专题03 空间向量及其应用 （12大题型）（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题03 空间向量及其应用 题型1 空间向量加减、数乘运算（常考点） 题型7 空间向量平行的坐标表示 题型2 空间向量的数量积及其应用（重点） 题型8 空间向量垂直的坐标表示 题型3 空间向量共线、共面问题（重点） 题型9 向量法求空间距离（难点） 题型4用空间基底表示向量 题型10 向量求法求空间角（难点） 题型5 空间向量的坐标运算 题型11 与空间向量坐标表示有关解答综合题（难点） 题型6 空间向量模长的坐标表示 题型12 与空间角和空间距离有关解答综合题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量加减、数乘运算（共4小题） 1．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 3．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 4．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 题型二 空间向量的数量积及其应用（共10小题） 5．（23-24高二上·上海崇明·期中）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 7．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 8．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 9．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 10．（23-24高二上·上海长宁·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为 ． 11．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 13．（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，，，，为中点.    (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的大小； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 题型三 空间向量共线、共面问题（共7小题） 15．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 16．（24-25高二上·上海·期中）给出下列命题，其中真命题的个数是（   ） （a）若四棱锥底面是正方形，四个侧面都是等腰三角形，则该四棱锥是正四棱锥. （b）若三棱锥的顶点到的距离相等，则点在平面上的投影是三角形的外心. （c）若，且，则四点共面. （d）直线l与平面所成角为，平面经过直线l，设与所成的锐二面角大小为，则. A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 18．（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 19．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 20．（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 21．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 题型四 用空间基底表示向量（共2小题） 22．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 23．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．     题型五 空间向量的坐标运算（共3小题） 24．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 25．（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 26．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    题型六 空间向量模长的坐标表示（共2小题） 27．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知向量，则向量的单位向量 ． 28．（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 题型七 空间向量平行的坐标表示（共2小题） 29．（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 30．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 题型八 空间向量垂直的坐标表示（共2小题） 31．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知向量与垂直，则实数的值为 ． 32．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 题型九 向量法求空间距离（共8小题） 33．（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   34．（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 35．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 36．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 38．（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为 ． 39．（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 40．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 题型十 向量求法求空间角（共12小题） 41．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 42．（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 43．（24-25高二上·上海·期中）光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 . 44．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，. (1)求直线与平面所成的角的大小； (2)求直线与直线所成的角的大小. 45．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 46．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 47．（23-24高二上·上海·期中）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．    (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是；若不是，请说明理由； (3)若PD与平面ABCD所成角是30°，当BE等于何值时，二面角P﹣DE﹣A的大小为45°． 48．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． (1)求证：平面； (2)试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； (3)记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 49．（24-25高二上·上海静安·期中）如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小． 50．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． (1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围 (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 51．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 52．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 题型十一 与空间向量坐标表示有关解答综合题（共4小题） 53．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间中的三点，，，，. (1)当与垂直，求的值； (2)求的面积. 54．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 55．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 56．（24-25高二上·上海·期中）一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 题型十二 与空间角和空间距离有关解答综合题（共10小题） 57．（23-24高二上·上海·期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标. (2)求. 58．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 59．（24-25高二上·上海·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 60．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)求二面角的大小. 61．（23-24高二上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 62．（24-25高二上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 63．（24-25高二上·上海·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 64．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 65．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； (1)若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； (2)若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； (3)若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 66．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． $专题03 空间向量及其应用 题型1 空间向量加减、数乘运算（常考点） 题型7 空间向量平行的坐标表示 题型2 空间向量的数量积及其应用（重点） 题型8 空间向量垂直的坐标表示 题型3 空间向量共线、共面问题（重点） 题型9 向量法求空间距离（难点） 题型4用空间基底表示向量 题型10 向量求法求空间角（难点） 题型5 空间向量的坐标运算 题型11 与空间向量坐标表示有关解答综合题（难点） 题型6 空间向量模长的坐标表示 题型12 与空间角和空间距离有关解答综合题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量加减、数乘运算（共4小题） 1．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【详解】如图所示， . 故答案为：. 题型二 空间向量的数量积及其应用（共10小题） 5．（23-24高二上·上海崇明·期中）正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C    6．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，解. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间向量，，则 . 【答案】 【详解】因为，， 所以 故答案为： 8．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以：或. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 【答案】5 【详解】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 10．（23-24高二上·上海长宁·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为 ． 【答案】 【详解】因为，长方体外接球的直径即等于长方体的体对角线， 且， 所以， ， 所以，， 所以，外接球的半径，表面积为.    故答案为：. 11．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 【答案】 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 13．（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，，，，为中点.    (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的大小； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故， 而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故， 而，故， 而平面，平面，故， 故. （2）    因为为的重心，连接并延长交与，连接， 则，故， 故， 故， 而，， 又平面，平面，故， 故，故. 题型三 空间向量共线、共面问题（共7小题） 15．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 16．（24-25高二上·上海·期中）给出下列命题，其中真命题的个数是（   ） （a）若四棱锥底面是正方形，四个侧面都是等腰三角形，则该四棱锥是正四棱锥. （b）若三棱锥的顶点到的距离相等，则点在平面上的投影是三角形的外心. （c）若，且，则四点共面. （d）直线l与平面所成角为，平面经过直线l，设与所成的锐二面角大小为，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】(a)：当四棱锥底面是正方形，侧面都是等腰三角形时，若等腰三角形不全等，则四棱锥不是正四棱锥，故错误； (b)：如下图所示，设在底面的投影为点， 由题意可知，，又因为平面， 所以，且为的公共边， 易证两两全等，所以，所以为的外心，故正确； (c)：因为，所以， 所以， 因为，所以， 显然不全为，不妨设，所以， 若三点共线，则四点一定共面， 若三点不共线，则共面，且有公共点，所以四点共面， 综上可知，四点共面，故正确； (d)：设与平面交于点，，，，由题意知， 当时，因为，，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以与所成的锐二面角即为； 当不垂直时，过作交延长线于点， 由上可知，此时与所成的锐二面角即为， 所以，所以， 综上可知，成立，故正确； 故上述命题中真命题有个， 故选：C. 17．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 18．（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 【答案】 【详解】由， 得， 即， 又，，，四点共面， 即，，共面， 所以存在唯一实数对，使， 所以， 解得， 故答案为：. 19．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 20．（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【详解】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 21．（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 题型四 用空间基底表示向量（共2小题） 22．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 【答案】 【详解】在中，， 在中，， 所以. 故答案为： 23．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，若，则乘积 ．    【答案】 【详解】, 则， 所以 故答案为：    题型五 空间向量的坐标运算（共3小题） 24．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 25．（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【详解】在方向上的数量投影的长度为：． 故答案为：． 26．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【详解】由题意，故，，， 故， 故答案为： 题型六 空间向量模长的坐标表示（共2小题） 27．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知向量，则向量的单位向量 ． 【答案】 【详解】， 因此向量的单位向量. 故答案为：. 28．（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为： 题型七 空间向量平行的坐标表示（共2小题） 29．（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 30．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【答案】 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 题型八 空间向量垂直的坐标表示（共2小题） 31．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为向量与垂直， 所以 所以. 故答案为：. 32．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 【答案】 【详解】因为与互相垂直，，， 所以， 解得. 故答案为：. 题型九 向量法求空间距离（共8小题） 33．（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点， 连接、，则平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，设点， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，则，， 则点到平面的距离为， 而点到直线的距离为， 根据题意可得， 在平面内，如下图所示：    在平面直角坐标系中，易知点、， 则，所以，直线的方程为， 即，即， 显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且， 所以，由可得， 即，即点在区域内的轨迹是一条线段， 直线的斜率为， 则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意， 故选：D. 34．（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 35．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【答案】 【详解】 ，平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为棱与平面的距离， 如图：建立空间直角坐标系，，，设， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故，则，令，， 故，， 所以到平面的距离为：， 故答案为： 36．（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【详解】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，，， 设为平面PEF的法向量，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为： 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 38．（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为 ． 【答案】 【详解】如图所示：将棱长为1的正四面体，放入棱长为的正方体中，并以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系； 设分别是正四面体的侧棱的中点，显然截面平面， 故所求即为点到平面的距离， 由题意， 从而， 设平面的法向量为, 所以，令，解得，所以， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 39．（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）在直三棱柱中，即平面，， 又平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以，即； （2）由（1）可得，，，所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到平面的距离. 40．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）    如图：因为三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 以线段、、分别为长宽高构造长方体， 则. （2）    如图：以为坐标原点，以分别为轴， 建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的一个法向量为， ，则，令， 则，设点到平面的距离为， 则. 题型十 向量求法求空间角（共12小题） 41．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由，可以推出与所成角为， 但与所成角为时，或， 所以是与所成角为的充分不必要条件. 故选：A. 42．（24-25高二上·上海·期中）在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，再设平面还通过棱上一点， 可得， 令平面的一个法向量为， 则，取，得，所以. 又，设直线与平面所成角为， 则. 令，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，∴. 故选：C. 43．（24-25高二上·上海·期中）光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 . 【答案】 【详解】如图： 在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为， 因为直线照射到平面的入射角为，所以. 不妨令，，将平面绕轴旋转得平面. 则，可取，则反射光线的方向向量为：. 因为点关于平面的对称点为，所以反射线的方向向量为：. 所以. 所以. 故答案为： 44．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，. (1)求直线与平面所成的角的大小； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 平面的一个法向量为， 故直线与平面所成的角的正弦值为 ， 所以直线与平面所成的角的大小为； （2）设直线与直线所成角的大小为， ， 故直线与直线所成角为. 45．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【详解】（1）∵，，∴为等腰直角三角形， 故在三棱柱中为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则， 因为侧面，均为正方形，即，， 又， 平面，所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，则， 又且、平面， ∴平面. （2）因为平面，， 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，即异面直线与所成角为. 46．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 47．（23-24高二上·上海·期中）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．    (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是；若不是，请说明理由； (3)若PD与平面ABCD所成角是30°，当BE等于何值时，二面角P﹣DE﹣A的大小为45°． 【详解】（1）    当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行． ∵在△PBC中，E、F分别为BC，PB的中点， ∴EF∥PC又EF⊄平面PAC 而PC⊂平面PAC ∴EF∥平面PAC． （2）方法一：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD． EB⊥PA 又 EB⊥AB，AB∩AP=A，AP⊂平面PAB ∴EB⊥平面PAB， 又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE． 又PA＝AB＝1，点F是PB的中点， ∴AF⊥PB， 又∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE． ∴AF⊥平面PBE ∵PE⊂平面PBE， ∴AF⊥PE，即无论点E在边BC的何处， PE与AF所成角都是定值90°． 方法二：建立图示空间直角坐标系，则P（0,0,1）B（0，1，0），， 设BE＝x，则E（x，1,0）＝ ∴AF⊥PE即PE与AF所成角是定值90° （3）方法一：过A作AG⊥DE于G，连PG，又， 则DE⊥平面PAG， 则∠PGA是二面角P﹣DE﹣A的平面角， ∴∠PGA＝45°， ∵PD与平面ABCD所成角是30°，∴∠PDA＝30°， ∴，PA＝AB＝1． ∴AG＝1，，设BE＝x，则，， 在Rt△DCE中，，． 方法二：设平面PDE的法向量为，由，得： ∵二面角P﹣DE﹣A的大小是45°，所以cos45°＝， 得或（舍）． 48．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． (1)求证：平面； (2)试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； (3)记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又，，， 所以， 所以，所以， 连接，所以，又使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为， 所以， 设三棱锥的高为，则，解得， 所以到平面的距离为，又点是棱上的动点，所以为棱的中点， 即当为棱的中点时截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； （3）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的一个法向量为， 显然二面角为锐二面角，所以， 设，则， 又， 设平面的法向量为，则，取， 又二面角为锐二面角，所以， 又，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以当，即为靠近点的三等分点时，满足. 49．（24-25高二上·上海静安·期中）如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小． 【详解】（1）证明：如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得，，且， 即PE＝1，因为，则， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且，CE，DE⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面； （2）由题意知，为直角三角形，设外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． （3）以E为原点，以，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且，平面， 所以DE⊥平面， 又因为平面，所以平面⊥平面， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面＝BE，所以PF⊥平面， 所以为PE与平面所成的角，所以， 可得，，，则，， 设平面PBC的法向量为，则, 取，可得，所以, 又由z轴垂直平面，可得面的一个法向量为， 则 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小． 50．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． (1)指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围 (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 【详解】（1）当点与重合时，与平面共面， 当点不与重合时， 因为分别是，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，由，得， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 直线与平面所成的角为， 则， ， 所以， 所以的取值范围为. （3） 由（2）知， ， ， 设平面的法向量为， 则，取， 为平面的法向量， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则， 则， 函数，当时，， 所以， 即当时，. 51．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为是正三角形，是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面， 所以面； （2） 如图，以点为原点，分别以， ，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 因为，所以， 令，则， 又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为， 所以，则， 所以平面与平面所成锐二面角为； （3）假设存在点，使得直线与平面所成角为， 设，， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， 则， 整理得， 因为，所以方程无解，假设不成立. 所以不存在点，使得直线与平面所成角为. 52．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求的值； (3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值. 【详解】（1）由条件可知，，，， 所以，所以， 又因为是直角三角形，所以， 取的中点，连结，则， 所以，，且， 所以，则，且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面； （2）以点为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，，令，则， 即平面的法向量为， 平面的法向量为， 因为二面角的正切值为，所以二面角的夹角的余弦值为， 则，，解得：， 所以； （3）如图，以为轴，将和展开，与在同一平面，点分成和，当四点共线时，为的周长的最小值， 设，，，则， 所以， ， ， 所以， 所以周长的最小值为. 题型十一 与空间向量坐标表示有关解答综合题（共4小题） 53．（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间中的三点，，，，. (1)当与垂直，求的值； (2)求的面积. 【详解】（1）依题意，，， 当与垂直时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以的面积. 54．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为； （2）因为， 又与互相垂直，所以， 解得. 55．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 56．（24-25高二上·上海·期中）一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. (1)已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； (2)四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 【详解】（1）由题意得，，， 又因为是向量组的“h向量”， 所以，即 ，解得或， 故的取值范围为. （2）（i）由题意得，因为四面体内接于球O，所以， 因为，所以， 两边同时平方得， 因为，，， 所以可得，即，，且在同一平面内. 如图所示， 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 代入得， 于是可得， ， ， 所以由“h向量”的定义，，都是“h向量”. （ii）由（i）得，，且在同一平面内， 所以在过球心的截面上， 又，， 两边平方可得，，即，， 同理，两边平方可得， 即，， 于是 =++=. 所以当平面时，四面体体积取得最大值， 此时. 题型十二 与空间角和空间距离有关解答综合题（共10小题） 57．（23-24高二上·上海·期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标. (2)求. 【详解】（1）由题意可知，半正多面体的棱长为， 则正方体的棱长为， 所以，，，，； （2），， 所以，， 则，则， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）， 即的值为. 58．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 【详解】（1）以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 根据题意， 所以， ，又与所成角的范围为， 与所成角的余弦值为； （2）由三垂线定理有，且两直线都在面内，则⊥平面， 平面C法向量为，又=， 点E到平面C的距离d===. 59．（24-25高二上·上海·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）取的中点为，连接，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由两两垂直，则以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 取， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. （3）设，则，设，， 可得，解得，所以， 则，， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 由图易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 化简可得，解得或（舍去）， 所以存在，点的坐标为，点为线段靠近的三等分点. 60．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【详解】（1）证明：因为棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 又因为，点的曲率为， 所以， 解得， 又因为， 所以是边长为2的正三角形， 又因为是的中点， 所以①， 又因为平面平面②， 平面平面，平面③， 由①②③可得：平面； （2）解：取中点，连接, 由（1）可知两两垂直，且交于点, 以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则,， 所以 设平面的法向量为， 则，取， 则， 又因为, 设点B到平面的距离， 则； （3）解：由（2）可知平面的法向量， 设平面的法向量， 因为 所以，取， 则， 所以， 设二面角的大小为，由题意可知， 所以， 所以. 所以二面角的大小为. 61．（23-24高二上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知可得，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ； （2）以为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 由已知得， ， 设平面的法向量为， 则，取，得 点到平面的距离. （3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为， 设， 则， ， ， 整理得，该方程无实数解， 故在线段上不存在点，使得与平面所成的角为 62．（24-25高二上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形. 结合是等边三角形，可得四边形是菱形， 则是等边三角形，又为中点，则. 因为平面，，所以； （2）因平面平面，平面平面， 平面，，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； （3）假设存在满足条件的点，设，则. 又，得，则. 又由题可得，结合， 为的中点，可得. 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且. 63．（24-25高二上·上海·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在中，，，则， 在几何体中，， 平面，则平面，而平面， 则，又，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    依题意，，， 则，， 显然平面的一个法向量，设与平面所成的角为， 则，， 所以与平面所成角的大小为. （3）由（2）知的面积， 由是的中点，得点到平面的距离， 因此， 假设在线段上存在符合要求的点，设到平面的距离为， 因为， 所以， 因为，所以， 则，得， 所以，则是的三等分点等近的点， 所以， 即在线段上存在点满足条件，. 64．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 65．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体的棱长为a，点P满足，其中，； (1)若，且直线与平面所成角大小为，求点P的轨迹长度； (2)若，，求正方体经过点的截面面积S的取值范围； (3)若，求三棱锥内（不包括表面边界）整点的个数. 【详解】（1）连接, 因为平面，为在平面上的射影， 所以直线与平面所成角的平面角为， 由已知, 则，故P点轨迹为以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分， 所以点P的轨迹长度为， （2）在正方体中，以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，， 因为，， 所以，即， 所以点在上运动，则, 过点作，交与点，连接， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又， 所以在正方体中经过点的截面为平行四边形（如图）， 则， 所以，， 故点P到的距离为 , 因为，故当取0或1时，d取到最大值， 此时截面面积的最大值为, 当时，d取到最小值，此时截面面积的最小值为， 即当时，在正方体中经过点的截面面积的取值范围为， （3）如图：过轴上的点，，，，， ，，作三棱锥平行于底面的截面， 则三棱锥内（不包括表面边界）整点一定位于各截面内， 截面内的整点个数为， 截面内的整点个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有，个数为， 截面内的整点有， ，个数为， 截面内的整点有 ，个数为， 所以三棱锥内（不包括表面边界）整点个数为， 66．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 【详解】（1）证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，故， 点到平面的距离为：， 解得， 故正四棱柱的高为； （3） 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，则， 则， 故，设， 则， 故，设， 则在上有解； 因为的对称轴为， 故，故， 故，所以，故， 故线段的取值范围为. $