精品解析：长春市第八十七中学2025-2026学年八年级上学期（小班）第一次月考数学试卷

九月份自我检测 八年数学（前） 一、选择题 1. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为米，该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2. 若分式无意义，则x的值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案． 【详解】解：若分式无意义，则， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 3. 若分式的值为0，则的取值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是关键． 根据分式的值为零，分式的分子为0，分母不为0解答． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 此时，， 故选：D． 4. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 约分的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的约分是解题的关键．分子分母同时约去即可． 【详解】解：． 故选：B． 6. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是最简分式 D. 若分式的值为0，则x的值为 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式值为0的情况，解题的关键是熟知分式的特点与性质．根据分式的基本性质和最简分式的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A选项：，当时，分母，分式无意义，而原式可能有意义（），因此等式不总成立，错误，不符合题意； B选项：，若分式有意义（即且），分子分母同时约去非零整式，等式成立，正确，符合题意； C选项：，分母可分解为，分子与分母有公因式（时），可约分为，因此不是最简分式，错误，不符合题意； D选项：若，则分子解得或，但分母，排除，故，选项给出，错误，不符合题意； 故选：B． 7. 分式，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答． 【详解】解：∵的分母是x，的分母是(x2-1)，即(x+1)(x-1)；的分母是x+1， ∴分式，，的最简公分母是x(x+1)(x-1),即为x(x2﹣1)． 故应选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，准确地将各个分式中的分母进行因式分解是解题的关键． 8. 下列图象不能表示为的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义及图象，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：由图象可知，C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系； A，B，D的图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系． 故选：C． 9. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且x≠1 D. 且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0且分母不能为0，列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，2x﹣1≥0， 解得x≥． x﹣1≠0， 解得x≠1， ∴x≥且x≠1， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 10. 某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有名战士，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这个哨卡共有x名战士，根据每人分的数量=礼品总数÷人数，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设这个哨卡共有x名战士， 则第一次每人分的苹果数为：个， 第二次每人分的苹果数为：个， 由于第二次每人比第一次多分1个，故方程为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 二、填空题 11. 课间操时，小华，小军，小刚的位置如图．若小华的位置用表示，小军的位置用表示，则小刚的位置用坐标表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据小军和小刚的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案． 【详解】解：由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系： 小刚的位置用坐标表示为（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应，记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 12. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a＋2b，a＋1），则a＋b =________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2b+2a+1=0，然后再整理可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上， 因此2b+a=-(a+1)， 即：a+a+2b=-1 即a+b= 故答案为：． 【点睛】此题考查坐标与图形性质，作图-基本作图，解题关键在于掌握作图法则． 13. 已知点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查点到两坐标轴的距离特征，熟练掌握点到两坐标轴的距离特征是解题的关键； 点到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出的值，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数， ∴分以下两种情考虑： ①横纵坐标相等时，即当时，解得， ∴点的坐标是； ②横纵坐标互为相反数时，即当时，解得， ∴点的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 故答案为：或． 14. 若关于x的方程无解，则m的值为__． 【答案】-1或5或 【解析】 【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案. 【详解】去分母得：， 可得：， 当时，一元一次方程无解， 此时， 当时， 则， 解得：或. 故答案为：或或. 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键. 15. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息： x的取值 q 分式的值 无意义 0 3 则q的值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由表格中的数据，结合分式值无意义及分式值为0的条件可求解，值，即可求解分式，利用时，，计算可求解． 【详解】解：由表格可知：当时，且当时，， 解得，， 分式为， 当时，， 解得， 经检验，是分式的解， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查分式的值，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解分式方程，求解，值是解题的关键． 16. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分式混合运算，掌握其运算法则是管家． （1）先通分后因式分解，再化简； （2）先通分后因式分解，再化简； （3）除以一个数等于乘它的倒数，因式分解后约分即可； （4）先算乘除后算加减； （5）先算小括号，再算乘除约分即可； （6）先算小括号，再算乘除约分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 【小问5详解】 解： ． 【小问6详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 20. 已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 21. 甲、乙两地相距600千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早1个小时到达乙地，求两辆车的速度． 【答案】货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时． 【解析】 【分析】设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2x千米/时，根据时间=路程÷速度结合小汽车比货车少用1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设货车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为1.2千米/时， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，， ∴． 答：货车的速度为100千米/时，小汽车的速度为120千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22. 某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？ （2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ （3）哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 【答案】（1）打折前每本笔记本的售价是4元 （2）一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件 （3）方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设打折前售价为x，则打折后售价为，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本m本，则购买笔袋件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可； （3）分别计算出三种方案的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设打折前每本笔记本的售价是x元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：打折前每本笔记本的售价是4元； 【小问2详解】 解：设购买笔记本m本，则购买笔袋件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为68或69或70， ∴一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件． 【小问3详解】 解：方案一的费用元， 方案二的费用元， 方案三的费用元， ∵， ∴方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元． 23. 如图在直角坐标平面内，已知点与点，将点向右平移7个单位到达点． （1）点的坐标是________；、两点之间距离等于________； （2）点的坐标是________；的形状是________； （3）写出点关于原点对称点的坐标（________）； （4）在轴上有一点，使得周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】（1），7 （2），等腰直角三角形 （3） （4） 如图，作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点， ∵， ∴， ∴当A、P、共线时，最小，即周长最短， ∴点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，点的平移规律，关于原点对称的点坐标，最短路径问题． （1）根据平面直角坐标系中点B的位置可得B点坐标，根据A、B两点横坐标相同，A、B两点之间距离等于A、B两点纵坐标的差的绝对值求出A、B两点之间距离； （2）根据点的坐标平移规律写出C点坐标，结合特殊三角形的判断方法确定的形状； （3）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点B关于原点O对称点的坐标； （4）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断此时周长最短，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：根据坐标位置得：点B的坐标是， ∵点， ∴， ∴A、B两点之间距离等于7； 【小问2详解】 解：∵点向右平移7个单位到达点， ∴点C的坐标是，， ∵， ∴的形状是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：∵点B的坐标是， ∴点B关于原点O对称点的坐标是； 【小问4详解】 略 24. 阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：. 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 【答案】（1）减小；减小 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【小问1详解】 解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小. 【小问2详解】 ∵， ∵当时，的值无限接近， ∴的值无限接近. 【小问3详解】 ∵， 又∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键. 25. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： 探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接求证：的面积为提示：过点D作BC边上的高DE，可证≌ 探究2：如图2，在一般的中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接请用含a的式子表示的面积，并说明理由． 探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接试探究用含a的式子表示的面积，要有探究过程． 【答案】 （1）证明：如图1，过点D作交CB的延长线于E， ， 由旋转知，，， ， ， ， 在和中， ， ≌ ， ， ； （2）的面积为， 理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E， ， 线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BE， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （3）的面积为． 【解析】 【分析】如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出≌，就有进而由三角形的面积公式得出结论； 如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出≌，就有进而由三角形的面积公式得出结论； 如图3，过点A作与F，过点D作的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出≌就可以得出，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】略 略 如图3，过点A作与F，过点D作的延长线于点E， ，， ， ， ， ， 线段BD是由线段AB旋转得到的， ， 在和中， ， ≌， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九月份自我检测 八年数学（前） 一、选择题 1. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为米，该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 若分式无意义，则x的值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 3. 若分式的值为0，则的取值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 5. 约分的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是最简分式 D. 若分式的值为0，则x的值为 7. 分式，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图象不能表示为的函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且x≠1 D. 且x≠1 10. 某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有名战士，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 课间操时，小华，小军，小刚的位置如图．若小华的位置用表示，小军的位置用表示，则小刚的位置用坐标表示为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a＋2b，a＋1），则a＋b =________． 13. 已知点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 _____． 14. 若关于x的方程无解，则m的值为__． 15. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息： x的取值 q 分式的值 无意义 0 3 则q的值是 _____． 16. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 21. 甲、乙两地相距600千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早1个小时到达乙地，求两辆车的速度． 22. 某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？ （2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ （3）哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 23. 如图在直角坐标平面内，已知点与点，将点向右平移7个单位到达点． （1）点的坐标是________；、两点之间距离等于________； （2）点的坐标是________；的形状是________； （3）写出点关于原点对称点的坐标（________）； （4）在轴上有一点，使得周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 24. 阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：. 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 25. 请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题： 探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接求证：的面积为提示：过点D作BC边上的高DE，可证≌ 探究2：如图2，在一般的中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接请用含a的式子表示的面积，并说明理由． 探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接试探究用含a的式子表示的面积，要有探究过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $