专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 握手循环赛问题 题型十一 其他问题 拓展训练一 图形问题综合 拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·课前预习）列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3） ； （4） ； （5）检验根的合理性； （6）作答． 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感每轮传染中平均一个人传染了 ．人．如果不及时控制，第三轮将又有 ．人被传染． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型快递公司今年7月份完成投递的快递件数为6万件，8月份比7月份增加了1.8万件，9月份比8月份增加了0.84万件．假设这两个月投递的快递件数的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）某村的“智慧春耕”让生产更高效，使A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，则该玉米亩产量年平均增长率为 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 ． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期中）暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·随堂练习）有一块长方形草坪，长比宽的2倍多，它的面积为． (1)设草坪的宽为，列出关于x的一元二次方程． (2)把方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (3)，都是（1）中方程的解吗？ 4．（24-25八年级上·上海静安·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 4．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（    ）元 A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2025·上海嘉定·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 3．（2025·上海闵行·模拟预测）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． ．（2025·上海长宁·模拟预测）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25八年级上·上海虹口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 2．（2025八年级上·上海闵行·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    3．（24-25八年级上·上海青浦·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 4．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【经典例题十 握手循环赛问题】 【例10】（24-25八年级上·上海普陀·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）为进一步贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，丰富中学生的课余文化生活，释放青春能量，打造团队协作精神．利川市教育局组织一次中学生男子足球赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【经典例题十一 其他问题】 【例11】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）某工厂生产一种零件，在质量检测环节，有两个检测指标分别对应代数式与，这关系到零件是否合格的判断，当这两个指标的值相等时，x取何值？ 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 350元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展训练一 图形问题综合】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）在△PAB的AB边上任取一点C（异于A，B），连接PC，可以得到3个不同的三角形（如图①所示）；在△PAB的AB边上任取两点C，D（异于A，B），分别连接PC，PD，可以得到 个不同的三角形（如图②所示）；要得到15个不同的三角形，可以在△PAB的AB边上任取 个点（异于A，B），分别与点P连接即可． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）图1～图4都是由黑、白两种颜色的三角形排列而成． 观察图形，完成下列问题： (1)在表格的空白处填入适当的数： 图形 图1 图2 图3 图4 图5 … 图 ▲个数 2 5 10 17 ______ … ______ △个数 3 5 7 9 ______ ______ (2)根据你发现的规律判断是否存在两种三角形之和为△个数的4倍的图形． 【拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，，，动点分别从点A，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(   )．    A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过 落回地面．（结果保留小数后两位） 3．（2025·上海静安·模拟预测）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 4．（24-25八年级上·上海闵行·随堂练习）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若x满足方程，则修建的示意图是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，(　　)秒后四边形是面积的． A．2 B．4.5 C．8 D．7 6．（24-25八年级上·上海静安·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 7．（24-25八年级上·上海松江·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 8．（24-25八年级上·上海宝山·期末）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 9．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为 米． 10．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 11．（24-25八年级上·上海青浦·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 13．（24-25八年级上·上海闵行·期末）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． (1)降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某草莓采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 带出草莓价格 不超过10人 超过10人 20元/人 30元/斤 30元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价． (1)某社团共32人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出草莓多少斤？ (2)某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？ 15．（24-25八年级上·上海长宁·期中）在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 握手循环赛问题 题型十一 其他问题 拓展训练一 图形问题综合 拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海金山·期末）经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这两年污水利用率的平均增长率是，原有污水利用率为1，利用原有污水利用率（1+平均每年污水利用率的增长率=污水利用率，列方程即可. 【详解】解：设这两年污水利用率的平均增长率是，由题意得出： 故答案为：A. 【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题目找出等量关系式，再列方程. 2．（24-25八年级上·上海闵行·课前预习）列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3） ； （4） ； （5）检验根的合理性； （6）作答． 【答案】 列方程 解方程 【解析】略 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25八年级上·上海长宁·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得： ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2025·上海松江·模拟预测）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感每轮传染中平均一个人传染了 ．人．如果不及时控制，第三轮将又有 ．人被传染． 【答案】 7人 448人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，从而求解． 【详解】设一个患者一次传染给x人，由题意，得 x（x+1）+x+1=64， 解得：x1=7，x2=-9（舍去）， 第三轮被传染的人数是：64×7=448人． 故答案为：7，448． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据两轮共传染了64人建立方程是关键． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人． 【答案】15人 【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x人，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人， 依题意，得， 即， 解方程，得，（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染了15人， 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25八年级上·上海静安·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了，3月份的利润比2月份的利润下降了，则该公司3月份比1月份利润增长了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查增长率的实际应用和代数式的运算，解题关键是设1月利润为基础量，通过表示出2月、3月利润，推导3月相对1月的增长关系 ． 设1月份利润为1，计算2月份增长后的利润，再计算3月份下降后的利润，最后求3月份相对于1月份的增长率． 【详解】解：设1月份利润为1（单位利润），根据题意得 2月份利润为， 3月份利润为 3月份相对于1月份的增长率为 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型快递公司今年7月份完成投递的快递件数为6万件，8月份比7月份增加了1.8万件，9月份比8月份增加了0.84万件．假设这两个月投递的快递件数的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用．用两种方法表示出9月份的投递的快递件数，据此列方程即可． 【详解】解：设这两个月投递的快递件数的月平均增长率为x， 则， 故选：B 2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）某村的“智慧春耕”让生产更高效，使A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，则该玉米亩产量年平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，利用增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该玉米亩产量年平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴该玉米亩产量年平均增长率为； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年增长率为，根据该地区2024年及2026年的花卉的产值，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设这个相同的增长率， 依题意得：， 解得：， (不合题意，舍去)， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海虹口·期中）暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【答案】(1) (2)55元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分析题意列出等量关系是解题的关键． （1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，列出一元二次方程解题． 【详解】（1）解：设每天销售量的平均增长率为， 根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）解：设将钥匙扣每件降价y元销售， 根据题意得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴取降价5元，则销售定价为元， ∴将钥匙扣的销售价定为每件55元时，每天可获利920元． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意、弄清等量关系是解题关键． 设金色纸边的宽为，根据整个挂图的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式是列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 由长方形的面积公式可得：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键． 观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为，宽为的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为，宽为的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可． 【详解】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为， 根据剪拼前后图形的面积相等可得，， 由题意得，， 故可得：， 整理得，， 解得：（舍去）． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·随堂练习）有一块长方形草坪，长比宽的2倍多，它的面积为． (1)设草坪的宽为，列出关于x的一元二次方程． (2)把方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (3)，都是（1）中方程的解吗？ 【答案】(1) (2)，二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，1， (3)，都是原方程的解，见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）根据题意得到草坪的长，结合面积公式求解即可； （2）根据一元二次方程一般式化简即可； （3）把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设草坪的宽为，则草坪的长为， ∴； （2）解：化成一般形式为， 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，1，； （3）解：把代入原方程得，左边，右边，即左边右边， 把代入原方程得，左边，右边，即左边右边， 所以，都是原方程的解． 4．（24-25八年级上·上海静安·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个有盖盒子应降价4元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25八年级上·上海松江·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字为， 十位上的数字为． 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可． 【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16， 根据题意得出：x（x+16）=192， 故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 2．（2025·上海闵行·模拟预测）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题． 【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点， 根据前行共有个点， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(舍去)， 的值为． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【分析】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 4．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【详解】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）中秋节临近，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，如果降价1元，则每天可多售出2盒，若要平均每天盈利1650元，则每盒应降价多少元？设每盒应降价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润=（售价-进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售月饼100盒，如果降价1元，则每天可多售出2盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利1650元， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（    ）元 A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元 【答案】A 【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元，可列方程求解； 【详解】解：设每千克水果涨了x元，根据题意，得 ， 解得或． 因为同时又要使顾客得到最大优惠，所以应该上涨5元． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及理解题意的能力，关键是以利润作为等量关系列方程求解． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每个口风琴的定价应该是元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？ (2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1)15元 (2)不可能；理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利每天销售的利润是解题关键． （1）利用衬衣每件盈利平均每天售出的件数每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可． （2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得， 答：每件衬衫应降价15元． （2）解：不可能．理由如下： 设每件衬衫应降价x元， ， 整理得， ，方程无实数根． 商场平均每天不可能盈利1400元． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【答案】A 【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间． 【详解】解：设点运动的时间为，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 解得：（不合题意舍去）， ∴点，的运动时间为． 故选：B． 2．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 4．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（2025·上海嘉定·模拟预测）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 4．（2025·上海长宁·模拟预测）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和 【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可； （2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程； （3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可． 【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则 ， ， 漫灌用水：， 喷灌用水：， 滴灌用水：， 答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨． （2）由题意得， ， 解得（舍去），，所以． （3）节省水费：元， 维修投入：元， 新增设备：元， ， 答：节省水费大于两项投入之和． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25八年级上·上海虹口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 1．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 2．（2025八年级上·上海闵行·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【经典例题十 握手循环赛问题】 【例10】（24-25八年级上·上海普陀·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ） A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海松江·期中）为进一步贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，丰富中学生的课余文化生活，释放青春能量，打造团队协作精神．利川市教育局组织一次中学生男子足球赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，弄清比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 根据等量关系，球队数与每支球队需赛的场数的积的一半等于总场数，然后把相关数值代入即可解答． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 4．（24-25八年级上·上海长宁·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 【经典例题十一 其他问题】 【例11】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）某工厂生产一种零件，在质量检测环节，有两个检测指标分别对应代数式与，这关系到零件是否合格的判断，当这两个指标的值相等时，x取何值？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或， 答：当这两个指标的值相等时，或． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【答案】黑键36个，白键52个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设黑键个，则白键个，根据等量关系：黑键数和白键数的乘积是1872，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设黑键个，则白键个， 由题意得：， 整理得：， 解得或52； 由于黑键比白键少，故x取36． 所以黑键36个，白键52个． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 350元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 【答案】观看演出的员工的人数为40人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设观看演出的员工的人数有x人，则单价为元，根据共支付12000元的购票费用，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设观看演出的员工的人数有x人，则单价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：观看演出的员工的人数为40人． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 【答案】(1)一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒 (2)该物品坠落到地面大约用了3秒 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后问题可求解； （2）由题意可得，然后把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：（负根舍去）； 答：该物品坠落到地面大约用了3秒． 4．（24-25八年级上·上海松江·期中）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】（1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600，理由见解析；（2）前行的点数之和为；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）解：三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 【拓展训练一 图形问题综合】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点，前行的点数和不可能是以下哪个结果（   ） A．210 B．100 C．78 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为210、100、78、45时的值，判断即可得解．熟练掌握一元二次方方程的应用是关键． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和， A、若和为210，则，解得或（舍去），即前20行的点数之和为，故A不符合题意； B、若和为100，则，解得，不是整数，即不存在前行的点数之和为100，故B符合题意； C、若和为78，则，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故C不符合题意； D、若和为45，则，解得或（舍去），即前9行的点数之和为45，故D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）在△PAB的AB边上任取一点C（异于A，B），连接PC，可以得到3个不同的三角形（如图①所示）；在△PAB的AB边上任取两点C，D（异于A，B），分别连接PC，PD，可以得到 个不同的三角形（如图②所示）；要得到15个不同的三角形，可以在△PAB的AB边上任取 个点（异于A，B），分别与点P连接即可． 【答案】 6 4 【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表述出图形规律，由前两个图可总结出规律当边上有个点时，则图中有三角形个数为：，问题随之得解． 【详解】 的边上有1个点时，则图①中有3个三角形：； 的边上有2个点时，则图②中有6个三角形：； 的边上有3个点时，则图③中有10个三角形：； ， 的边上有个点时，则图中有三角形个数为：， 令， 解得：（负值舍去）， 要得到15个不同的三角形，可以在的边上任取4个点）（异于点A，B）， 故答案为：6，4． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）图1～图4都是由黑、白两种颜色的三角形排列而成． 观察图形，完成下列问题： (1)在表格的空白处填入适当的数： 图形 图1 图2 图3 图4 图5 … 图 ▲个数 2 5 10 17 ______ … ______ △个数 3 5 7 9 ______ ______ (2)根据你发现的规律判断是否存在两种三角形之和为△个数的4倍的图形． 【答案】(1)见解析 (2)不存在，见解析 【分析】本题主要考查探求规律的问题及一元二次方程的应用，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键． （1）根据图形总结规律，直接得出结果； （2）根据（1）得到规律，结合题意建立一元二次方程求解即可解答． 【详解】（1）解：图1中，▲有个，△有个， 图2中，▲有个，△有个， 图3中，▲有个，△有个， 图4中，▲有个，△有个， ； 图n中，▲有个，△有个， 则图5中，▲有个，△有个， （2）解：由（1）图n中，▲有个，△有个， 假设存在这样的第个图形，依题意有： ，整理得， 解得：， 不是整数， 不存在这样的图形． 【拓展训练二 一元二次方程与动点问题相关】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，，，动点分别从点A，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 设出点，运动秒，能使四边形的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点，运动秒后，能使四边形的面积为， 则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得， ， 化简得， 解得，； 当时，，不合题意，舍去． 即． 动点，运动3秒时，能使四边形的面积为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，分及两种情况，列出关于的方程．当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：，，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 【拓展训练三 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(   )．    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过 落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 3．（2025·上海静安·模拟预测）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【答案】(1)28 (2) (3) 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海闵行·随堂练习）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若x满足方程，则修建的示意图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．假设四个选项中的草坪部分的面积均为，由此可分别列出相应的方程，化简后再与题干中的方程对比即可求得答案． 【详解】解：A、根据题意可得：， 整理，得：，故A选项不符合题意； B、根据题意可得：， 整理，得：，故B选项不符合题意； C、根据题意可得：， 整理，得：，故C选项不符合题意； D、根据题意可得：， 整理，得：，故D选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，(　　)秒后四边形是面积的． A．2 B．4.5 C．8 D．7 【答案】A 【分析】由于四边形是一个不规则的图形，不容易直接表示它的面积，观察图形，可知，因此当四边形是面积的时，是面积的，即有，从而列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴由勾股定理，得：． 设t秒后四边形是面积的，则，． 根据题意，知， ∴，即， 解得：，(舍去)． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 6．（24-25八年级上·上海静安·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海松江·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设每次打了折， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 每次打了9折． 故答案为：9． 8．（24-25八年级上·上海宝山·期末）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 【答案】10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键 设每次降价的百分率x，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海崇明·期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为 米． 【答案】 【分析】设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则上部长为，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题目列出方程． 10．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程． 设，则，根据等面积法计算即可． 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 11．（24-25八年级上·上海青浦·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩． (1)求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． (2)按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 【答案】(1) (2)万亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率，找等量关系列出正确的方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据2021年至2023年两年的增长，建立方程求解； （2）基于第一问的年增长率预测2024年的绿化面积． 【详解】（1）解：设2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）； 答：2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率是； （2）解：（万亩 ）， 答：预测2024年底该市的绿化面积为万亩． 13．（24-25八年级上·上海闵行·期末）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． (1)降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可售出件； 故答案为：， （2）由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某草莓采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 带出草莓价格 不超过10人 超过10人 20元/人 30元/斤 30元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价． (1)某社团共32人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出草莓多少斤？ (2)某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？ 【答案】(1)本次活动他们共带出草莓20斤 (2)这次参加团建的共17人 【分析】此题考查了一元一次不等式和一元二次方程的应用，根据题意正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设本次活动他们共带出草莓x斤，由题意知成人有22人，判断出成人与儿童票价相同，总费用不超过元，据此列不等式，解不等式即可； （2）设这次参加团建的共y人，根据共支付票价元列一元二次方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设本次活动他们共带出草莓x斤，由题意知成人有22人， ∵， ∴成人与儿童票价相同， ∴， 解得， ∴x的最大整数为． 答：本次活动他们最多共带出草莓斤； （2）设这次参加团建的共y人， 由题意得，． 解得， 当时，，不合题意，舍去． 答：这次参加团建的共人． 15．（24-25八年级上·上海长宁·期中）在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)，； (2)为或时，的面积等于． 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据，然后解一元二次方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意可知：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，，，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：为或时，的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $$