专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 题型五 利用根与系数的关系判断根的情况 题型六 根的代入与根与系数的关系结合问题 题型七 根与系数的关系中新定义问题 题型八 根与系数关系的多结论判断问题 拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合 拓展训练二 利用根与系数关系求参综合 拓展训练三 根与系数关系的新考法 拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）实数分别满足方程和，且，求代数式的值（    ） A． B． C． D． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）若，是方程的两个根，则代数式 ． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：当，时，代数式的值都是0，则当时，代数式的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于 ． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】 （24-25八年级上·上海黄浦·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（2025·上海宝山·模拟预测）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】 【例4】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）方程有四个互不相等的实数根，则下列值中不满足要求的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为．则下列四个值中有可能为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）若一元二次方程的两根分别为，则值为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则m值为 ． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 【经典例题五 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例5】（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 1．（2025·上海松江·模拟预测）关于一元二次方程根的判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根和等于 D．两根积等于2 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）关于方程有如下判断：（1）该方程有两个不相等的实数根；（2）该方程的两根之和是；（3）该方程的两根之积是6，以上三个判断中正确有 个． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【经典例题六 根的代入与根与系数的关系结合问题】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为，，则，． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，，则________，________； 【类比运用】已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若一元二次方程有两个实数根，，那么，，这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题： (1)已知a、b是方程的两根，求的值． (2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例如：的两个实数根分别是、，则，．请根据上述材料，结合所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两个实数根分别为、，则___，_____； (2)【类比探究】已知：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值； (3)【思维拓展】在（2）的条件下，若方程的两根、满足，求的值． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读材料： 材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数、、，有如下关系：． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：是一元二次方程的两个实数根． 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ___________ ， ___________ ． (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； (3)提升：已知实数满足，且． 求：； 的值． 【经典例题七 根与系数的关系中新定义问题】 【例7】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·上海金山·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为，，则新方程的根为， 因为， 所以， 所以：所求新方程为．请用阅读材料提供的方法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为________； (2)已知一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数． 【经典例题八 根与系数关系的多结论判断问题】 【例8】（2025·上海嘉定·模拟预测）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 1．（24-25八年级上·上海普陀·课后作业）设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程： 题目：当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数？ 解：因为：关于x的方程的两根互为相反数； 所以：设这个方程的两个根为k与； 所以： （1）式减（2）式得： 所以：或；把 ，代入（1）式，得 所以：或 (1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？ (2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正． 【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】 1．（24-25八年级上·上海普陀·随堂练习）已知关于x的一元二次方程．试根据下列条件求m的值． (1)两根互为相反数． (2)两根之和等于3． (3)两根之积等于1． (4)两根的平方和等于8． (5)两根之和的相反数等于两根之积． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 3．（24-25八年级上·松江·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【拓展训练三 根与系数关系的新考法】 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读：设一元二次方程(a≠0)的两根分别为x1、x2，当时，有，．理解并解答下列问题： 问题（1）：定义新运算：a※b＝a(1－b)，若a，b是方程(c<1)的两根，求b※b－a※a的值． 问题（2）：已知关于x的方程(m≠0)的两根为α，β． ①用m的代数式来表示； ②当S＝5时，求m的值． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．          【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知α，β是方程的两个根，则的值（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）整式：，其中，，，，为整数．下列说法正确的个数为（   ） ①若，，，，均为自然数且，则满足条件的整式M共有21个； ②当，，，，均为自然数时，，，，，必有两个数的差是4的倍数； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，是一元二次方程的两根，则 ； ． 7．（24-25八年级上·上海普陀·随堂练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为 ． 8．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是 ； （2）若，则m的值为 ． 9．（2025·上海虹口·模拟预测）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 10．（24-25八年级上·上海青浦·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根分别为，，若，求m的值． 12．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)为何值时，方程的两根之积等于． 13．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 14．（2025·上海嘉定·模拟预测）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 15．（24-25八年级上·上海普陀·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 题型五 利用根与系数的关系判断根的情况 题型六 根的代入与根与系数的关系结合问题 题型七 根与系数的关系中新定义问题 题型八 根与系数关系的多结论判断问题 拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合 拓展训练二 利用根与系数关系求参综合 拓展训练三 根与系数关系的新考法 拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，则可得，，，据此可得答案． 【详解】解：设一元三次方程的三个实根分别为，，， 则方程可写成， ∴， ∴ ∴． 对比可得，，，， 可得，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元三次方程根与系数的关系，整式的乘法，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元三次方程有三个实数根，，， ∴， ∴ ， ∴，，， ∵的三个实数根为，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，进一步得到，，则根据根与系数的关系得到以、的长度为根的一元二次方程为． 本题考查了根与系数的关系，若已知方程的两根为，，则以，为根的一元二次方程为． 【详解】解：由题意可知，， ， 以、为宽和长的矩形的面积等于， ， ， 以、的长度为根的一元二次方程为， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，由此即可求出m的值． 【详解】解：对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ， 故答案为：． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海青浦·期中）实数分别满足方程和，且，求代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，进而可得是方程的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解． 【详解】解：由可得， ∴是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，先解方程，然后代入化简后的代数式即可判断嘉嘉做法；利用根与系数的关系即可判断淇淇做法，解题的关键是主要是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：嘉嘉：， ∴，或，， ∴当，时， 原式 ； 当，时， 原式 ，故嘉嘉解法正确； 淇淇：∵， ∴，， ∴ ，故淇淇解法正确； 故选：． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）若，是方程的两个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据一元二次方程的解的定义得到，即，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， ，是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】2030 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：2030． 4．（24-25八年级上·上海静安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)的值为； (2)代数式的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据新定义，设方程的两个根，由根与系数的关系列方程，即可解得的值； （2）解方程，由新定义得两根之间的关系，分类讨论，分别代入代数式，化简求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设一元二次方程的两根分别为，， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴， 答：的值为． （2）解：由可得，，， ∵是“2倍根方程”， ∴，或， ∴或， 当时，， 当时，，， 答：代数式的值为或． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，理解方程的根以及根与系数的关系是解答的关键．首先根据解的概念得到，变形得到，利用根与系数的关系得到，，然后代入整体求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ． 故选：B． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；利用一元二次方程根与系数的关系求得，，再对代数式分解因式，整体代入即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别是、， ，， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知：当，时，代数式的值都是0，则当时，代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的根与因式分解以及代数式求值，解题的关键是利用已知根求出代数式的系数、． 因为和时，代数式的值为0，所以可将代数式因式分解为，进而求出、，再代入求值． 【详解】将分别代入， 得， 解得， ∴代数式为， 当时， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件，配方的应用等知识，根据二次根式有意义的条件得出根据一元二次方程根的判别式得出，则可求出，进而求出，即可求解． 【详解】解∶ 根据题意，得 关于x的两个方程都有实数根， 解得： 当时，取得最小值3． 故答案为∶3． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 【答案】(1)36   (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先把，代入，可得，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程为， ∴ ， 解得：； （2）∵于的方程为常数）有两个实数根， ∵ （3）∵于的方程为常数）有两个实数根， 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】 （24-25八年级上·上海黄浦·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根分别是和， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系先求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． 先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程的两个根，，将代数式化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足，， ∴a，b是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】 【例4】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）方程有四个互不相等的实数根，则下列值中不满足要求的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】方程含有绝对值，先化简原方程为两个方程，再利用一元二次方程有两个不等实数根时，根的判别式，建立关于的不等式，结合根与系数的关系，即可求得的取值范围． 【详解】设，则原方程为：即， ∵方程有个互不相等的实数根， ∴方程有个互不相等的正实数根， 设与是方程的两个根， ∴， 解得，故、、符合题意，不符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根．注意方程中含有绝对值时，要把方程化为两个方程后分析求解． 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为．则下列四个值中有可能为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由时，的取值范围为，可得或是方程的两个根，则有，再由，可得，即将≥，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∵当时，的取值范围为， ∴或是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴是函数的对称轴， 又∵当时，的取值范围为． ∴， ∴， ∵函数经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的可能取值为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海虹口·期末）若一元二次方程的两根分别为，则值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系的计算是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则m值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后根据可代入进行求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为． 4．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵的两个实数根、，满足， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题五 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例5】（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键. 将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D. 【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确； B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确； C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误； D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确． 故选：C． 1．（2025·上海松江·模拟预测）关于一元二次方程根的判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根和等于 D．两根积等于2 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，根据一元二次方程的根的判别式判断A选项和B选项，利用根与系数的关系判断C和D选项，即可求解． 【详解】解：由条件可知， 故有两个不相等的实数根， 设是一元二次方程的两个根， ∴； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）关于方程有如下判断：（1）该方程有两个不相等的实数根；（2）该方程的两根之和是；（3）该方程的两根之积是6，以上三个判断中正确有 个． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，根据与0的关系判断（1），根据，判断（2）和（3）． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根， 故（1）正确； 设为的两个根， 则，， 故（2）错误，（3）正确， 综上可知，正确的有2个， 故答案为：2． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 4．（24-25八年级上·上海青浦·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【答案】(1)该方程不是邻近根方程，见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻近根方程”定义． （1）根据“邻近根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻近根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 【经典例题六 根的代入与根与系数的关系结合问题】 【例6】（24-25八年级上·上海宝山·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为，，则，． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，，则________，________； 【类比运用】已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】[材料理解]，；[类比运用]（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． [材料理解]根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； [类比运用]（1）证明即可； （2）通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】[材料理解]：解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； [类比运用]（1）证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵，∴， 解得：． 1．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若一元二次方程有两个实数根，，那么，，这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用很多，请完成下列各题： (1)已知a、b是方程的两根，求的值． (2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得？若存在，求出该式的k值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)43； (2)存在，． 【分析】（1）根据，是方程的两根，求出，的值，即可求出的值； （2）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，是方程的二根， ∴，， ∴， ∴； （2）解：存在，当时，．理由如下： ∵， 由①得：， 由②得：， ∴，即， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 则， ∵和是关于，的方程组的两个不相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法． 2．（24-25八年级上·上海静安·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：，， ， ， 解得； （3）解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例如：的两个实数根分别是、，则，．请根据上述材料，结合所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两个实数根分别为、，则___，_____； (2)【类比探究】已知：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值； (3)【思维拓展】在（2）的条件下，若方程的两根、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解； （3）根据在（2）的条件下，若方程的两根、满足，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根分别为、，则， 故答案为：，． （2）∵、为一元二次方程的两个实数根 ∴． ∵． ∴原式． （3）∵． 又∵， ∴， 解得：， ∴的值为或． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读材料： 材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数、、，有如下关系：． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 解：是一元二次方程的两个实数根． 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ___________ ， ___________ ． (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为、，求的值； (3)提升：已知实数满足，且． 求：； 的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论； （3）由实数、满足，且，可得出是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出代入所求代数式计算即可；，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ； 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为， ， ； （3）解：实数满足，且， 是一元二次方程的两个实数根， ， ； 实数满足，且， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ． 【点睛】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【经典例题七 根与系数的关系中新定义问题】 【例7】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定． 【详解】解：，故①正确； 当时，即时，， 当时，即时，，故②正确； ∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴，解得：； 当时，， ∵， ∴或，解得：或； 综上所述：m的值为3或，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于代数式A、B，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则的值为3或；②若方程的解为a、b，则的值为；③若关于x的方程有两个不相等的实数解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据新定义得，则得出或，代入，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【详解】解：①， 整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故①正确，符合题意； ②， ∵方程的解为、， ∴，， ∴， ∴，则 当时，， 当时，， ∴的值为或， 故②不正确，不符合题意； ③∵，方程有两个不相等的实数解， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故③不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：，；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2．（2025·上海金山·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据定义运算化简@@，再根据根与系数的关系求出、的值，最后把、的值代入化简后的式子得结论． 【详解】由题意：@@ ，是方程的两根， ， 原式 故答案为： 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab和a+b的代数式，再由a 、b 是方程 的两个根可得ab和a+b的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 【详解】∵，为的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为-8．　 【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab和a+b的值后代入由实数新运算法则得到的算式求解是解题关键． 4．（24-25八年级上·上海崇明·期中）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为，，则新方程的根为， 因为， 所以， 所以：所求新方程为．请用阅读材料提供的方法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为________； (2)已知一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了根与系数关系，一元二次方程的解等知识点， （1）设原方程的根为，，则新方程的根为，，模仿例题求解即可； （2）设原方程的根为，，则新方程的根为，，模仿例题求解即可； 解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题． 【详解】（1）设原方程的根为，，则新方程的根为，， ∵，， ∴，， ∴所求新方程为， 故答案为：； （2）设原方程的根为，，则新方程的根为则新方程的根为，， ∵，， ∴，， ∴所求新方程为． 【经典例题八 根与系数关系的多结论判断问题】 【例8】（2025·上海嘉定·模拟预测）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，利用因式分解法解①得到的方程，即可判断①，利用分类讨论即可判断②，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 解得，； 故选项①正确； ②∵ ∴ ∴ 当时，， ∴关于的方程有实数根， 当时，是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根， ∴ 解得且； 综上可知，若关于的方程有实数根，则； 故选项②错误； ③∵，， ∴， ∴， 解得或，或， ∵， ∴s和t是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ∴当时，则， 此时， ∴当时，则， 此时， ∴． 故选项③错误， ∴正确的是①， 故选：B 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故①错②正确； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故③正确； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为 ∴方程有两个异号实数根，故④正确． ∴正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 3．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 4．（24-25八年级上·上海青浦·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（）根据题意解答即可； （）分和两种情况解答即可； （）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵满足，， 当时，原式； 当时，可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； 综上，的值为或； （3）解：∵，， ∴，， ∴为一元二次方程的两个根， ∵，且， ∴， ∴， ∴正整数的最小值为． 【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 1．（24-25八年级上·上海普陀·课后作业）设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据进形计算即可． 【详解】解：根据， 得， 故选D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式．①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出以及，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解． 【详解】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由一元二次方程的根与系数的关系有，，， ， ， 这两个方程的根都为负根，①正确； ②由一元二次方程的根的判别式有： ，， ，， ，， ∵， ∴，②正确； ③由一元二次方程的根与系数的关系可得， 由、均为负整数，故，故， 同理可得：，得，即，故③正确， 故答案为：3个． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程： 题目：当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数？ 解：因为：关于x的方程的两根互为相反数； 所以：设这个方程的两个根为k与； 所以： （1）式减（2）式得： 所以：或；把 ，代入（1）式，得 所以：或 (1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？ (2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正． 【答案】(1)不正确，检验见解析； (2)不正确，见解析； 【分析】（1）将或代入解方程得到答案判断即可得到答案； （2）根据（1）判断，并根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①当时，原方程化为： 解得：，，符合题意， ②当时，原方程化为：， 解得：，，不符合题意， 故小明同学解题过程不正确； （2）解：由（1）得，不正确， 根据判别式可得：， ∴方程的两个根不相等， ∴， 当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数，解决这类问题，要根据根与系数的关系来解决， 由根与系数关系可得：，解得：， 错误的原因是没有注意判别式与根的情况，解决此类题最直接的方法是利用根与系数的关系求解． 【点睛】本题考查根与系数的关系及根与判别式之间的关系，解题的关键是熟练掌握，，，时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根． 【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】 1．（24-25八年级上·上海普陀·随堂练习）已知关于x的一元二次方程．试根据下列条件求m的值． (1)两根互为相反数． (2)两根之和等于3． (3)两根之积等于1． (4)两根的平方和等于8． (5)两根之和的相反数等于两根之积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）根据两根互为相反数，得到两根之和为0，列出方程进行求解即可； （2）根据两根之和等于3，列出方程进行求解即可； （3）根据两根之积等于1，列出方程进行求解即可； （4）根据两根的平方和等于8，列出方程进行求解即可； （5）根据两根之和的相反数等于两根之积，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设方程的两根为，， 则有，， 且． 当两根互为相反数，则：，得． （2），得． （3），得， ∵当时，， ∴． （4），即， ∴， 解得，． ∵当时，， ∴． （5）， 解得，． ∵当时，， ∴． 2．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)，方程另一个根为 (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于k的一元一次不等式，求出，然后根据一元二次方程的定义得到，进而可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴k的取值范围为且． 3．（24-25八年级上·松江·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系、多项式乘多项式是解决本题的关键． 问题1．利用根与系数的关系直接可得结论； 问题2．利用根的判别式和根与系数的关系得关于m的不等式，求解即可． 问题3．先把解代入方程，变形后用含m、n的代数式表述出要求的两个代数式、，再利用根与系数的关系计算得结论． 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 【拓展训练三 根与系数关系的新考法】 1．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读：设一元二次方程(a≠0)的两根分别为x1、x2，当时，有，．理解并解答下列问题： 问题（1）：定义新运算：a※b＝a(1－b)，若a，b是方程(c<1)的两根，求b※b－a※a的值． 问题（2）：已知关于x的方程(m≠0)的两根为α，β． ①用m的代数式来表示； ②当S＝5时，求m的值． 【答案】（1）0；（2）①；② 【分析】（1）先根据a※b＝a(1－b)，将b※b－a※a化简，然后根据根与系数的关系求出a+b的值，代入化简的结果即可； （2）①根据根与系数的关系求出，，把的右边通分，根据完全平方公式变形后代入计算； ②把S＝5代入①中化简的结果求解即可． 【详解】（1）由b※b＝b(1－b)，a※a＝a(1－a) ， 得b※b－a※a， 又， ∴b※b－a※a； （2）①∵，， ∴， ， ②当S＝5时，， ∴， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是的解． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， ． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】 1．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 【答案】(1)6， (2)4 (3)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出方程然后求解即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； （2）解：根据根与系数的关系得，， ； （3）解：根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 3．（24-25八年级上·上海金山·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的最大值为． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根则；当方程有两个相等的实数根则；当方程没有实数根则，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）根据根与系数的关系进行求解即可； （）根据根与系数的关系可得，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （）由 ，，将看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ ，， ∵， ∴原式； （3）解：∵ ，， ∴将看作是方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， 则， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知α，β是方程的两个根，则的值（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得，，再结合方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，， ∴==． 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得到，，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程． 【详解】解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得 ，， 那么以、，为两根的一元二次方程就是， 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）整式：，其中，，，，为整数．下列说法正确的个数为（   ） ①若，，，，均为自然数且，则满足条件的整式M共有21个； ②当，，，，均为自然数时，，，，，必有两个数的差是4的倍数； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，，若存在整数n，使为正整数，则． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，方程的解，正确计算是解此题的关键．根据，，，，的特征判断各个选项即可． 【详解】解：①或，前者显然只有一种情况，后者考虑不为0的两个字母，有10种组合，每个组合中有2种情况，即一个字母为1，另一个为2，共20种，两者加起来一共21种， 故①正确； ②5个自然数中一定有两个数的差是4的倍数， 故②正确； ③当时，该方程存在4个实数根记为，，，， ∴， ∴当时可得，即， 又∵为正整数， ∴， ∴， ∴整数时，为正整数2，即， 所以， 故③正确． 故选 A． 6．（24-25八年级上·上海宝山·期末）若，是一元二次方程的两根，则 ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． 故答案为：； 7．（24-25八年级上·上海普陀·随堂练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将条件转化为关于m的方程，结合判别式排除无效解是解题的关键．首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于m的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：方程的两实根为， ， ， ， ， ， 化简得， ， 解得，，， 原方程有实数根，判别式， ， ， ． 故答案为：7． 8．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是 ； （2）若，则m的值为 ． 【答案】 且 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据，且，可得答案； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，再整理，并代入求出解即可. 【详解】解：（1）由题意知，，且， 解得，且， 的取值范围是，且. 故答案为：，且； （2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ 整理得：， 解得： 由知，，且， ， 故答案为： 9．（2025·上海虹口·模拟预测）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据题意得到m，是方程的实数根，解方程得到解为，根据m，n的取值分情况讨论即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根， 解方程得， ∴分情况讨论： ①若，则； ②若，则 若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海青浦·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 【答案】 两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 11．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根分别为，，若，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可；已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值． 【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根， ，即， 整理得：， 解得：； 该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，即， 整理得， 或， ， ． 12．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)为何值时，方程的两根之积等于． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解并熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）设的两个根为，，利用根与系数的关系，求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∴无论取何值，这个方程总有实数根； （2）解：设的两个根为，， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1． 14．（2025·上海嘉定·模拟预测）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 【答案】(1)是“平衡集合”，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡集合”的定义，进行作答即可； （2）结合、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，得，设，则，解得，，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵ ∴是“平衡集合”； （2）解：∵、是两个不同的正数，且是“平衡集合”， ∴， 设， 根据根与系数关系可知，相当于方程的两根， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴、至少有一个大于2． 15．（24-25八年级上·上海普陀·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$