精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2025年9月高三数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的包含关系直接判断即可. 【详解】， 因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】 故选 ：C 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 5. 已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断. 【详解】函数的定义域为， 由是偶函数，得， 即，得函数的图象关于对称 由为奇函数，得， 得函数的图象关于点对称，所以， 由，令，得，故A项正确； 由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误； 由，令，得， 由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误． 故选：A 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用平方后可求得即，从而利用余弦定理求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，由此得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又是中点，所以，又， 所以， 即，解得（负值舍去）， 所以，则， 所以，即， 所以的外接圆面积为， 故选：A. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果． 【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况； 再排甲，也有3种情况； 余下3人有种排法．故共有种不同的情况． 故选：C. 8. 已知实数满足，，其中为自然对数的底数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求得，得到函数单调性，根据题意，得到且，结合单调性，即可求解. 【详解】设函数，其定义域为，且， 当时，可得，在上单调递增； 当时，可得，在上单调递减， 因为， 可得， 即且， 所以且，所以. 故选：D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 回归直线可以不经过样本中心 B. 可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 【答案】CD 【解析】 【分析】根据回归直线方程的特征，可判定A错误；根据相关系数的定义，可得判定B错误；根据残差图的性质，可得判定C正确；根据独立性检验的定义，可判断D正确. 【详解】A中，根据回归直线方程的特征，可得回归直线一定经过样本中心，所以A错误； B中，相关系数是用来刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强，所以B错误； C中，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以C正确； D中，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验， 根据独立性检验的定义，可得变量与有关联，且推断犯错误的概率不超过，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及由数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于，设其方程为，由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则为钝角，D正确. 故选：BD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断． 【详解】因为， 所以，即， 令，得，故A正确； 因为， 当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，假设成立， 求导得， 即，又， 所以，所以与矛盾，故C错误； 对于D，因为，， 所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】首先分析出存在有两项，然后分别求出这两项系数，相加即可. 【详解】根据题意,的项在的展开式中有两项， 分别为：和，即和， 则的系数为：. 故答案为：. 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 已知函数，，函数在处有极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）因在处有极值，则，得， 后检验满足题意即可； （2）由（1），利用导数可求得在上的最值． 【小问1详解】 由题，. 因在处有极值，则. 又时，，， 因时，，时，. 得在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处有极大值，满足题意，故. 【小问2详解】 当时，令，得， 令，得. 故在上单调递增，在上单调递减. 则， . 故函数在上的最大值为，最小值. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取中点，如图，连接， ∵是中点，∴且， 又，， ∴且， ∴是平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2） ∵，，，∴，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，， ， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距后结合已知可得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． （3） 若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 【解析】 【分析】（1）把代入函数化简解析式后求导，利用基本不等式求出导数最小值，再根据，解关于的不等式求出的最小值. （2）设为图象上任意一点，计算出，从而命题得证. （3）若，原命题等价于证明在区间上恒成立，通过换元法化简不等式，构造函数后求导，利用导数恒正得出函数单调递增，进而得出结论. 【小问1详解】 当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的值域，即为实数的取值范围； （3）设函数，由题意可知，在上单调递减，可知在上恒成立，由参变量分离法可得对时恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出整数的最小值. 【小问1详解】 解：当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 解：由，得， 令，其中， 则，其中， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． 所以，，所以，则的取值范围为． 【小问3详解】 解：因为、，且，， 所以， 设函数，则，可得在上单调递减， 所以在上恒成立，即对时恒成立． 设，则． 设，则，令，解得． 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增． ，， 当时，， ，则，， 所以存在，使得，即． 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值． ， 当时，， 又整数，所以的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 已知函数 （1）若恒成立，求实数a的取值集合； （2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：； （3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知 【答案】（1）； （2）由（1）知，，， 函数的定义域为，求导得， 由，解得，要证， 即证，只证， ， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 而，因此， 所以. （3）24. 【解析】 【分析】（1）将不等式变形为，构造函数并求出最大值，进而列式求出值. （2）求出函数，求出导函数的零点，再变形所证不等式并构造函数，利用导数借助单调性证得不等式. （3）利用（2）的信息证得，再构造函数，利用导数证得即可求出值. 【小问1详解】 函数，恒成立， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，由，得，即，因此，解得， 所以实数a的取值集合是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得函数在上单调递减，当时，， 由，得，则， 令函数，求导得，函数在上递减， ，函数在上单调递增，， 因此，即，从而， 又正整数n满足不等式，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月高三数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 8. 已知实数满足，，其中为自然对数的底数，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 回归直线可以不经过样本中心 B. 可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 四、解答题（共80分） 15. 已知函数，，函数在处有极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最值． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围； （3）若，、，且，，求的最小值． 19. 已知函数 （1）若恒成立，求实数a的取值集合； （2）在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：； （3）已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $