专题07 一元二次方程章末54道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题07 一元二次方程章末54道压轴题型专训（6大题型） 题型一 根据一元二次方程根的情况求参数 题型二 一元二次方程的判别式压轴题型 题型三 一元二次方程根与系数的关系压轴 题型四 动态几何问题 题型五 与图形有关的问题 题型六 一元二次方程的新定义问题 【经典例题一 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于等于，解不等式即可求解； （2）把代入，得到关于x的方程，解关于x的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得； （2）解：当时，， 或 解得，． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求c的取值范围； (2)选择一个你喜欢的c值代入，并求此时方程的解． 【答案】(1) (2)时，，(答案不唯一) 【分析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题关键是熟练运用根的判别式进行计算和判断，会用因式分解法解一元二次方程． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）把代入，可得原方程为，解出方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， 即， 解得：． 3．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若是一元二次方程的根，直接写出该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)该方程的另一个根是 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）是一元二次方程的根， ， ， 原方程为， 解得，， 该方程的另一个根是． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期末）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． (1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ (2)先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，一元二次方程根的判别式，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据判别式可得，且，再画树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到满足，且的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个小球，每个小球被摸出的概率相同，且数字是奇数的小球有2个， ∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是奇数的概率为； （2）解：∵a，b能使有两个实数根成立， ∴， ∴，且， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中满足，且的结果数有3种， ∴a，b能使有两个实数根成立的概率为． 5．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？ (2)若是“三倍根方程”，求n的值． 【答案】(1)方程是“三倍根方程” (2)或9 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴方程是“三倍根方程”； （2）∵， ∴， 解得，， ∵是“三倍根方程”， ∴或， 即或， ∴或9． 6．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 【答案】(1) (2)，， (3)当时， 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判别根的情况是关键． （1）根据题意列式得到，代入求值即可； （2）根据方程有实数根得到，再根据为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案； （3）利用因式分解法解得到的方程即可． 【详解】（1）解：依题意得： 整理得： ∴ ∴ （2）∵方程有实数根 ∴ 整理得： 解得： ∵取正整数值 ∴，，， 又∵ ∴ ∴满足条件的的正整数值为：，， （3）当时， 原方程可化为： ∴，即 解得： 7．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根、， (1)求的取值范围； (2)当时，设，试用含的代数式表示出； (3)在（2）的条件下，若，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）把方程变形成一般形式，再根据有两个不等实数根列出不等式，即可求出的范围； （2）由一元二次方程写出，，再代入即可得答案； （3）列出方程，解方程并检验即可得答案． 【详解】（1）解：将变形得：， 有两个不等实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是； （2）解：、是的两个实数根， ，， ； （3）解：由题意，得：， 化简得：， 解得或， 经检验，或是方程的解， 且， ． 8．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可； （4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． （4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 9．（24-25八年级上·上海虹口·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务 1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务 2：根据材料令，利用判别式解答即可 【详解】解：任务1：令， ． ． 解得：， ∴的最小值为． 任务2：由题意，令， ． ． 解得：， 又最小值为， ∴， 解得：． 【经典例题二 一元二次方程的判别式压轴题型】 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期末） 小明同学在解关于x的一元二次方程时，认定此一元二次方程无论m为何实数．方程总有两个不相等的实数根．请你帮忙判定小明的说法是否正确吗？并说明理由． 【答案】正确，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出答案． 【详解】解：正确，理由如下： ∵，，， ∴ ， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 11．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． (1)设矩形的相邻两边中一边为x，则另一边用x表示为 ； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)圆圆的说法不对，方方的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的判别式，理解题意是本题的关键． （1）直接利用矩形面积求法进而得出另一边； （2）直接利用的值结合根的判别式得出答案． 【详解】（1）∵当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3， ∴面积为， 设矩形的相邻两边中一边为x， ∴另一边用x表示为； （2）一个矩形的周长为6， ， 整理得：， ， 矩形的周长不可能是6， ∴圆圆的说法不对； 有一个矩形的周长为10， ， 整理得：， ， 矩形的周长可能是10， 所以方方的说法对． 12．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 13．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k的值； (2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析. 【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值； （2）求出根的判别式是非负数即可. 【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k+3)+3k＝0， 1﹣k﹣3+3k＝0 解得k＝1； (2)证明： △＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0， 所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键. 14．（2025·上海宝山·模拟预测）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 15．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 16．（2025·上海虹口·模拟预测）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②先运用因式分解法整理得，再根据衍生点的定义即可写出M点坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴两个根为， 根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． （2）解：①证明：∵ ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②， ∴， 解得：， ∴方程的衍生点M为； 17．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，一元二次方程根的判别式，熟练运用换元法解方程是解题的关键． （1）设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； （2）设，把方程转为，求出，再代入，求出的值； （3），将原方程化为关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； （2）解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，． （3）解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 【经典例题三 一元二次方程根与系数的关系压轴】 19．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 20．（24-25八年级上·上海长宁·期末）阅读下面的材料： ∵ 的根为，， ∴ ，；请利用这一结论解决下列问题： (1)若方程的两根为和3，求b和c的值． (2)设方程的两根为，，不解方程，求的值． 【答案】(1)，； (2)3． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系等知识点， （1）可以直接利用阅读材料的结论，其中，则b为两根之和的相反数，c为两根之积即可得解； （2）把所求式子通分，然后把两根之和、两根之积代入即可求出其值； 熟练掌握若方程的两根为，，则，的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 21．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】(1)②④ (2)①，②， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； （2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 22．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)7，1，7 (2)1 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 23．（24-25八年级上·上海宝山·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 24．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)直接写出一个“邻根方程”为________ (2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． (3)若关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求c最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）取两个相差 1 的根，然后展开即可； （2）设方程的较小的一根为，则另一根为，根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可； （3）通过设方程的两个根为和，利用韦达定理将表示为关于的二次函数，再根据二次函数性质求其最小值． 【详解】（1）解： 则方程为， 展开得：， 故答案为：； （2）解：设方程的较小的一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴， 解得或； （3）解：设方程的根为，， 则，， 将代入①得， 化简得， ，， ， ， ， 当时，取最小值为． 25．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 26．（24-25八年级上·上海松江·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系、多项式乘多项式是解决本题的关键． 问题1．利用根与系数的关系直接可得结论； 问题2．利用根的判别式和根与系数的关系得关于m的不等式，求解即可． 问题3．先把解代入方程，变形后用含m、n的代数式表述出要求的两个代数式、，再利用根与系数的关系计算得结论． 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 27．（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题四 动态几何问题】 28．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 29．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度运动，同时点从点出发沿边向点以的速度运动．点到达点后，点、停止运动．经过多少秒后，的面积是的面积的． 【答案】经过1秒后，的面积是的面积的． 【分析】由，，结合，，可得，，再利用三角形的面积公式建立方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 而，， ∴，， ∵的面积是的面积的， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴经过1秒后，的面积是的面积的． 【点睛】本题考查的是动态几何问题，一元二次方程的应用，熟练的利用三角形的面积公式建立方程是解本题的关键． 30．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？ （2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请你用两种不同的方法说明理由． 【答案】（1）小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形．（2）两个正方形的面积之和不可能等于30cm2． 【分析】(1) 利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可; (2) 利用正方形的性质表示出边长进而得出等式, 进而利用根的判别式求出即可. 【详解】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（8﹣x）cm． ∴x2+（8﹣x）2=40， 即x2﹣8x+12=0． ∴x1=2，x2=6． ∴小张应将40cm的铁丝剪成8cm和24cm两段，并将每一段围成一个正方形． （2）他的说法对． 假定两个正方形的面积之和能等于30cm2． 根据（1）中的方法，可得x2+（8﹣x）2=30． 即x2﹣8x+17=0， △=82﹣4×17＜0，方程无解． 所以两个正方形的面积之和不可能等于30cm2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用及一元二次方程根的判别式. 31．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒． (1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？ (2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？ 【答案】(1)秒或秒 (2)秒或秒 【分析】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米， 则厘米 ，厘米， 根据题意，得， 整理，得                ， 解得   ， ． 故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的， 则厘米，厘米， 根据题意，得          ， 整理，得 ， 解得    ，． 故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示： ， ， ， ， ； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)或 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可． 【详解】（1）∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，，． （2）由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴四边形的面积不能等于时． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，动点和几何的综合，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，动点的运动轨迹，三角形的性质． 33．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 34．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 【答案】(1) (2)过2秒或12秒 【分析】（1）根据点P的速度是，点Q的速度是，，，利用面积公式求解； （2）设经过秒的面积是面积的一半，则，， 进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用． 【详解】（1）解： 点P的速度是，点Q的速度是， 当时，，， ∵，， ∴，， ． （2）解：设经过秒的面积是面积的一半， 根据题意得：， 当 时如图： ， 整理得， 解得（舍去）或． 当时如图： ， 整理得， ，无解． 当时如图： ， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒，的面积是面积的一半． 35．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．若点P移动的时间为t秒． (1)当点P在移动时，的长为 （用含t的式子表示），t的取值范围是 ． (2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． ，，， ； 故答案为：；； （2）解：， 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 36．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 【经典例题五 与图形有关的问题】 37．（25-26八年级上·上海静安·阶段练习）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 【答案】长方形菜园的长是，宽是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长度为，即可确定的值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形菜园的长是，宽是． 38．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）景区内有一块米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为平方米，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据面积公式可得园地修建花道后剩余的面积为平方米，根据花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得：，， ∵园地的宽为5米，而， ∴不合题意，舍去． 答：x的值为1． 39．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，有一面墙长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用墙，围成中间有一道铁丝的长方形 (1)当的长是多少时，围成的长方形的面积为？ (2)能围成总面积为的长方形吗？请说明原因 【答案】(1)10米 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设的长是米，则的长是米，根据长方形的面积为列出方程，解出的值，再判断的长是否超过墙的长即可得出答案； （2）设的长是米，则的长是米，根据题意列出方程，再利用判别式判断方程根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：当的长是10米时，围成的长方形的面积为． （2）解：不能，原因如下： 设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能围成总面积为的长方形． 40．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，． 【分析】本题考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题． （1）设小正方形的边长为，根据题意列出方程就可以求出其解． （2）设小正方形的边长为，根据其底面积为列出方程求解即可． 【详解】（1）设小正方形的边长为，由题意得 ． 解得，，（不符合题意，舍去） ∴裁去的小正方形的边长为； （2）设小正方形的边长为，由题意得 解得，，（不符合题意，舍去） ∴盒子的体积为． 41．（24-25八年级上·上海长宁·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)场地的宽为8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 42．（24-25八年级上·上海松江·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 43．（2025·上海静安·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，熟练根据题意得出图形的规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， 第个图案中有个“△”， ， ∴第个图案中有个“△”， 故答案为：； （2）第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， 第个图案中， “○”有个， ， 第个图案中， “○”有， 故答案为：； （3）由（1）（2）得：第个图案中，“△”和“○”的数量之和为：， 则， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， 故． 44．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下： 阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得． (1)请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根． (2)反思总结：这种方法用到的数学思想是______． 【答案】(1)图见解析， (2)数形结合 【分析】（1）根据题意，构造出边长为的正方形，求出其面积，解出方程的一个正根即可． （2）根据题意，采用数形结合的方法解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，配方法及数形结合的方法． 【详解】（1）解：将边长为x的正方形和边长为2的正方形，加两个长方形，长为x，宽为2，拼合在一起，面积就是，即， 由原方程，变形得， 即图中边长为的正方形面积为9． 所以， ∵边长为正数， ∴， ∴， ∴正根为：1． 图如下： （2）解：这种方法用到的数学思想是数形结合； 故答案为：数形结合． 45．（24-25八年级上·上海普陀·期中）综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 【答案】（1），；（2），，，不能，理由见解析；（3）不可以 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由题意得：收纳盒底面的长为厘米，宽为厘米，根据解得：，即可判断； （3）分类讨论若收纳盒的高为厘米，厘米，厘米，即可求解； 【详解】解：（1）可列出方程：， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：，； （2）∵收纳盒的高为厘米， ∴纳盒底面的长为厘米，宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为． ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ∵， ∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒； （3）若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 综上所述，不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入， 故答案为：不可以 【经典例题六 一元二次方程的新定义问题】 46．（2025·上海闵行·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况. 【答案】方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根. 【分析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，解不等式可得出a的取值范围，再由根的判别式得出△=，结合a的取值范围即可得知△的正负，由此即可得出结论． 【详解】解：∵2☆a的值小于0， ∴＜0，解得：a＜0． 在方程中，△=≥﹣8a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 47．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-5． （1）若3⊕x=1求x的值． （2）若2x⊕(1-x)=5,求x的值． 【答案】（1）x=3（2）x1=1，x2= ． 【分析】（1）根据新定义运算列出方程即可求解； （2）根据新定义运算列出方程即可求解． 【详解】（1）依题意可得3⊕x=3（3-x）+1=1 解得x=3； （2）依题意可得2x⊕(1-x)= 2x（2x -1+x）+1=5 解得x1=1，x2= ． 【点睛】此题主要考查新定义运算与解方程，解题的关键是熟知一元二次方程的解法． 48．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 49．（24-25八年级上·上海静安·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 50．（24-25八年级上·上海宝山·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： (1)若，求的值； (2)若的值小于0，请判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：☆， ，即， 解得：，， ∴的值为； （2）解：☆的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 51．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 52．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读：设一元二次方程(a≠0)的两根分别为x1、x2，当时，有，．理解并解答下列问题： 问题（1）：定义新运算：a※b＝a(1－b)，若a，b是方程(c<1)的两根，求b※b－a※a的值． 问题（2）：已知关于x的方程(m≠0)的两根为α，β． ①用m的代数式来表示； ②当S＝5时，求m的值． 【答案】（1）0；（2）①；② 【分析】（1）先根据a※b＝a(1－b)，将b※b－a※a化简，然后根据根与系数的关系求出a+b的值，代入化简的结果即可； （2）①根据根与系数的关系求出，，把的右边通分，根据完全平方公式变形后代入计算； ②把S＝5代入①中化简的结果求解即可． 【详解】（1）由b※b＝b(1－b)，a※a＝a(1－a) ， 得b※b－a※a， 又， ∴b※b－a※a； （2）①∵，， ∴， ， ②当S＝5时，， ∴， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是的解． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， ． 53．（24-25八年级上·上海普陀·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1． ①求、的值； ②若关于的方程T有实数解，求实数的值； （2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则、应满足怎样的关系式？ 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】试题分析：（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可； （2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式． 试题解析：解：（1）①由题意得： 解得 ②由题意得： 化简得： 解得： （2）由题意得： 化简得： 考点：二元一次方程组，一元二次方程 54．（2025·上海闵行·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程章末54道压轴题型专训（6大题型） 题型一 根据一元二次方程根的情况求参数 题型二 一元二次方程的判别式压轴题型 题型三 一元二次方程根与系数的关系压轴 题型四 动态几何问题 题型五 与图形有关的问题 题型六 一元二次方程的新定义问题 【经典例题一 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求此时方程的根． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求c的取值范围； (2)选择一个你喜欢的c值代入，并求此时方程的解． 3．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若是一元二次方程的根，直接写出该方程的另一个根． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期末）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． (1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ (2)先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 5．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？ (2)若是“三倍根方程”，求n的值． 6．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根、， (1)求的取值范围； (2)当时，设，试用含的代数式表示出； (3)在（2）的条件下，若，求出的值． 8．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·上海虹口·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【经典例题二 一元二次方程的判别式压轴题型】 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期末） 小明同学在解关于x的一元二次方程时，认定此一元二次方程无论m为何实数．方程总有两个不相等的实数根．请你帮忙判定小明的说法是否正确吗？并说明理由． 11．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． (1)设矩形的相邻两边中一边为x，则另一边用x表示为 ； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 12．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 13．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k的值； (2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 14．（2025·上海宝山·模拟预测）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 15．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 16．（2025·上海虹口·模拟预测）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 17．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 18．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【经典例题三 一元二次方程根与系数的关系压轴】 19．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 20．（24-25八年级上·上海长宁·期末）阅读下面的材料： ∵ 的根为，， ∴ ，；请利用这一结论解决下列问题： (1)若方程的两根为和3，求b和c的值． (2)设方程的两根为，，不解方程，求的值． 21．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 22．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； (2)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 23．（24-25八年级上·上海宝山·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 24．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)直接写出一个“邻根方程”为________ (2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． (3)若关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求c最小值． 25．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 26．（24-25八年级上·上海松江·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 27．（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【经典例题四 动态几何问题】 28．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 29．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度运动，同时点从点出发沿边向点以的速度运动．点到达点后，点、停止运动．经过多少秒后，的面积是的面积的． 30．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于40cm2，小张该怎么剪？ （2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．”他的说法对吗？请你用两种不同的方法说明理由． 31．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒． (1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？ (2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？                   32．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示： ， ， ， ， ； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 33．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 34．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是（且，）． (1)当时，求的面积； (2)经过几秒，的面积是面积的一半． 35．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．若点P移动的时间为t秒． (1)当点P在移动时，的长为 （用含t的式子表示），t的取值范围是 ． (2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为时，求t的值． 36．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【经典例题五 与图形有关的问题】 37．（25-26八年级上·上海静安·阶段练习）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 38．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）景区内有一块米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为平方米，求x的值． 39．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，有一面墙长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用墙，围成中间有一道铁丝的长方形 (1)当的长是多少时，围成的长方形的面积为？ (2)能围成总面积为的长方形吗？请说明原因 40．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 41．（24-25八年级上·上海长宁·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 42．（24-25八年级上·上海松江·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 43．（2025·上海静安·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中， “△”有 个； （2）第个图案中， “◯”有个；第个图案中， “○”有个；第个图案中， “◯”有个；，第个图案中， “○”有 个； 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“○”的数量之和为，求的值． 44．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）学习数学最好的方式是自学加深度思考，持续探索．学完配方法，小美同学认真阅读了课本第39页的读一读，自学了数学家赵爽的关于一元二次方程的解法．她继续探索阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的方法．她通过网络收集的材料如下： 阿尔·花拉子米是著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙解出了一元二次方程的一个解．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，而由原方程变形得，即边长为的正方形的面积为36，据此可得． (1)请你运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形，画出拼接的正方形并求出正根． (2)反思总结：这种方法用到的数学思想是______． 45．（24-25八年级上·上海普陀·期中）综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 【经典例题六 一元二次方程的新定义问题】 46．（2025·上海闵行·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况. 47．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-5． （1）若3⊕x=1求x的值． （2）若2x⊕(1-x)=5,求x的值． 48．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 49．（24-25八年级上·上海静安·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 50．（24-25八年级上·上海宝山·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： (1)若，求的值； (2)若的值小于0，请判断方程的根的情况． 51．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 52．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读：设一元二次方程(a≠0)的两根分别为x1、x2，当时，有，．理解并解答下列问题： 问题（1）：定义新运算：a※b＝a(1－b)，若a，b是方程(c<1)的两根，求b※b－a※a的值． 问题（2）：已知关于x的方程(m≠0)的两根为α，β． ①用m的代数式来表示； ②当S＝5时，求m的值． 53．（24-25八年级上·上海普陀·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1． ①求、的值； ②若关于的方程T有实数解，求实数的值； （2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则、应满足怎样的关系式？ 54．（2025·上海闵行·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 学科网（北京）股份有限公司 $