专题05 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第05讲 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 由一元二次方程的解求代数式值 题型七 换元法解一元二次方程 题型八 一元二次方程根与系数的关系计算 题型九 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解方程∶ 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）用适当的方法解方程： 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3) 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 7．（24-25八年级上·上海长宁·随堂练习）解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 8．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）已知一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解出这个方程． 9．（24-25八年级上·上海普陀·期中）小华解方程的过程如下： 解：移项，得，    第一步 根据平方根的意义，得，    第二步 由此可得，    第三步 小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 10．（24-25八年级上·上海青浦·期末）（1）计算 ①；     ② （2）用适当的方法解下列方程 ①； ② 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25八年级上·上海宝山·期末）解方程：． 12．（24-25八年级上上海闵行·期末）用配方法解方程：． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）解方程： (1)． (2)． (3) (4)． 15．（24-25八年级上·上海金山·期中）解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 16．（24-25八年级上·上海闵行·期中）解方程 (1) (2) (3) 17．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解方程 (1)； (2)． (3)； (4)． 19．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 22．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 23．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）解方程： (1)． (2)． 24．（24-25八年级上·上海静安·期中）解方程： (1) (2) 25．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）用公式法解关于的方程： (1) (2) 26．（24-25八年级上·上海闵行·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（24-25八年级上·上海长宁·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 28．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 29．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 30．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 32．（24-25八年级上·上海青浦·期末）解方程：． 33．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）解一元二次方程． 34．（24-25八年级上·上海普陀·期末）解方程： (1)； (2)． 35．（24-25八年级上·上海崇明·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 36．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 37．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4)                                                                                                                                   38．（24-25八年级上上海松江·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 39．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）先化简，再求值：，其中满足． 40．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）对于任意实数，，定义一种新运算“△”，规定：，若，求的值． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25八年级上·上海宝山·期中）用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（因式分解） 42．（24-25八年级上·上海静安·期中）用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 43．（24-25八年级上·上海宝山·期末）按要求解下列方程： (1)（任选一种方法） (2)（配方法） 44．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 45．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 46．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）用合适的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)；（公式法） (4)．（配方法） 47．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 48．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）用指定的方法解下列方程 (1)(直接开平方法) (2)(十字相乘法) (3)(配方法 ) (4)(公式法) 49．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程． (1) (2) 50．（24-25八年级上·上海静安·期末）计算：（1）2﹣6+3； （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2； 用指定方法解下列一元二次方程： （3）x2﹣36=0（直接开平方法）； （4）x2﹣4x=2（配方法）； （5）2x2﹣5x+1=0（公式法）； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0（因式分解法） 【经典计算题六 由一元二次方程的解求代数式值】 51．（24-25八年级上·上海闵行·期末）（1）计算：； （2）求满足条件的x值：（x﹣1）2＝4． 52．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知代数式与代数式的值相等，求的值． 53．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）若代数式的值与的值相等，求x的值． 54．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知，若的值比的值大1，求满足条件的值． 55．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）关于x的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及m值． 56．（24-25八年级上·上海宝山·期末）（1）用适当方程解一元二次方程：； （2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 57．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根： (1)填空：_____； _____． (2)求代数式的值． 58．（2025·上海宝山·模拟预测）已知方程是关于x的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程无实数根，请计算后写出一个满足条件的k值． 59．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 60．（24-25八年级上·上海金山·期末）特值验证： 当，0，1，2，5，…时，计算代数式的值，分别得到5，2，1，2，17，…．当x的取值发生变化时，代数式的值却有一个确定的范围，通过多次验证可以发现它的值总大于或等于1，所以1就是它的最小值． 变式求证： 我们可以用学过的知识，对进行恒等变形：．（注：这种变形方法可称为“配方”） ，．所以无论x取何值，代数式的值不小于1，即最小值为1． 迁移实证： （1）请你用“配方”的方法，确定的最小值为3； （2）求的最大值． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．（2025·上海青浦·模拟预测）（1）解方程：． （2）方程的解是． 62．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）利用换元法解方程． 63．（24-25八年级上·上海闵行·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 64．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）解下列关于的方程： (1)（用配方法）； (2)． 65．（24-25八年级上·上海普陀·期末）利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 66．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 67．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 68．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 69．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 70．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【经典计算题八 一元二次方程根与系数的关系计算】 71．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 72．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 73．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 74．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知和是方程的两根，求的值． 75．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 76．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 77．（2025·上海宝山·模拟预测）已知． (1)化简； (2)若，是方程的两个根，求的值． 78．（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值． 79．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 80．（24-25八年级上·上海长宁·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【经典计算题九 一元二次方程的新定义运算】 81．（24-25八年级上·上海崇明·期中）解方程： (1)． (2)规定一种新运算，已知，求的值． 82．（24-25八年级上·上海松江·期中）对于实数，我们定义一种运算“”为： 化简：； 解关于的方程 83．（24-25八年级·上海长宁·课后作业）定义新运算“”，规则是. （1）计算的值； （2）求方程的解. 84．（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 85．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 86．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 87．（24-25八年级上·上海普陀·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m※n＝m2n+2m﹣n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如﹣3※2＝（﹣3）2×2+2×（﹣3）﹣2＝10，根据以上知识解决问题： （1）计算2※（﹣3）的值； （2）若x※1的值等于2，求x的值． 88．（24-25八年级上·上海青浦·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 89．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则， (1)计算：________； (2)判断是否为一元二次方程，并求解． (3)判断方程的根是否为，，并说明理由． 90．（24-25八年级上·上海松江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 由一元二次方程的解求代数式值 题型七 换元法解一元二次方程 题型八 一元二次方程根与系数的关系计算 题型九 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ∴． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：． 【答案】当时，方程无实数根；当时，；当时，，． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．先移项得：，即，再进行讨论当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解： 移项可得：，即， 当时，，因为实数的平方都大于等于0，所以此时方程无实数根； 当时，方程为，解得：； 当时，，解得：，； 综上，当时，方程无实数根；当时，；当时，，． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）先移项，再提取公因式即可解出方程； （2）利用配方法解方程即可； （3）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∴， ∴， 解得：． 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 6．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）由已知方程可得两个关于的一元一次方程，解之即可得出答案； （2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）直接开平方法求解即可； （4）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解：， ， 则或， 解得，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， 或， 解得，． 7．（24-25八年级上·上海长宁·随堂练习）解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）利用公式法求解即可． （3）利用公式法求解即可． （4）利用直接开平方法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法和配方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, 故 在这里， ∴， 解得，． （2）解：∵， 在这里， ∴， 解得，． （3）解：， 移项，得． 在这里， ∴， 解得，． （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 8．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）已知一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解出这个方程． 【答案】取时， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键掌握开平方法解方程，先选择的值，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：根据一元二次方程可知，当时可用直接开平方法， ∴， 则，即， ， 解得：． 9．（24-25八年级上·上海普陀·期中）小华解方程的过程如下： 解：移项，得，    第一步 根据平方根的意义，得，    第二步 由此可得，    第三步 小华的解答从第______步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】二，解答过程见解析 【分析】本题考查了利用平方根的定义解一元二次方程，先把移到右边，再根据平方根的意义开方，最后求出方程的解即可，理解平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：小华的解答从第二步开始出错， 故答案为：二， 正确的解答过程为： 移项，得， 根据平方根的意义，得， 由此可得，． 10．（24-25八年级上·上海青浦·期末）（1）计算 ①；     ② （2）用适当的方法解下列方程 ①； ② 【答案】（1）①15；②；（2）①，；②，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程的知识，掌握利用配方法和公式法解一元二次方程，是解答本题的关键． （1）①根据二次根式的乘除运算法则计算即可；②根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）①利用直接开平方法即可求解；②利用公式法即可求解． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①， 开方得， 解得：，； ②， 即，，， 则方程判别式为：， 即方程有两个不相等的解， 即：， 则有：，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25八年级上·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法解方程即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 12．（24-25八年级上上海闵行·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）先移项得，再配方得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）解方程： (1)． (2)． (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)， (3)， (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． （1）移项后利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法解方程，两边同时加9，方程可化为，即可解方程； （3）利用配方法解方程，两边同时加3，方程可化为，即可解方程； （4）移项后可得，再利用因式分解法即可解方程． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴ ∴ ∴， ∴，； （3）解： ∴ ∴ ∴， ∴，； （4）解： ∴ ∴，即 ∴，． 15．（24-25八年级上·上海金山·期中）解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： （2）解： ， 或， 解得： （3）解： ∴ ， 或， 解得： 16．（24-25八年级上·上海闵行·期中）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ 解得； （2） 或 解得，； （3） ∴或 解得，． 17．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）先展开，变成一般式，因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； ∴； （2） ， ∴； （3） ， ∴； （4） ， ∴． 18．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解方程 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （4）把看做一个整体，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 19．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)无实数根 (5)， (6) 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法、公式法及解一元一次方程． （1）移项后分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （2）分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （3）配方后直接开平方，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （4）整理成一般式，求得，则原方程无实数根； （5）移项后分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． （6）整理后得到，系数化为即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ，； （3）解：， ， ， ，． （4）解：， ， ，，， ， 原方程无实数根； （5）解：， ， 或 ，； （6）解：， ， ， ． 20．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的取值范围是解决本题的关键． 先判断方程的跟的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ，，， ， ， ，． 22．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键：包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 23．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据公式法分解因式即可； （2）根据因式分解法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴或， ∴，． 24．（24-25八年级上·上海静安·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法求一元二次方程，公式法解一元二次方程，利用公式法要准确找出、、的值，解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 这里 ， ， ； （2）解： ， ， ，或 解得：． 25．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）用公式法解关于的方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题关键是先利用判别式判断是否有根． （1）先将方程化为一般形式，再计算判别式，确定有根后，然后根据公式法即可求出答案； （2）先计算判别式，确定有根后，再根据公式法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ，，， ， ； 或； （2）， ，，， △ ， 或． 26．（24-25八年级上·上海闵行·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 解得， （2）解： ， 解得， （3）解：，， 解得， （4）解： ， ， ， 解得， 27．（24-25八年级上·上海长宁·随堂练习）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 28．（24-25八年级上·上海宝山·期中）计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）， 【分析】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握二次根式的相关运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减； （2）利用二次根式的混合运算法则计算即可， （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ， 或， 解得：，； （4）， 其中，，，， ∴， ∴，． 29．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 30．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， ∴，． 32．（24-25八年级上·上海青浦·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键． 通过移项、提公因式，先将原方程化为，再运用因式分解法解此方程即可得出结果． 【详解】解：， 原方程可化为：， 分解因式，得， 则或， 解得，． 33．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）解一元二次方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： 或， 解得，． 34．（24-25八年级上·上海普陀·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法因式分解，解方程即可； （2）利用公式法，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ，． 35．（24-25八年级上·上海崇明·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：． 36．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各中方法：直接开平方法、配方法，公式法，因式分解法． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）移项后，用公式法求解即可； （3）利用直接开平方法求解. 【详解】（1）解： ， ， 或， ∴，． （2）解： ， ， ∴， ∴，． （3） ∴，． 37．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）首先整理成一般形式，再用因式分解法解方程即可； （2）方程为一般形式，左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． （3）用直接开平方法解方程即可； （4）移项，提取公因式，即可得到，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）；                                                                     ∴； （2） ； ∴； （3）；                                                                       ∴ （4） ∴． 38．（24-25八年级上上海松江·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 39．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】；当时，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值及解一元二次方程．先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再解一元二次方程，得出的值，最后根据分式有意义的条件确定的值，代入所得最简结果，计算即可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 当时，原式． 40．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）对于任意实数，，定义一种新运算“△”，规定：，若，求的值． 【答案】的值是或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键． 依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论． 【详解】解：由题意， 即， 整理，得， 即， 解得：，. ∴的值是或． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25八年级上·上海宝山·期中）用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（因式分解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键． （1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可； （2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 42．（24-25八年级上·上海静安·期中）用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握指定的解法是解题的关键． （1）按照配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可； （2）按照因式求解法解一元二次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：（1） ∵， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴；． 43．（24-25八年级上·上海宝山·期末）按要求解下列方程： (1)（任选一种方法） (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一除，二移，三配，四变形，五开方的步骤，进行求解即可. 【详解】（1）解：将原方程化为一般形式，得 即： ∴ ∴ ∴； （2）解：， ， ∴. 44．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 45．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 46．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）用合适的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)；（公式法） (4)．（配方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：移项得，， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 47．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 48．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）用指定的方法解下列方程 (1)(直接开平方法) (2)(十字相乘法) (3)(配方法 ) (4)(公式法) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）运用十字相乘法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：直接开方得：， 即或， 解得：，； （2）整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （3）移项得：， 配方得：， 即， 直接开方得：， 即或， 解得：，； （4）移项得：， ， ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 49．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ，， ，． 50．（24-25八年级上·上海静安·期末）计算：（1）2﹣6+3； （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2； 用指定方法解下列一元二次方程： （3）x2﹣36=0（直接开平方法）； （4）x2﹣4x=2（配方法）； （5）2x2﹣5x+1=0（公式法）； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0（因式分解法） 【答案】（1）14；（2）31﹣12；（3）x1=﹣6，x2=6；（4）x1=2﹣，x2=2+；（5）x1=，x2=；（6）x1=x2=﹣5． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算； （3）直接开平方法求解； （4）配方法求解可得； （5）公式法求解即可； （6）因式分解法解之可得． 【详解】解：（1）2﹣6+3 =4﹣6×+3×4 =2+12 =14； （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2 =6﹣5+12+18﹣12 =31﹣12．   （3）x2=36， ∴x=±6， 即x1=﹣6，x2=6； （4）x2﹣4x+4=2+4， 即（x﹣2）2=6，   ∴x﹣2= ， ∴x1=2﹣ ，x2=2+ ； （5）∵a=2，b=﹣5，c=1， ∴b2﹣4ac=25﹣8=17＞0，          ∴x=  ， 即x1= ，x2= ； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0 （x+1+4）2=0， 即（x+5）2=0， ∴x+5=0， 即x1=x2=﹣5． 故答案为（1）14；（2）31﹣12；（3）x1=﹣6，x2=6；（4）x1=2﹣，x2=2+；（5）x1=，x2=；（6）x1=x2=﹣5． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 【经典计算题六 由一元二次方程的解求代数式值】 51．（24-25八年级上·上海闵行·期末）（1）计算：； （2）求满足条件的x值：（x﹣1）2＝4． 【答案】（1）﹣1；（2）x1＝3，x2＝﹣1． 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义计算； （2）根据平方根的定义解方程． 【详解】解：（1）＝﹣3+2＝﹣1； （2）（x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x＝±2+1， x1＝3，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握立方根、算术平方根的定义、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 52．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知代数式与代数式的值相等，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查代数式的计算，掌握因式分解法求代数式的值是关键． 根据题意得到，运用因式分解法整理得，由此即可． 【详解】解：代数式与代数式的值相等， ∴， ∴， ∴， 提取公因式得，，即， ∴或， 解得，或． 53．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）若代数式的值与的值相等，求x的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的一元二次方程的解法成为解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程，然后运用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，整理得：， ∵， ∴． ∴x的值为或． 54．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知，若的值比的值大1，求满足条件的值． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，根据题意得：，整理得，然后利用因式分解法解方程即可得到的值． 【详解】解：，的值比的值大1， ， ， 化简得： 或 即或． 55．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）关于x的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及m值． 【答案】方程的另一个根是4，m的值是 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题的关键． 把代入方程，求得．再用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得， 把代入方程，得：． 解方程得：，． ∴方程的另一个根是4，m的值是． 56．（24-25八年级上·上海宝山·期末）（1）用适当方程解一元二次方程：； （2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 【答案】（1）；（2），或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用根与系数的关系得到，再由得到，则，解得，则原方程为，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或； 57．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根： (1)填空：_____； _____． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）由，是一元二次方程的两个实数根，则根据，求值即可． （2）将化成，即可求解． 【详解】（1）由一元二次方程可知， ， ． （2）． 58．（2025·上海宝山·模拟预测）已知方程是关于x的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程无实数根，请计算后写出一个满足条件的k值． 【答案】(1) (2)5（答案不唯一） 【分析】（1）把代入原方程，利用因式分解法解方程即可； （2）根据方程没有实数根，列出不等式，根据不等式的解集写出k值即可． 【详解】（1）解：把代入原方程得， ， ， ， ． （2）解：∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 满足条件的k值为5（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题关键是熟练运用因式分解法解方程，熟记根的判别式． 59．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． （1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【详解】（1）解： 时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2）解： ， 60．（24-25八年级上·上海金山·期末）特值验证： 当，0，1，2，5，…时，计算代数式的值，分别得到5，2，1，2，17，…．当x的取值发生变化时，代数式的值却有一个确定的范围，通过多次验证可以发现它的值总大于或等于1，所以1就是它的最小值． 变式求证： 我们可以用学过的知识，对进行恒等变形：．（注：这种变形方法可称为“配方”） ，．所以无论x取何值，代数式的值不小于1，即最小值为1． 迁移实证： （1）请你用“配方”的方法，确定的最小值为3； （2）求的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为 【详解】试题分析：（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得证；（2 ）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案． 试题解析：（1）证明： ， . 所以得最小值为3. （2） 所以的最大值为． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．（2025·上海青浦·模拟预测）（1）解方程：． （2）方程的解是． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程和无理方程，解题的关键是掌握换元法和解无理方程需检验． （1）用因式分解法解方程即可； （2）设，可得，故，，当时，，当时，，再检验即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2），则， ， 解得：， 当时，，经检验，是原方程的增根， 当时，，经检验，是原方程的解， 62．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）利用换元法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 63．（24-25八年级上·上海闵行·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）1或． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设，则有， ，即或， ，， 的值为1或． 64．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）解下列关于的方程： (1)（用配方法）； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 设，则原方程可变为： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：，； ∴原方程的解为：，，，． 65．（24-25八年级上·上海普陀·期末）利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 66．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 67．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， ． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为：，． 68．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 69．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 70．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 【经典计算题八 一元二次方程根与系数的关系计算】 71．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键． （1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可； （2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 则，； （2）解：， 整理得：， 则，． 72．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【详解】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 73．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 各小题利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，是的两根， 则，； （2）解：变形为， 设，是的两根， 则，； （3）解：设，是的两根， 则，； （4）解：变形为， 设，是的两根， 则，． 74．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知和是方程的两根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系，得到，将代数式利用完全平方公式进行变形后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵和是方程的两根， ∴， ∴ ． 75．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 【答案】（1），；（2）①1；② 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）运用因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ． 76．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 【答案】6069 【分析】本题考查根与系数的关系．方程的两根分别为，，利用根与系数的关系确定，的值，代入即可求得． 【详解】解：由题意可知，， ． 77．（2025·上海宝山·模拟预测）已知． (1)化简； (2)若，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系； （1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴ ∴ 78．（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，． （1）由此方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，即可求得答案； （2）由此方程的两根互为倒数，可得，继而求得答案． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 的取值范围为：； （2）解：方程的两个实数根互为倒数， 又， ， ． 79．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据判别式的意义得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，加上，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：，， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 80．（24-25八年级上·上海长宁·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)0． 【分析】（1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，结合新定义与根与系数的关系可求解； （2）先解方程可得，再结合新定义分两种情况求解代数式的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为， ∴由根与系数的关系得，， 解得，，即一个根为1，另一个根为2， ． （2）， ， 当时，，原式， 当时，，原式． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，求解代数式的值，掌握基础知识是解本题的关键． 【经典计算题九 一元二次方程的新定义运算】 81．（24-25八年级上·上海崇明·期中）解方程： (1)． (2)规定一种新运算，已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法步骤是解题关键． （1）移项，去系数同时开方即可求解； （2）由新运算列出关于的代数式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项得：， 去系数得：， 两边同时开方可得：， 解得：； （2）由题意可得 ， 整理得: , 解得: ． 82．（24-25八年级上·上海松江·期中）对于实数，我们定义一种运算“”为： 化简：； 解关于的方程 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题目定义的运算利用乘法公式化简原式； （2）列出方程，用配方法解一元二次方程． 【详解】解：（1）∵， ； （2）， ， ， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方法的方法． 83．（24-25八年级·上海长宁·课后作业）定义新运算“”，规则是. （1）计算的值； （2）求方程的解. 【答案】（1）24（2）， 【分析】（1）按照定义直接代数数据计算即可；（2）按照定义列出关于x的方程，解出即可． 【详解】（1） （2）     解得， 【点睛】本题为新型定义题，按照定义代入数据或代数式即可． 84．（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 85．（24-25八年级上·上海静安·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 86．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）用适当的方法解下列方程， (1)①     ② (2)定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，求的值． 【答案】(1)①，；②， (2)2或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）①利用公式法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）（1）① ，， ∴ 解得，； ② ， 解得，； （2）根据题意得， 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 当时，即时， ∵ ∴ 解得或（舍去）； 综上所述，的值为2或． 87．（24-25八年级上·上海普陀·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有m※n＝m2n+2m﹣n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如﹣3※2＝（﹣3）2×2+2×（﹣3）﹣2＝10，根据以上知识解决问题： （1）计算2※（﹣3）的值； （2）若x※1的值等于2，求x的值． 【答案】（1）﹣5；（2）x1＝1，x2=-3 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）根据题中的新定义得： 2※（﹣3）=22×（﹣3）+2×2-（-3） ＝﹣12+4+3 ＝﹣5； （2）已知等式利用题中的新定义化简得：x2+2x﹣1＝2， 因式分解得：（x-1）（x+3）=0， 即x1＝1，x2=-3． 【点睛】此题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 88．（24-25八年级上·上海青浦·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 【答案】是，见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键．先根据直接开平方法和因式分解法分别解两个方程，再根据定义比较即可得出答案． 【详解】解：① 或 ， ② 或 ， 两个方程有且只有一个相同的实数根 这两个方程是“同伴方程”． 89．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则， (1)计算：________； (2)判断是否为一元二次方程，并求解． (3)判断方程的根是否为，，并说明理由． 【答案】(1) (2)是一元二次方程， (3)不是，理由见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1） 故答案为： （2） 是一元二次方程 解得： （3）的根不是， ，则，即 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 90．（24-25八年级上·上海松江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$