异数”的定义，由S（y）=10，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y； （3）设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由S（x）=5，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论． 【详解】解：（1）（43＋34）÷11＝7； （2）由“相异数”的十位数字是，个位数字是，且得， ， 解得，，相异数是46； （3）正确；理由如下： 设“相异数”的十位数字为，个位数字为，则， 由得，， 即：，因此，判断正确． 【点睛】考查一元一次方程的应用，理解“相异数”的意义是正确解答的关键． 27．（24-25六年级上·上海静安·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 28．（25-26六年级上·上海嘉定·课后作业）用方程解答下列问题： (1)的倍与的和等于的倍与的差，求； (2)与的积等于与的和，求； (3)与的和的倍等于与的差的倍，求； (4)的倍与的和的等于与的差的，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，列方程． （1）根据题意列方程，解方程即可； （2）根据题意列方程，解方程即可； （3）根据题意列方程，解方程即可； （4）根据题意列方程，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：， 移项，合并同类项得，， 解得， （2）解：根据题意得：， 移项，合并同类项得，， 解得， （3）解：根据题意得：， 整理得， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得， （4）解：根据题意得： 整理得，， 移项，合并同类项得，， 解得， 【经典例题五 一元一次方程解的计算压轴题】 29．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）计算： (1)①；     ②． (2)小明在做解方程．作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是． ①小明猜想“■”部分是2．请你算一算的值； ②小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？ 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）①根据乘法分配律进行计算即可； ②根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）①代入，解方程即可； ②设被污染的常数为y，求出方程的解，代入，解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：①由题意得：， 解得：； ②设被污染的常数为y， 解方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 将代入污染的方程得， 解得：， ∴被污染的常数应是． 30．（24-25六年级上·上海嘉定·课后作业）下面方程去分母对不对？若不对，请指出错误并改正． (1)将方程去分母，得； (2)将方程去分母，得； (3)将方程去分母，得． 【答案】(1)错，两边同乘4，右边应为0，即得 (2)错，两边同乘6时，左边的1漏乘6，应为 (3)错，两边同乘6时，分数前是“”，去分母后原来的分子要用括号括起来，应为 【分析】本题考查解一元一次方程（去分母），解题的关键是熟练掌握等式的基本性质，方程左右两边同时乘以各分母的最小公倍数，去分母即可． （1）方程两边同乘4计算即可； （2）方程两边同乘6计算即可； （3）方程两边同乘6计算即可． 【详解】（1）错，2和4的最小公倍数为4，两边同乘4，右边应为0，即得． （2）错，3和6的最小公倍数为6，两边同乘6时，左边的1漏乘6，应为． （3）错，2，3和6的最小公倍数为6，两边同乘6时，分数前是“”，去分母后原来的分子要用括号括起来，应为． 31．（24-25六年级上·上海闵行·期中）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值； （2）①当，在数轴上的位置如图所示时，化简； ②当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． （3）已知，求的值． 【答案】（1）6；（2）①；②不一定，举例见解析；（3）或 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）①根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；②当时，不一定有或者，举例即可； （3）分类讨论的正负，利用新定义将已知等式化简，即可求出的值． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）①从，在数轴上的位置可得，， ； ②由得：， 不一定有或者， 例如：取，，，则， 此时等式成立，但且； （3）当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 32．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，； (1)_________，_________； (2)若，的值为_____________； (3)，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）按新定义计算即可求解； （2）由得，，并将此代入可得，从而可得，再由，求出，分类讨论．①当时，②当时，即可求解； （3）将代入得，整理得，由，可得，将代入 整理得，只有当时，才成立，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 因为是整数部分， 所以： ①当时， 可求得， 则； ②当时， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或； （3）解：因为， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 所以， 所以 整理得：， 所以范围内， 只有当时， 才成立， 所以解得：； 故的值为． 【点睛】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方程及求出是解题的关键． 33．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 【答案】(1) (2)3或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴； （2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或． 34．（24-25六年级上·上海静安·期末）春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 【答案】(1)甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元 (2)甲种商品打了七五折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元，由“甲种商品的件数甲种商品的单价乙种商品的件数乙种商品的单价总金额”建立方程，再求解即可． （2）设甲种商品打了y折，根据“售出6件商品获得的利润与售出12件商品获得的利润相同”建立方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元， 由题意可得，， 解得， ∴元， ∴甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元． （2）∵甲种商品的进价80元，甲种商品按标价出售，则每件可获利40元， ∴甲种商品在标价元 设甲种商品打了y折， 由题意可得，， 解得， ∴甲种商品打了七五折出售． 35．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质1；① (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 【经典例题六 一元一次方程解的拓展问题】 36．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）【新模拟预测  解题方法型阅读理解题】阅读下列材料： 将化为分数的形式： 设                              ① 则                        ② 所以，所以         ③ 所以，解得            ④ 解答下列问题： (1)步骤①到②的依据是______________ (2)请仿照上述方法将化为分数形式． 【答案】(1)等式的性质二 (2) 【分析】本题考查了等式的性质、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． （1）根据等式的性质二：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，由此即可得； （2）设，则，从而可得，解方程即可得． 【详解】（1）解：步骤①到②：等式的两边同乘以10，其依据是等式的性质二， 故答案为：等式的性质二． （2）解：设， 则， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以． 37．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）在活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆上的点处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，质量为，右端处挂有3个钩码，每个钩码质量是．已知，若使轻质木杆水平位置平衡，则动力臂的长是多少？（温馨提示：动力动力臂阻力阻力臂） 【答案】动力臂的长为 【分析】设的长为，则的长为，根据杠杆平衡条件，构建一元一次方程，解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为，则的长为． 根据题意，得， 整理，得， 解得， 即． 答：动力臂的长为． 38．（24-25六年级上·上海松江·期末）定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：5． （2）解：将写成的形式， 将写成的形式， ∵与方程互为“反对方程”， ∴， ∴， ； （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 由，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， ∴c的值为． 39．（24-25六年级上·上海松江·期中）观察下面三行数： 第一行：，4，，16，，64，…… 第二行：，2，，8，，32，…… 第三行：0，6，，18，，66，…… (1)第一行的第8个数是 ，第三行的第8个数是 ； (2)若设第一行的第n个数是x，则第二行的第n个数是 ，第三行的第n个数是 （用含x的式子表示） (3)取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于322？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)，； (3)这三个数的和不能等于，理由见解析 【分析】本题考查了规律型数字的变化类，一元一次方程的应用，解决本题的关键是观察每一行数寻找规律． （1）分别找出第一行及第三行数的规律，再求出第一行的第8个数及第三行的第8个数； （2）观察每一行数的规律即可写出每一行的第n个数； （3）利用已知规律得出三行数据的规律进而得出方程求出即可． 【详解】（1）根据第一行数的规律知，第n个数为， ∴第一行的第8个数是， 根据第三行数的规律知，第n个数为， ∴第三行的第8个数是， 故答案为： （2）观察可得：若设第一行的第n个数是x，则第二行的第n个数是，第三行的第n个数是， 故答案为：，； （3）依题意得： ， 解得：， 即， 此方程无解， 故这三个数的和不能等于． 40．（2025·上海奉贤·模拟预测）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意计算出的结果即可得到答案；②根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）设这个数为x，由题意得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：设这个数为x， 由题意得， ， ， 解得， 即符合条件的数为． 41．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读下列材料： 【问题探究】 小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如将转化为分数：设①，则②， 由得：，即． 所以． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）根据上述提供的方法把化成分数为____________； （2）根据上述提供的方法，写出把化成分数的过程； 【问题拓展】 （3）小丽在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：．请把混循环小数化为分数． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数，一元一次方程解实际问题的应用．熟练掌握建立方程，是解答的关键． （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）根据阅读材料设，方程两边都乘以100，转化为，求出其解即可． （3）先把转化为，然后再转化为分数即可． 【详解】解：（1）设， 则， 即， 解得， 故答案为：； （2）设， 则， 即， 解得． 故答案为：； （3）设， 则， 即， ， ． 42．（24-25六年级上·上海静安·期末）虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） (1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） (2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； (3)小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 【答案】(1)① 20；② 不会 (2)长方体木块高度为 (3)①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等；②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准数量关系列方程是解题的关键． （1）①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是，然后用下降的水的体积除以乙容器的底面积计算即可解题；②计算出甲、乙容器虹吸结束后的水面高度即可解题； （2）设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的，根据题意列方程解题求出的值，然后根据求出即可； （3）根据探究过程中发现，写两条等量关系即可． 【详解】（1）解：①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是， ∴乙容器内水位上升的高度为， 故答案为：20； ②乙容器内的水不会溢出，理由为： 当乙容器内的水满时，甲容器水位下降为， 这时甲容器中水位离桌面距离为， ∴当时，乙容器内的水不会溢出． （2）解：设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的， ∴， 解得：， ∴长方体木块高度． （3）解：根据探究过程发现： ①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等； ②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度． 【经典例题七 一元一次方程的综合应用】 43．（2025六年级上·上海嘉定·专题练习）新情境在课间活动中，小英和小丽在操场上画出A，两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在区域所得分值不同．当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示．沙包每次落在A，两个区域的分值各是多少？ 【答案】沙包每次落在A区域所得分值为8分，区域所得分值为6分 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设每次落在A区域所得分值为分，则每次落在区域所得分值为分，根据小丽得分列方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设每次落在A区域所得分值为分，则每次落在区域所得分值为分． 由题意，得， 解得， 则． 答：沙包每次落在A区域所得分值为8分，区域所得分值为6分． 44．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如表： A型 B型 C型 满368优惠100 满168优惠68 满50优惠20 此次活动中，小尚和小东分别领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小尚最终使用了三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了________张B型“优惠券”． (2)若小东最终使用了5张A型、B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A型、B型“优惠券”各几张？ 【答案】(1)5 (2)小东使用了2张A型“优惠券”，3张B型“优惠券”． 【分析】本题主要考查了列方程解应用题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设小尚使用了x张B型“优惠券”，根据小尚使用的“优惠券”共优惠了520元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小东使用了y张A型“优惠券”，则使用了张B型“优惠券”，根据小东使用的“优惠券”共优惠了404元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即使用A型“优惠券”的张数），再将其代入中，即可求出使用B型“优惠券”的张数． 【详解】（1）解：设小尚使用了x张B型“优惠券”， 根据题意得：， 解得：， ∴小尚使用了5张B型“优惠券”． 故答案为：5； （2）解：设小东使用了y张A型“优惠券”，则使用了张B型“优惠券”， 根据题意得：， 解得：， ∴（张）． 答：小东使用了2张A型“优惠券”，3张B型“优惠券”． 45．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？ (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)60秒后两人首次相遇 (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 答：60秒后两人首次相遇． （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距； 46．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）为了提高某品牌家电的销售量，某店从11月份开始对销售员采取新奖励办法．已知该店在新奖励办法出台前一个月售出这种家电的A型和B型共200台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的家电共246台，其中A型和B型家电的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电多少台？ (2)若A型家电每台售价为3000元，B型家电每台售价为5000元．新奖励办法是：每销售一台A型家电按每台A型家电售价的给予奖励，每销售一台B型家电按每台B型家电售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型家电的销售量比出台后的第一个月增加了，而B型家电受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该店共发出奖励金额元，求a的值． 【答案】(1)在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电150台和96台 (2)a的值为6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目条件找准等量关系式列出方程是解题的关键． （1）设该店在新奖励办法出台前一个月共售出这种家电的A型有x台，B型有台， 根据题意列出方程计算即可； （2）根据题意得到销售型家电的奖励金额销售型家电的奖励金额，即可得解． 【详解】（1）设该店在新奖励办法出台前一个月共售出这种家电的A型有x台，B型有台， 由题意可得：， 解得：， ，（台）． 答：在新奖励办法出台后第一个月里，该店分别销售了A型和B型家电150台和96台． （2）由题意可得：， 解得：， 故a的值为6． 47．（24-25六年级上·上海松江·期中）如图，已知数轴上有A、B、C三点，B、C两点在数轴上表示的数分别为4和6，点A在数轴上表示的数为a，且点A、C到原点O的距离相等．我们将A、B两点间的距离记为． (1) ； (2)若点P从原点O出发，沿数轴向左匀速运动，当时，求此时点P 在数轴上对应的数； (3)若动点M从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点C运动，同时点 N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点A 运动，设点M在数轴上表示的数为m，点N在数轴上表示的数为n，运动的时间为t秒，当 时，求t和m、n的值． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，，；当时，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）因为点A、C到原点O的距离相等，所以，即得a的值； （2）分两种情况讨论； （3）由题意得，，，已知，可得，解得t的值，可得m、n的值． 【详解】（1）解：∵C点在数轴上表示的数为6，且点A、C到原点O的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设点P在数轴上对应的数为x， ①点P在线段上时， ， 解得：， ②点P在线段延长线上时， ， 解得：， 综上，点P在数轴上对应的数为或； （3）解：由题意得，，， ∵， ∴， 解得：或， ∴当时，，； 当时，，． 48．（24-25六年级上·上海青浦·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【答案】(1)12（天） (2)5天 (3)31500元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出乙公司单独完成此工程所需时间，再利用甲，乙公司同时获批合作完成所需时间甲，乙两公司的工作效率之和，即可求出结论； （2）乙公司还需要天可以完成此工程，利用甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量＝工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由甲，乙两家公司每天的雇佣费用间的关系，可求出甲，乙两家公司每天的雇佣费用，再利用完成此工程的总费用=甲公司每天的雇佣费用乙公司每天的雇佣费用，即可求出结论． 【详解】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天， 根据题意得：， 解得：， （天）， （天）， 答：如果甲，乙公司同时获批合作完成，需要12天完成； （2）乙公司还需要天可以完成此工程， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司还需要5天可以完成此工程； （3）乙公司每天的雇佣费用为（元）， 甲公司每天的雇佣费用为（元） （元） 答：完成此工程的总费用为31500元． 【经典例题八 一元一次方程与数轴有关问题】 49．（24-25六年级上·上海普陀·期末）【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 【答案】（1）14；（2）；（3）12． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 故答案为：14； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由题意得，， 解得：或（舍）． 50．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）已知数轴上的点对应的数分别为，且是数轴上的动点． (1) ， ，两点间的距离为 ； (2)若点到点和点的距离相等，请直接写出此时点所对应的数． 【答案】(1) (2)点对应的数是 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离求法、非负数和为零的条件等知识，读懂题意，熟记结合非负数和为零的条件、数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键． （1）由绝对值与平方的非负性，结合非负数和为零的条件得到，求解得到的值，再由数轴上两点之间距离的求法求解即可得到答案； （2）设点表示的数为，由点到点和点的距离相等，结合数轴上两点之间距离的求法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，， ， 则两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， ∵点到点和点的距离相等， ， ， ， 解得， 答：点对应的数是． 51．（24-25六年级上·上海·阶段练习）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用两点之间的距离公式求出值即可； （2）利用两点之间的距离公式列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点为数轴原点，点表示的数为，点表示的数为， ∴；； 故答案为：，； （2）∵点表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， 解得：或， 即：的值为或． 52．（24-25六年级上·上海静安·期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，根据题意得出两点之间的距离是解题的关键． （1）先求出再根据长方形面积公式计算即可； （2）设点表示的数为，得出，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵两个长方形完全一样， ∴两个长方形的长和宽分别是， ∴长方形的面积为：； （2）解：设点表示的数为， ，， ∵， ∴， ∴ ∴点表示的数为 53．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为 (2)的值为1或5 (3)同时与对应的点重合的点对应的数 【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可； （3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴点对应的数为2， ， ∴点表示的数为； （2）当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得． 综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5； （3）设线段的中点为，点所对应的数为， ∵对折数轴，使数轴上的点与点重合， ∴， ∴， 解得：， 设点所表示的数为，与表示的点重合， ∴点是线段的中点， ∴， ∴， 解得：． 答：同时与对应的点重合的点对应的数． 54．（24-25六年级上·上海金山·期末）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为x秒． (1)当时，点P到点A的距离 ；此时点P所表示的数为 ； (2)当点P运动到B点时，点Q同时从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后也停止运动，则点Q出发5秒时与P点之间的距离 ； (3)在（2）的条件下，当点Q到达C点之前，请求出点Q移动几秒时恰好与点P之间的距离为2个单位？ 【答案】(1)8， (2) (3)或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数； （2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发5秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长； （3）当点的移动时间为x秒时，分别表示出点表示的数和点表示的数，根据，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动， 当移动时间为8秒时，； 又∵点表示有理数， 当移动时间为8秒时，点表示的数为． 故答案为：8，； （2）当点出发5秒时，点表示的数为， 点表示的数为， 此时． 故答案为：； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即：， 解得：或， 故答案为：或． 即点Q移动或秒时恰好与点P之间的距离为2个单位. 55．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知是数轴上三点，点O为原点，点C在数轴上表示的数为8，点B到点C的距离为5，点A到点B的距离为13，且点A位于数轴的负半轴上，点B在点C的左侧． (1)数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为_______； (2)动点分别从同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒． ①当两点到原点的距离相等时，求出t的值； ②点M到点A的距离等于点M到点P的距离，点C到点N的距离等于点C到点Q距离的，且点N在点C和点Q之间．当三个点中的其中一个点到另两点距离相等的时候，求出t的值． 【答案】(1) (2)①9或；②2或或23 【分析】（1）根据点C表示的数为8，，，结合点A位于数轴的负半轴上，点B在点C的左侧，列式计算，即可作答； （2）①因为P、Q两点到原点的距离相等，所以列式，然后化简计算，即可作答； ②结合点M为的中点，点N在线段上，且．所以在数轴上点M表示的数为，点N表示的数为，进行分类讨论，分别是当是的中点；当M是的中点；当N是的中点，逐个情况进行列式，化简计算即可作答． 【详解】（1）解：∵点C表示的数为8，，，点A位于数轴的负半轴上，点B在点C的左侧， ∴点B表示的数为：， 点A表示的数为：； （2）解：①∵动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q两点到原点的距离相等， ∴， 则， ∴或， 则或， t的值为9或； ②∵点M到点A的距离等于点M到点P的距离， ∴， 即点M表示的数为； ∵，， ∴， ∵点N在线段上， ∴点N表示的数为， 当是的中点时， 即， ∴ 解得； 当M是的中点时， 即 ∴ 解得； 当N是的中点时， 即 ∴ 解得； 综上：满足题意的的值为或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，列代数式表达式，数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 56．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 【答案】（1）12；6；（2）；（3）5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意找到题目中的等量关系． （1）由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为6个单位长度，再求出点处的数字即可； （2）设的长为，根据点的位置也通过“隧道”列出关于的方程，据此求解即可得； （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，分在的左侧和在的右侧两种情况，分别利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）根据题意画出图形如图1所示． 由数轴观察，知三个玩具火车的长为， 所以一个玩具火车的长为． 所以点处的数字是12． 故答案为：12；6． （2）如图2． 根据题意，得， 设的长为， 所以，整理，得， 故答案为． （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位， 因为原点与点重合，点表示的数为12， 所以点移动后所对应的点为，点移动后所对应的点为， 由题意，知或， 解得或， 所以5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $