专题01 解一元一次方程的八种应用（专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题01 解一元一次方程的八种应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解方程在一元一次方程定义中的应用 1 题型二、解方程在一元一次方程的解中的应用 3 题型三、解方程在错解问题中的应用 4 题型四、解方程在新定义问题中的应用 6 题型五、解方程在含括号的方程中的应用 8 题型六、解方程在含分母的方程中的应用 10 题型七、解方程在含字母参数的方程中的应用 13 题型八、解方程在含绝对值问题中的应用 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解方程在一元一次方程定义中的应用 1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， ， 代入得，， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【详解】解：由题意可知，， 解得：， 故答案为：1． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）得， ∴方程为， 整理得， 解得． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴方程为， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，，， ∴原式 ． 题型二、解方程在一元一次方程的解中的应用 8．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 解得：， A、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； B、，不存在，与的解不相同，故本选项不符合题意； C、，解得：，与的解不相同，故本选项不符合题意； D、，解得：，与的解相同，故本选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【详解】解：由得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 解得． 11．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 题型三、解方程在错解问题中的应用 12．（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：，即， 解得， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 题型四、解方程在新定义问题中的应用 14．（2024六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数，我们规定，如．如果，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，变形得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 15．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 16.（2023上海普陀区期中）解关于的方程，我们也可以这样来解：，因为，所以方程的解为． 请按这种方法解下列方程： (1) (2)． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 17．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式． 题型五、解方程在含括号的方程中的应用 18．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 19．（24-25六年级上·上海·期末）解方程： 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得： 解得：． 20．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 21．解方程． 【答案】 【详解】解：， 提公因式：得 去括号： 合并同类项，得 系数化为1，得． 22．解方程： 【详解】解：， 去括号，， 去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为1，； 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：． 【答案】 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 题型六、解方程在含分母的方程中的应用 24．（22-23六年级下·上海黄浦·期末）解方程：． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 25．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程： 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 26．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 27．（24-25六年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 28．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【详解】解： 去括号， 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 29．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【详解】解：， ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 30．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【详解】解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 31．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： 【详解】解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 32．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】 【详解】解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 33．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项， 解得． 题型七、解方程在含字母参数的方程中的应用 34．（24-25六年级上·上海·阶段练习）当 时，关于的方程有无数多个解． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 ∵方程有无数多个解， ∴ ∴， 故答案为：． 35．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：． 【详解】解：当时，：， ； 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 当即时，； 当即时，方程无解． 36．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解为偶数，求符合条件的所有正整数的值． 【详解】解：方程去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵方程的解为偶数，为正整数， ∴或， ∴或1或． 题型八、解方程在含绝对值问题中的应用 37．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 38．（23-24六年级下·上海·期末）如果，则 ． 【答案】4或 【详解】解：∵， ∴； ∴或 ∴或． 故答案为：4或． 39.（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解满足方程，则 ． 【答案】或 【详解】解： 解得：或， 当时，代入方程， 得， 解得， 当时，代入方程， 得， 解得： 综上所述，或． 故答案为：或． 40．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】或 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 41．（23-24六年级下·上海普陀·期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ； (2)如果，那么点P表示的数是 ，a的值是 ； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 【详解】（1）解：如果点P表示数1,那么点P关于2的对称数组是, 故答案为：． （2）解：∵表示与点P相距a个单位长度的两个点分别是2和4048,那么点P是这两个数表示点构成线段的中点, ∴点P表示的数是：；, 解得, 故答案为：2025；2023． （3）设点P表示的数为p,点Q表示的数为q, ∵,,P、Q两点同时从原点出发反向运动, ∴，, ∵, ∴,即 ①当时, 故, 解得可得：； ②当时, 故, 解得：． 综上所述：点P、Q之间的距离是或10． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中与的解相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由方程得：， A、把代入方程得：，左边右边，故本选项正确； B、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误； C、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误； D、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误． 故选：A． 2．（2025·四川·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 二、填空题 3．（2025·上海·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 4．（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程去括号得 ． 【答案】 【详解】解：方程， 去括号得， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）用分数表示循环小数： ． 【答案】 【详解】解：设①，两边乘100得②， ，得 ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 【答案】0 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 三、解答题 9．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以的最小公倍数），得：， ， 解得：． 10．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1) (2)． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：. （2）解：，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 12．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 13．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 15．（24-25六年级上·上海·期中）解方程 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解一元一次方程的八种应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解方程在一元一次方程定义中的应用 1 题型二、解方程在一元一次方程的解中的应用 2 题型三、解方程在错解问题中的应用 2 题型四、解方程在新定义问题中的应用 3 题型五、解方程在含括号的方程中的应用 4 题型六、解方程在含分母的方程中的应用 5 题型七、解方程在含字母参数的方程中的应用 7 题型八、解方程在含绝对值问题中的应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解方程在一元一次方程定义中的应用 1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）若方程是一元一次方程，则的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知关于方程是一元一次方程，那么 ． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 6．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 题型二、解方程在一元一次方程的解中的应用 8．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中与解相同的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25六年级上·上海崇明·期末）已知关于的方程与有相同的解，则 ． 10．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程与的解相同，求的值． 11．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 题型三、解方程在错解问题中的应用 12．（24-25六年级上·上海·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 13．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 题型四、解方程在新定义问题中的应用 14．（2024六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数，我们规定，如．如果，那么的值是 ． 15．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 16.（2023上海普陀区期中）解关于的方程，我们也可以这样来解：，因为，所以方程的解为． 请按这种方法解下列方程： (1) (2)． 17．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 题型五、解方程在含括号的方程中的应用 18．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 19．（24-25六年级上·上海·期末）解方程： 20．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 21．解方程． 22．解方程： 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：． 题型六、解方程在含分母的方程中的应用 24．（22-23六年级下·上海黄浦·期末）解方程：． 25．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）解方程： 26．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程：． 27．（24-25六年级上·上海青浦·期末）解方程：． 28．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 29．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 30．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 31．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： 32．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： 33．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 题型七、解方程在含字母参数的方程中的应用 34．（24-25六年级上·上海·阶段练习）当 时，关于的方程有无数多个解． 35．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：． 36．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解为偶数，求符合条件的所有正整数的值． 题型八、解方程在含绝对值问题中的应用 37．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知，那么 ． 38．（23-24六年级下·上海·期末）如果，则 ． 39.（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程的解满足方程，则 ． 40．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 41．（23-24六年级下·上海普陀·期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ； (2)如果，那么点P表示的数是 ，a的值是 ； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中与的解相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 二、填空题 3．（2025·上海·模拟预测）已知，则 ． 4．（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 5．（24-25六年级上·上海·阶段练习）方程去括号得 ． 6．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）用分数表示循环小数： ． 7．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则 ． 三、解答题 9．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： 10．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1) (2)． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 13．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 14．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 15．（24-25六年级上·上海·期中）解方程 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $