精品解析：辽宁省本溪市2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度（上）九年级阶段验收数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小． 利用零指数，负整数指数幂的运算法则，计算、、的值，再比较大小． 【详解】，， ． 故选：B． 3. 某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据每年的增长率相同，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】设旅游业的收入比上年增长的百分数为x， 根据题意得，． 故选：D． 4. 下列问题适合普查的是（ ） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全省九年级学生的视力情况 C. 神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 D. 了解黄河的水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可得答案． 【详解】解：A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； B、了解全省九年级学生的视力情况，范围广，人数众多，不易调查，适合抽样调查，不符合题意； C、神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，涉及安全性，事关重大，适合普查，符合题意； D、了解黄河的水质情况，范围广，不易调查，适合抽样调查，不符合题意； 故选：C。 5. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（ ） A. 摸出1个球是红球的概率是 B. 一次摸出2个球都是白球的概率是 C. 一次摸出4个球至少有2个是红球 D. 一次摸出2个球都是红球的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式解答即可． 【详解】A选项：摸出1个球是红球的概率是，说法正确，与题意不符； 一次摸出2个球的情况有：红1、红2；红1、红3；红1、白1；红1、白2；红2、红3；红2、白1；红2、白2；红3、白1；红3、白2；白1、白2共十种情况，其中一次摸出2个球都是白球的情况有1种，∴一次摸出2个球都是白球的概率是，故B选项说法正确，与题意不符；一次摸出2个球都是红球的情况有三种，故一次摸出2个球都是红球概率是，故D选项说法错误，符合题意；∵白球有2个，∴一次摸出4个球最少有2个是红球，故C选项说法正确，与题意不符． 故选D． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 6. 某校九年级甲乙两班参加综合素质测试，甲乙两班平均分相同，甲乙两班方差如下：，则成绩较为稳定的班级为（ ） A. 两班成绩一样稳定 B. 甲班 C. 乙班 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数据方差的统计意义，掌握方差的意义是解题的关键，属于基础题． 根据题意，由方差的意义要分析甲乙两个班级中方差应该比较小的班级，即可得出答案． 【详解】解：甲乙两班平均分相同，， ， ∴成绩较为稳定的班级是乙班， 故选：C． 7. 如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 8. 已知，点在边上，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 【详解】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．∵两边对应成比例，但不能说明对应的夹角相等， ∴不能判断，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 10. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题是在网格型图形中找相似三角形，设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【详解】解：设网格的边长为1．则． 连接， ． ∵， ∴． 同理可找到，和相似． 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．根据方程根的情况可得，又进而可求解； 【详解】解∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 若＝＝，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c＝________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据比例，可得b、c用a表示，根据解方程，可得a的值，根据代数式求值，可得答案． 详解：由＝＝，得：b=，c=． 把b=，c=，代入3a﹣2b+c=3，得：3a﹣2×+=3． 解得：a=﹣，b=﹣，c=﹣． 2a+4b﹣3c=2×（﹣）+4×（﹣）﹣3×（﹣） =﹣﹣+=． 故答案为． 点睛：本题考查了比例的性质，用字母a表示b、c，解方程求出a、b、c的值． 14. 如图，在中，、，斜边的垂直平分线交于点D，交的延长线于点，连接，则的长为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质和勾股定理的应用，是直角三角形，即满足勾股定理，设，由线段垂直平分线的性质得，，代入，求得，由勾股定理得．得，再由勾股定理得， 【详解】解：设， ∵是线段的垂直平分线且， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，, ∵垂直平分, ∴； 在中，， 故答案为：． 15. 如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是___________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，函数图像的认识，相似三角形的判定及性质． 由图像可知，再利用将军饮马和似三角形的判定及性质求最值即可． 【详解】解：由题得， 由图象得，， 取点E关于成轴对称的点G，如图，此时y取最小值， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：1． 三、解答题（本题共8小题，共75分．） 16. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中为满足的整数． 【答案】（1）；（2）；当时，原式，当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式的化简求值，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后再进行分式的减法运算，得最简结果后再选取所有合适的a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 则或， ∴． （2）， ， ， ∵，且为满足的整数 ∴可取0，1，3 当时，； 当时，原式； 当时，原式． 17. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个； （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，若所获利润不低于2171元，则该商店第二次至少批发了多少个种头盔？ 【答案】（1）A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个 （2）76个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“用去7200元钱，若所获利润不低于2171元”，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合、两种头盔的数量均为正整数，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个， 依意得：， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； 【小问2详解】 解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得， 又∵m，均为正整数， ∴m最小为76， 答：该商店第二次至少批发了76个A种头盔 18. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的男生为___________人，图中m的值为___________ （2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数． （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，估计该校320名男生中该项目良好的人数． 【答案】（1）， （2）本次调查获取的样本数据的众数为5次，中位数为6次； （3）该校320名男生中引体向上良好的人数约人． 【解析】 【分析】（1）用引体向上次数为4次的人数除以其占比，即可求得本次接受随机抽样调查的男生人数；用引体向上次数为6次的人数除以参与调查的学生总数并乘，即可得的值； （2）根据众数和中位数的定义，即可得本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）用该校八年级男生总人数乘参与调查的学生中引体向上6次及以上（含6次）的占比，计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次接受随机抽样调查的男生为人， ， ∴图中m的值为． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：本次调查的样本数据中，出现次数最多的是5， ∴众数为5次， 将本次调查获取的样本数据按照从小到大的顺序排列，排在第20和21位的为6和6， ∴中位数为（次）， 答：本次调查获取的样本数据的众数为5次，中位数为6次． 【小问3详解】 解：（人） 答：该校320名男生中引体向上良好的人数约人． 【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图，众数，中位数，用样本的频数估计总体． 19. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值． 解： 无论取何实数，总有． ， 即的最小值是-10． 即无论取何实数，的值总是不小于实数． 问题： （1）已知，则有___________（最大或最小）值为___________ 知识迁移： （2）如图，在Rt中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值． 【答案】（1）最大，4 （2）3 【解析】 【分析】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性进行判断即可； （2）先求S，再配方求最值． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴有最大值，为4． 故答案为：最大；4； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴, 即：当时，有最大值为3． 20. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形 ∴，，， ∵， ∴ 即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质及菱形的判定，熟知对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据证明是菱形； （2）证明，得出，由条件得出，，，由勾股定理求出，从而可求出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形 ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， ∴． 21. 某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． （1）若参加研学活动的学生共人，求学生人均研学费用； （2）若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 【答案】（1）学生人均研学费用为元 （2）学校这次到该景点参加研学活动的学生有人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列式计算即可； （2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，根据共支付给旅行社38940元其中随队的领队、教师共人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，（元）， 答：学生人均研学费用为元； 【小问2详解】 解：设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，则学生人均研学活动费用为： 元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：学校这次到该景点参加研学活动的学生有人． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为为的中点，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明． 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明． 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此▱的面积为5，边长，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）结论：． 理由：如图①中，作交于H． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）结论：． 理由：如图②中，连接． ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）结论：．如图1中，作交于H．证明垂直平分线段即可． （2）结论：．证明四边形是平行四边形，可得结论． （3）如图③中，过点D作于J，过点M作于T．根据，求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图③中，过点D作于J，过点M作于T． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： （1）将“翻折函数”写成分段函数的形式； （2）直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 （3）当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的增减性，求一次函数的自变量和函数值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值求出y关于x的函数关系式即可得到答案； （2）联立和可求出点A和点B的坐标，过点C作轴交于D，设，则，可得，分和两种情况，求出的长，根据可建立关于m的方程，解方程即可得到答案； （3）由函数解析式可得当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，则当时，y有最小值，再分，即时，，即时和，即时三种情况，分别求出函数的最大值与最小值，看最大值与最小值的差是否为定值即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：联立，解得，此时满足， 联立，解得，此时满足， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 如图所示，过点C作轴交于D，设，则， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点C的坐标为； 当时，， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值， 在中，当时，， 在中，当时，，当时，， 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 当，即时， 当时，则的最大值为4，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为，是定值，符合题意； 当，即时， 当时，则的最大值为，最小值为， ∴的最大值和最小值的差为， ∵的最大值和最小值的差为定值，而不是定值， ∴此种情形不成立； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）九年级阶段验收数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列问题适合普查的是（ ） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全省九年级学生的视力情况 C. 神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 D. 了解黄河的水质情况 5. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（ ） A. 摸出1个球是红球的概率是 B. 一次摸出2个球都是白球的概率是 C. 一次摸出4个球至少有2个是红球 D. 一次摸出2个球都是红球的概率是 6. 某校九年级甲乙两班参加综合素质测试，甲乙两班平均分相同，甲乙两班方差如下：，则成绩较为稳定的班级为（ ） A. 两班成绩一样稳定 B. 甲班 C. 乙班 D. 无法确定 7. 如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，点在边上，下列条件中，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的算术平方根是___________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 若＝＝，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c＝________． 14. 如图，在中，、，斜边的垂直平分线交于点D，交的延长线于点，连接，则的长为___________ 15. 如图，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接、，设的长为，点从点运动到点时，随变化的关系图像，图像最低点的横坐标是___________ 三、解答题（本题共8小题，共75分．） 16. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中为满足的整数． 17. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个； （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，若所获利润不低于2171元，则该商店第二次至少批发了多少个种头盔？ 18. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的男生为___________人，图中m的值为___________ （2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数． （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，估计该校320名男生中该项目良好的人数． 19. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值． 解： 无论取何实数，总有． ， 即的最小值是-10． 即无论取何实数，的值总是不小于实数． 问题： （1）已知，则有___________（最大或最小）值为___________ 知识迁移： （2）如图，在Rt中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值． 20. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，点E，F分别在线段上，且，连接并延长交于点，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． （1）若参加研学活动的学生共人，求学生人均研学费用； （2）若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为为的中点，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明． 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明． 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此▱的面积为5，边长，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 23. 定义：形如为用自变量表示的代数式，为常数）的函数叫做“翻折函数”．“翻折函数”本质是分段函数． 例如，可以将“翻折函数”写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： （1）将“翻折函数”写成分段函数的形式； （2）直线与（1）中“翻折函数”图像交于、两点（点在点的左侧），点在直线下方的“翻折函数”图象上，且，求出点坐标 （3）当时，（1）中“翻折函数”的最大值和最小值的差是定值，直接写出的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $