专题06 一元二次方程章末易错必刷题型专训（55题11个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题06 一元二次方程章末易错必刷题型专训（55题11个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·开学考试）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，2，1 D．0，，1 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）写出一个一元二次方程，使其一个根为2： ． 4．（25-26八年级上·上海长宁·开学考试）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为 ． 5．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【易错必刷二 由一元二次方程的解求参数】 6．（24-25八年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 7．（24-25八年级上·上海长宁·期中）把方程化成一般式，则正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25八年级上·上海松江·随堂练习）若方程中不含x的一次项，则 ． 9．（25-26八年级上·上海虹口·开学考试）关于的方程是一元二次方程，则 ． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【易错必刷三 解一元二次方程——直接开平方法】 11．（24-25八年级上·上海青浦·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 14．（24-25八年级上·上海静安·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 ． 15．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）解方程． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷四 因式分解法解一元二次方程】 16．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·上海松江·期末）若，则 ． 19．（24-25八年级上·上海青浦·期末）一元二次方程的根是 ． 20．（24-25八年级上·上海普陀·期末）用适当的方法解下列方程． (1) ； (2)． 【易错必刷五 解一元二次方程——配方法】 21．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）用配方法解方程时，可以将方程化为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·上海松江·期中）用配方法将一元二次方程变形为的形式是 ． 24．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 25．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【易错必刷六 公式法解一元二次方程】 26．（24-25八年级上·上海静安·期中）若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 28．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）解方程，得 ， ． 29．（24-25八年级上·上海松江·单元测试）已知关于的一元二次方程中，，则的值是 ． 30．（24-25八年级上·上海松江·期中）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷七 换元法解一元二次方程】 31．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）已知，则＝（　　） A．6 B．9 C．19 D．11 32．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）关于x的方程a (x+m)2+bx-c=0的根是x1=-2， x2=1 (a、m、b、c均为常数，a≠0)，则方程a (x+m-1) 2+b (x-1) =c的根是(     ) A．x1=-1， x2=2 B．x1=-2， x2=1 C．x1=2， x2=1 D．x1=-2， x2=-1 33．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，则的值为 ． 34．（24-25八年级上·上海松江·课后作业）若实数a，b满足(2a+2b)(2a+2b﹣2)﹣8=0，则a+b= ． 35．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）阅读材料并解答下列问题．解方程：，设则原方程变形为．当m=1时，解得 当m=2时，解得所以原方程的解为解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．这种方法叫换元法．请你利用上述方法解答下列问题． (1)解方程： (2)若，求的值． 【易错必刷八 根据一元二次方程根的情况求参数】 36．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若关于x的一元二次方程 用下面选项中的数替换k，使方程没有实数根的是（    ）． A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·上海普陀·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 39．（2025·上海松江·模拟预测）填写二次方程 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根． 40．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算题 (1)解方程（公式法） (2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围． 【易错必刷九 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 41．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 42．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 43．（24-25八年级上·上海崇明·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 44．（2025·上海普陀·模拟预测）已知三个实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 45．（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知：关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根； 【易错必刷十 一元二次方程的根与系数的关系】 46．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（   ） A． B．3 C．2 D． 47．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 48．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 49．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是 ； （2）若，则m的值为 ． 50．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则______， ． 【拓展设问】求的值． 【易错必刷十一 一元二次方程的应用综合应用】 51．（2025·上海宝山·模拟预测）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 52．（25-26八年级上·上海金山·开学考试）两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 53．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ． 54．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小王家今年月份的用电量情况如图所示，则月到月之间月用电量的增长率为 ． 55．（24-25八年级上·上海金山·开学考试）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，则每件成本的平均降低率是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程章末易错必刷题型专训（55题11个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、中需方程才是一元二次方程，故本选项错误； B、该方程中含有两个未知数，属于二元方程，故本选项错误； C、该方程不是整式方程，故本选项错误； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·开学考试）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，2，1 D．0，，1 【答案】B 【详解】本题考查了一元二次方程， 根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）写出一个一元二次方程，使其一个根为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根的定义去构造方程即可． 本题考查了一元二次方程的根，正确理解方程的根是解题的关键． 【详解】解：根据题意写出一个一元二次方程，使其一个根为2，则该方程可以是． 故答案为：．（答案不唯一） 4．（25-26八年级上·上海长宁·开学考试）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义、常数项概念可得，求解即可求得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 【易错必刷二 由一元二次方程的解求参数】 6．（24-25八年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义；一般地，形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 7．（24-25八年级上·上海长宁·期中）把方程化成一般式，则正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案． 【详解】解：将去括号得； 移项得 ∴，． 故选：B． 8．（24-25八年级上·上海松江·随堂练习）若方程中不含x的一次项，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键． 根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：∵方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 9．（25-26八年级上·上海虹口·开学考试）关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义得出且，再求m即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 【易错必刷三 解一元二次方程——直接开平方法】 11．（24-25八年级上·上海青浦·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用直接开平方法求解． 【详解】解： 直接开平方得：， 故选：C． 12．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解及其解法，整理方程，把代入，结合可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵关于的一元二次方程有实数根， 整理得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】 解得，． 故答案为：3或． 14．（24-25八年级上·上海静安·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 15．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握各自解法是解本题的关键． （1）利用直接开平方法即可解答； （2）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （3）方程整理后，利用提公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 可得或， 解得：，； （3）解：， 整理得， 因式分解得， 可得或， 解得：，． 【易错必刷四 因式分解法解一元二次方程】 16．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 17．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，灵活选用合适的方法最为关键；本题用因式分解法最为方便． 将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程：． 整理得 因式分解为 解得： 故选：B． 18．（24-25八年级上·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了零指数幂的意义，解一元二次方程，先根据零指数幂的意义得出，，然后代入方程，根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴， 又有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 19．（24-25八年级上·上海青浦·期末）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴，． 故答案为：， 20．（24-25八年级上·上海普陀·期末）用适当的方法解下列方程． (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答； （2）运用配方法进行解方程，即可作答； 【详解】（1）解：∵ ∴， 则或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴ 【易错必刷五 解一元二次方程——配方法】 21．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 22．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）用配方法解方程时，可以将方程化为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法求解一元二次方程； 将原方程通过配方法转化为完全平方形式，先将二次项系数化为，再把常数项移到右边，再进行配方，整理成完全平方形式． 【详解】解：先化二次项系数为1：原方程两边同除以2得： 再将常数项移到右边得： 配方：取一次项系数的一半，平方得. 方程两边加上，得 整理为完全平方：左边化为，右边通分计算得， 故方程变为 故选：A． 23．（24-25八年级上·上海松江·期中）用配方法将一元二次方程变形为的形式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是配方法，根据完全平方公式配方即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是配方法解方程的步骤．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 故答案为：， 25．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ，． 【易错必刷六 公式法解一元二次方程】 26．（24-25八年级上·上海静安·期中）若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式得出a，b，c的值，即可得出答案． 【详解】解：∵的一元二次方程的根为 ∴，，， ∴这个方程是， 故选：C． 27．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 28．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）解方程，得 ， ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程，求出方程的根即可． 【详解】解：方程整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：， 29．（24-25八年级上·上海松江·单元测试）已知关于的一元二次方程中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由判别式列式解方程，根据一元二次方程及，得到关于的一元二次方程，直接开平方即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程中，， ，则，解得， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·上海松江·期中）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)此方程无实数根 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是先将方程化为一般形式（），计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定、、，计算，因，代入求根公式得两个相等实数根； （2）先将方程展开整理为一般形式，确定、、，计算，代入求根公式得两个不相等实数根； （3）先将方程整理为一般形式（或化简为），确定、、，计算，判断方程无实数根． 【详解】（1）解：方程为一般形式，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：． （2）解：展开整理为一般形式：， 即，，，，， 代入求根公式：， 故方程的根为：，． （3）解：整理为一般形式：（化简：），，，，， ∵判别式小于0， ∴此方程无实数根． 【易错必刷七 换元法解一元二次方程】 31．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）已知，则＝（　　） A．6 B．9 C．19 D．11 【答案】A 【分析】由题意先设x＝，则方程即可变形为x(x﹣4)＝12，解方程即可求得x即的值． 【详解】解：设x＝，则x(x﹣4)＝12， ， 整理，得 (x﹣6)(x+2)＝0， 解得=6，=﹣2(舍去)， 故＝6． 故选A． 【点睛】本题主要考查了换元法，解决本题的关键是把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 32．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）关于x的方程a (x+m)2+bx-c=0的根是x1=-2， x2=1 (a、m、b、c均为常数，a≠0)，则方程a (x+m-1) 2+b (x-1) =c的根是(     ) A．x1=-1， x2=2 B．x1=-2， x2=1 C．x1=2， x2=1 D．x1=-2， x2=-1 【答案】A 【分析】利用整体的方法把方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c看作关于x-1的一元二次方程，则利用关于x的方程a（x+m）2+bx-c=0的根是x1=-2，x2=1，于是得到x-1=-2或x-1=1，然后分别解两个一次方程即可． 【详解】解：把方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c看作关于2x-1的一元二次方程， 而关于x的方程a（x+m）2+bx-c=0的根是x1=-2，x2=1， 所以x-1=-2或x-1=1， 所以x1=-1，x2=2． 所以方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c的根为x1=-1，x2=2． 故选A． 【点睛】此题考查了特殊方法解一元二次方程，正确理解两个方程的关系是解题的关键． 33．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，利用因式分解法解得或（舍去），则． 【详解】解：设，则原方程为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·上海松江·课后作业）若实数a，b满足(2a+2b)(2a+2b﹣2)﹣8=0，则a+b= ． 【答案】﹣1或2 【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值． 【详解】设a+b=x，则由原方程，得 2x（2x﹣2）﹣8=0， 整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0， 分解得：（x+1）（x﹣2）=0， 解得：x1=﹣1，x2=2． 则a+b的值是﹣1或2． 故答案是：﹣1或2． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 35．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）阅读材料并解答下列问题．解方程：，设则原方程变形为．当m=1时，解得 当m=2时，解得所以原方程的解为解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．这种方法叫换元法．请你利用上述方法解答下列问题． (1)解方程： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， ∴， ∴， ∴或 ∴或， ∴或， ∴； （2）， ∴， 设，方程转化为：， ∴， ∴或， ∴或； ∴（舍去）或； ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解方程，是解题的关键． 【易错必刷八 根据一元二次方程根的情况求参数】 36．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 37．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若关于x的一元二次方程 用下面选项中的数替换k，使方程没有实数根的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根，计算判别式并解不等式即可确定k的范围，进而选择符合的选项． 本题考查了根的判别式的应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴， 当时，方程无实数根，即， 当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 故选：A． 38．（24-25八年级上·上海普陀·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意构建不等式求解．根据方程没有实数根，得到，构建不等式求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（2025·上海松江·模拟预测）填写二次方程 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根． 【答案】0 【分析】本题主要考查了根的判别式的知识．设这个常数项为a，则这个一元二次方程为，根据方程有两个不相等的根，求出a的取值范围即可． 【详解】解：设这个常数项为a，则这个一元二次方程为， ∵此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，即， ∴这个常数项为小于的任意一个数即可，可为0， 故答案为：0（答案不唯一） 40．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算题 (1)解方程（公式法） (2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可； （2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解： 移项：， ，，， ∵ ∴， 解得：，； （2）解：因为关于x的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 又因为是一元二次方程， 所以， 所以 综合知，m的取值范围是且． 【易错必刷九 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 41．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：由题意，得， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 42．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B， 43．（24-25八年级上·上海崇明·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】33 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．根据根的判别式的定义，计算的值即可． 【详解】解：由得， ，，， ． 故答案为：33 44．（2025·上海普陀·模拟预测）已知三个实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】方程有两个实数解 【分析】利用已知条件得到，再计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义可判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴方程有两个实数解． 故答案为：方程有两个实数解． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 45．（24-25八年级上·上海长宁·期中）已知：关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根； 【答案】见详解 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明判别式的在大于等于0即可． 【详解】证明： ， 该方程总有两个实数根． 【易错必刷十 一元二次方程的根与系数的关系】 46．（25-26八年级上·上海松江·阶段练习）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故选：C． 47．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 48．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求得和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为． 49．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， （1）的取值范围是 ； （2）若，则m的值为 ． 【答案】 且 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据，且，可得答案； 对于（2），根据一元二次方程根与系数的关系得，再整理，并代入求出解即可. 【详解】解：（1）由题意知，，且， 解得，且， 的取值范围是，且. 故答案为：，且； （2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ 整理得：， 解得： 由知，，且， ， 故答案为： 50．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则______， ． 【拓展设问】求的值． 【答案】4，．的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值．先求出和的值，再整体代入到代数式计算即可求解． 【详解】解：∵若m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：4，．的值为． 【易错必刷十一 一元二次方程的应用综合应用】 51．（2025·上海宝山·模拟预测）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 52．（25-26八年级上·上海金山·开学考试）两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， 那么， 求出n再求奇数即可． 【详解】解：设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， ， 解得：或， 当时 奇数为15， 17； 当时奇数为， ． 故选：C． 53．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，分别求出第一轮和第二轮传染后患流感的人数，即得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数为：，第二轮传染后患流感的人数为：，经过两轮传染后共有81人患了流感，可列方程为：． 故答案为：． 54．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小王家今年月份的用电量情况如图所示，则月到月之间月用电量的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设月到月之间月用电量的增长率为，由折线统计图可知月份用电量为千瓦时，月份用电量为千瓦时，可列方程，解方程求出值即为增长率． 【详解】解：设月到月之间月用电量的增长率为， 根据题意得：， 解得：， ， 答：月到月之间月用电量的增长率为． 故答案为：． 55．（24-25八年级上·上海金山·开学考试）随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，则每件成本的平均降低率是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程，解出方程即可， 【详解】解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：， 解得：，(舍去）， 答：每件成本的平均降低率是． 学科网（北京）股份有限公司 $