专题01 特殊平行四边形（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题01 特殊平行四边形 6大高频考点概览 考点01 菱形的性质 考点02 菱形的判定 考点03 矩形的性质 考点04 矩形的判定 考点05 正方形的性质与判定 考点06 综合压轴题 地 城 考点01 菱形的性质 1．(24-25九上·陕西咸阳彩虹学校·期中)如图，已知菱形的周长为，对角线、交于点，且，则的长为（   ） A．6 B．10 C．18 D．12 【答案】D 【来源】陕西省咸阳市彩虹学校2024~2025学年上学期期中考试九年级数学试题 【分析】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解决问题的关键．根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，由菱形的周长可得的长，在中，根据勾股定理可以求得的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期中)如图，在菱形中，．若菱形的面积为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西省西安市莲湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接交于点O，根据菱形的面积公式求出，然后根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接交于点O    ∵菱形的面积为， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴． 故选：A． 3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中)如图，为四边形的对角线，点E、F为的两个三等分点，分别连接，四边形为菱形，若，，则四边形的面积为（   ） A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】B 【来源】陕西省咸阳市秦都区金山学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，连接，交于点，得到，勾股定理求出的长，根据四边形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵点E、F为的两个三等分点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积； 故选B． 4．(24-25九上·陕西咸阳秦都区咸阳启迪中学·期中)如图，在菱形中，，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接、、、，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省咸阳市秦都区咸阳启迪中学 2024-2025学年上学期期中学科素养测试 九年级数学试题 【分析】本题考查的是中点四边形和勾股定理，掌握菱形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．连接、交于O，根据三角形中位线性质得到，，，，推出四边形是矩形矩形，根据等边三角形性质易得，，于是得到结论． 【详解】解：如图所示，连接、交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E、F、G、H分别是边，，，的中点， ∴，，，（三角形中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∴四边形的面积为， 故选：B． 5．(24-25九上·陕西榆林神木·期中)如图，四边形中，，点E是上一点，连接，，，与交于点O，四边形是菱形，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省榆林市神木市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查的勾股定理的应用，菱形的性质，二次根式的化简，求解，可得，再求解，从而可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得出， ∴， 故选：D． 6．(23-24九上·陕西咸阳永寿县渡马九年制学校·月考)如图，菱形的周长为12，，，为对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【来源】陕西省咸阳市永寿县渡马九年制学校2023-2024学年九年级上学期月考（一）数学试题 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称与路径最短问题，作点关于的对称点，则，由两点之间线段最短可知当、、在一条直线上时，有最小值，然后求得的长度即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则． ． 由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时． 四边形为菱形，周长为12， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 的最小值为3． 故答案为：3． 7．(24-25九上·广东深圳宝安第一外国语学校·调研)如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为 ．    【答案】 【来源】广东省深圳市宝安第一外国语学校　 2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，， ∴，，，， ∴在中，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 8．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【答案】 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 9．(24-25九上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中)如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．若，，求的长． 【答案】 【来源】陕西省咸阳市秦都区金山学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 由菱形的性质证得，确定，利用有两个角分别相等的三角形相似判定，由相似三角形的性质及勾股定理求解即可 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 10．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期中)如图：已知菱形的周长，，求菱形的面积？ 【答案】菱形的面积为． 【来源】陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试题（扫描版）.zip 【分析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由四边形是菱形，则，，，，则，然后证明是等边三角形，则可求出，再通过勾股定理求出，则，最后由菱形的面积为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 11．(24-25九上·陕西榆林子洲县周家硷中学·期中)如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【来源】陕西省榆林市子洲县周家硷中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，，再由直角三角形的在得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 12．(24-25九上·陕西西安新城区·期中)如图，在锐角中，作一个最大的菱形，使为所作菱形的一个内角．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【来源】陕西省西安市新城区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，作垂线，菱形的性质与判定；先作的角平分线交于点，再作的垂直平分线分别交于点，连接，则菱形即为所求． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求； 证明：设交于点， ∵平分，， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 地 城 考点02 菱形的判定 1．(24-25九上·陕西西安西咸新区沣东新城高新学校·月考)下列命题中，真命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【来源】陕西省西安市西咸新区沣东新城高新学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，特殊的平行四边形的性质和判定，熟悉掌握平行四边形的判定是解题的关键． 对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； 故选：A． 2．(24-25九上·陕西西安新城区·期中)如图，在平行四边形中，对角线相交于点平分． (1)求证：四边形是菱形． (2)若于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】陕西省西安市新城区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据平行四边形的性质可得，则，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据等角对等边，可得，进而根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）勾股定理求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25九上·陕西榆林绥德县绥德中学·期中)如图，在中，点，分别是边，上的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】 陕西省榆林市绥德县绥德中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半结合平行四边形的性质即可证明； （2）如图，连接，交于点，利用勾股定理求出，由（1）知四边形是菱形，证明是的中位线，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， 在中，点是的中点， 在中，点是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，连接，交于点， 在中，，，， 由（1）知四边形是菱形， ，，. 是的中点， 是的中位线， ， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的证明与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线，勾股定理，熟练菱形的判定定理是解题的关键． 4．(24-25九上·陕西西安汇知中学·期中)如图，在中，对角线相交于点O，，垂足分别是E、F，点E、F恰好为的中点，连接．    (1)求证：是菱形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】陕西省西安市汇知中学2024—2025学年上学期期中检测九年级数学试题 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质及特殊角的三角函数值． （1）根据邻边相等得平行四边形是菱形证明即可； （2）先证为等边三角形，得到，从而得到，用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，得到，继而得解； 【详解】（1）∵， 又点E、F恰好为的中点， ， ∴是菱形 （2）由（1）可知：， 又， 为等边三角形， 又 又中，对角线相交于点O ， 5．(24-25上·陕西西安航天城第二中学·期中)如图，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 【答案】见详解 【来源】陕西省西安市航天城第二中学2024-2025学年上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定方法；平行四边形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，由菱形的判定方法，即可得证；掌握平行四边形的性质，菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 是菱形． 6．(22-23九上·陕西咸阳礼泉县·期中)如图，菱形的对角线和交于点O，分别延长至点B、点D，且，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】陕西省咸阳市礼泉县2022-2023学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题； （2）根据菱形的性质和勾股定理可以解决问题． 【详解】（1）∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是菱形. （2）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 地 城 考点03 矩形的性质 1．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期中)如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【来源】陕西省西安市莲湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解决此题的关键．根据矩形的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．(24-25九上·陕西榆林子洲县周家硷中学·期中)如图，在矩形中，为的三等分点，且，连接，为的中点，连接并延长，与交于点，若，则线段的长是 ． 【答案】5 【来源】陕西省榆林市子洲县周家硷中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等和相似三角形是解答的关键．延长交延长线于H，证明得到，结合已知得到，证明得到，进而求解即可． 【详解】解：延长交延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， 故答案为：5． 3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区咸阳启迪中学·期中)如图，在矩形中，，点M是边的中点，点E、F分别是边，边上的点，且于点G，若，，则的面积是 ．    【答案】 【来源】陕西省咸阳市秦都区咸阳启迪中学 2024-2025学年上学期期中学科素养测试 九年级数学试题 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据线段中点的定义可得，根据矩形的性质可得，从而可得四边形是矩形，进而可得，再根据同角的余角相等可得，从而证明，然后利用相似三角形的性质可求出的长，从而求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，最后证明，从而利用相似三角形的性质求出，的长，进而的面积进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，   ， ∵点是边的中点， ， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积：， 故答案为：． 4．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为 ． 【答案】12 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明四边形是矩形，再由，，得出是等边三角形，得到，进而求得长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 由 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形， ∴是等边三角形 故答案为：12 5．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期中)如图，在矩形中，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在上． (1)若，求的度数． (2)若，，且，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【来源】陕西省西安市莲湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（）由四边形是矩形，得，得，由折叠得，则； （）设，则，，由，，则，，然后由勾股定理得，求出即可； 此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理等知识，正确地根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，可得， ∴； （2）解：设，则，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴． 6．(24-25九上·陕西榆林绥德县多校·期中)如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，连接，若，，求的长． 【答案】的长为． 【来源】陕西省榆林市绥德县多校2024-2025学年上学期九年级期中数学题 【分析】由四边形是矩形得，，，又平分，则，，故有，然后证明是等边三角形，通过性质可以得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等角对等边，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 地 城 考点04 矩形的判定 1．(23-24九上·陕西咸阳秦都区陕西科技大学附属中学·期中)如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ． 【答案】3 【来源】陕西省咸阳市秦都区陕西科技大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，为矩形， 此时的长度为3． 故答案为：3 2．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中)如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 【答案】四边形是矩形，见解析 【来源】陕西省咸阳市秦都区金山学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查矩形的判定，根据由3个角是直角的四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：∵分别是及其邻补角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形． 4．(24-25上·陕西西安航天城第二中学·期中)如图，在中，点E在边上，连接，在线段上取一点P，连接，． (1)求证：是矩形； (2)过点P作于点H，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】陕西省西安市航天城第二中学2024-2025学年上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，再结合四边形是平行四边形即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质推出，由矩形的性质得到，易得，由平行线的性质推出，于是，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形 （2）证明；∵于点H，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．(24-25九上·陕西咸阳彩虹学校·期中)如图，为四边形的对角线，过点作于点，延长至点，使得，连接，已知，． (1)四边形是矩形吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析； (2)． 【来源】陕西省咸阳市彩虹学校2024~2025学年上学期期中考试九年级数学试题 【分析】（1）由垂线及相似三角形的性质得，，进而证明，，得，，从而证明四边形是平行四边形，即可得四边形是矩形； （2）由（1）得四边形是矩形，，从而得，，由勾股定理得，进而利用面积法即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形； （2）解：由（）得四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 地 城 考点05 正方形的性质与判定 1．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 2．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，将边长为7的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为6时，的长为 ． 【答案】1或6 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】设，与相交于点，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再表示出，然后根据平行四边形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设，与相交于点， ∵是正方形剪开得到的， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵两个三角形重叠部分的面积为6， ∴，整理得，， 解得：， 即移动的距离等于1或6． 故答案是：1或6． 【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，熟记平移的性质并用平移距离表示出重叠部分的底与高是解题的关键． 3．(24-25九上·陕西西安交大附中·期中)一个正方形，它的对角线长10，那么这个正方形的面积是 ． 【答案】50 【来源】陕西省西安交大附中2024-2025学年九年级上学期期中数学测试卷 【分析】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的面积是对角线积的一半成为解题的关键． 根据正方形的面积等于对角线积的一半列式计算即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：50． 4．(24-25九上·陕西榆林神木·期中)如图，四边形与四边形都是正方形，点，分别在，上，连接，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【来源】陕西省榆林市神木市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，利用面积关系列出等式是解题的关键． 由正方形的性质可得，，由面积关系列出等式即可求解． 【详解】解：四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， ， ， 即， 化简得：， ， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·陕西西安汇知中学·期中)如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【答案】 【来源】陕西省西安市汇知中学2024—2025学年上学期期中检测九年级数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质得，，，则，再根据，得，进而可得的度数，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6.(24-25九上·陕西榆林神木·期中)如图，是正方形对角线上一点，且，过点作，交于．求证：． 【答案】证明见解析． 【来源】陕西省榆林市神木市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边等知识，连接，由四边形是正方形，得，，再由，得，从而可得，根据等角对等边得，然后证明即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 【详解】证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 地 城 考点06 综合压轴题 1．(24-25九上·陕西西安新城区·期中)如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N．若，，则的长为 ． 【答案】 【来源】陕西省西安市新城区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，求出，再证明，，，对应边成比例即可解决问题． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．(24-25九上·陕西西安交大附中·期中)如图，在边长为8的正方形中，过正方形的中心O的直线，分别与交于点，若H为的中点，连接并延长，与交于点G，且．则的长为 ． 【答案】2 【来源】陕西省西安交大附中2024-2025学年九年级上学期期中数学测试卷 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据正方形的性质、勾股定理可得，再由直线过正方形的中心O可得、；再结合已知条件可得，然后证明可得；又，然后代入求得，进而完成解答． 【详解】解：∵边长为8的正方形， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，直线过正方形的中心O， ∴把矩形分割成的两部分图形一样， ∴，， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为2． 3．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，在中，，，，点D以秒的速度从点C出发沿向A点运动，同时点E以秒的速度从点A出发沿向B点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点D作于点F，连接，设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为菱形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 (3)或 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质推出，从而得出四边形为平行四边形，当时得出，即可推出结果； （2）根据的面积为，得出，求出t即可； （3）分当时，当时，分别得出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． （2）解：由（1）知四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴当或时，的面积为； （3）解：当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：， ∴当或时，以A、D、E为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 4．(24-25九上·陕西西安交大附中·期中)问题提出： 如图，，点是上一点，当且时，_______． 问题探究： 如图，在四边形中，，过点作交于点，将沿折叠，此时点恰好落在边上的点处，若，求的长． 问题解决： 如图，已知在矩形中，是对角线上一动点，是边上一动点，且，当在上运动时，四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值与此时的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】； ； ． 【来源】陕西省西安交大附中2024-2025学年九年级上学期期中数学测试卷 【分析】根据垂直的定义和平角的定义可得、，从而可证，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度； 根据折叠的性质可得、，根据平行线的性质可得、，从而可证，利用相似三角形对应边成比例的性质求出的长度； 由矩形的边长可得，所以可得，根据垂线段最短可知当时，的长度最短，则的长度最大，此时四边形的面积最大，根据矩形的边长和、计算即可． 【详解】解：（1）如下图所示， ，， ， ； ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示， 由折叠知； ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，过点作， 在矩形中，，， ，， ， ， 又， ， 当最大时，四边形的面积最大， 此时最小， 当时的长度最小， 此时， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数的应用、矩形的性质、折叠的性质．解决本题的关键是综合利用所学的知识找到三角形的边和角之间的关系． 5．(24-25九上·陕西西安临潼区·期中)（1）如图1，已知为直线外一点，请作出点到直线的最短线段； （2）如图2，在中，，，求的长； （3）如图3，在正方形，为边上一点，且，为射线上一动点，将线段绕点顺时针旋转至处，并连接，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值是 【来源】 陕西省西安市临潼区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】（1）根据垂线段最短可作图； （2）根据含角的直角三角形的性质可解答； （3）将绕点顺时针旋转得到，可知：点在射线上，，过点作，过点作于，交于，确定就是的最小值，根据含角的直角三角形和勾股定理可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点作于，则点到直线的最短线段是线段； （2）如图2，在中，，， ； （3）如图3， 四边形是正方形， ，， ， ，， 将线段绕点顺时针旋转至处， ，， 将绕点顺时针旋转得到△， 点在射线上，， 过点作，过点作于，交于，的长度就是的最小值 ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 中，， ， ， ， ． 即的最小值是． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，第（3）问有难度，确定最小值时点的位置是图2中的点是解本题的关键． 6．(24-25九上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中) 【问题情境】 矩形ABCD中，，，E是射线上一点，连接，点C关于的对称点F恰好落在射线上，连接，． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，连接，若，的长为 ； 【深入探究】 （2）作的平分线交射线于点M，当时，求的长． 【答案】（1）2；（2）2或18 【来源】陕西省咸阳市秦都区金山学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题时注意分类思想与方程思想的运用． （1）利用勾股定理进行解答，即可得出答案； （2）点F在边上时，过点M作于点N，得到，根据对应边成比例求出，然后在中利用勾股定理求出长解题；点F在边的延长线时，过点M作于点N，同①解法相同得到得到长，然后根据勾股定理求出长解题即可． 【详解】解：（1）解：当点E在边上时， ∵点关于的对称点恰好落在射线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）①点F在边上时，过点M作于点N，如图， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴． ②点F在边的延长线时，过点M作于点N，则，如图， 同①可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，当时，的长为2或18． 7．(24-25九上·陕西宝鸡2第一中学·期中)杨老师在探究“矩形折叠中的相似三角形”问题时遇到一些困难，请你帮帮老师： 如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点、点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形：__________________． （2）迁移探究 当与的交点恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 同样的折叠方式，当点的对应点落在边的垂直平分线上时，求此时的长． 【答案】（1）或（写出一个即可）；（2）；（3） 【来源】陕西省宝鸡市2第一中学2024--2025学年九年级上学期期中考试试题数学 【分析】（1）根据矩形的性质和对顶角相等可得出相似的三角形为或； （2）由题意结合勾股定理可求出，即可求出．易证，即得出，代入数据即可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）画出图形，易求出，即得出，从而可求出，再根据折叠可求出．最后根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故与相似的三角形为或（写出一个即可） （2）∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即阴影部分的面积为； （3）如图，点F在的中垂线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，含特殊角的直角三角形三边的关系，勾股定理等知识．掌握矩形和折叠的性质，三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． 8．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期中)如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设． ①求证四边形为菱形； ②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②满足条件的的值为或2 【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2024-2025学年上学期九年级数学期中检测试题 【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； （2）①首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形； ②是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 四边形是矩形，，， ，，， 由翻折可知：．， 设，则． 在中，， ， 在中，则有：， ， ； （2）①证明：如图2中， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； ②是直角三角形，， 只有或． 如图中，当时， 由（1）得，,， ∴, ， ∴， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 如图中，当时， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 9．(24-25九上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·期中)（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 【答案】（）见解析； ；（）． 【来源】陕西省咸阳市渭城区第二初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（）四边形是矩形，，，再利用同角的余角相等得，根据相似三角形的判定即可求证； 根据相似三角形的性质即可求解； （）过点分别作于点，于点，由勾股定理求出，由，，， 则四边形为矩形，，，则是的中位线，是的中位线，故有，，再同（）理证明，得即可． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （）解：如图，过点分别作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形，，， ∵是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，矩形的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．(24-25上·陕西西安航天城第二中学·期中)【问题发现】 （1）如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接，则的度数为________°； 【问题探究】 （2）将图①中的正方形绕点A逆时针旋转，如图②，在旋转的过程中，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值，若不是，请说明理由； 【问题拓展】 （3）如图③，是正方形的对角线，是等腰直角三角形，，，O为的中点．若点D在线段上运动，连接，则在点D的运动过程中，求线段长的最小值． 【答案】（1）；（2），（3）． 【来源】陕西省西安市航天城第二中学2024-2025学年上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）连接，证明点，，共线即可求解； （2）连接，，证明即可求解； （3）连接．根据证明得，从而，由垂线段最短可知当时，最小，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）连接． ∵四边形是正方形，正方形， ∴平分，平分， ∴点，，共线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：连接，， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）连接, 在正方形中，，， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小． ∵，为的中点． ∴． ∵，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 即线段长的最小值为． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 11．(24-25九上·陕西西安长安区·期中)如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】陕西省西安市长安区2024-2025学年上学期九年级期中数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握判定方法及性质，能用辅助未知数进行求解是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，由即可得证； （2）由平行线的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）由得，由三角形相似的性质得，设，则，，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．(24-25九上·陕西西安鄠邑区鄠邑区·期中)问题探究】 （1）如图①，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交延长线于点F，连接．求证：是等腰直角三角形； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知米，米，米，，、为果园内两条小路，现在BE的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．试求该运输通道的长度． 【答案】（1）见解析；（2）米 【来源】陕西省西安市鄠邑区鄠邑区2024-2025学年九年级上学期11月期中学情分析数学试题 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得，进而得出是等腰直角三角形； （2）取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得，，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）取的中点，连接，如图③， 米，米， （米）， （米），（米）， 为的中点， ，（米）， ， （米）， 即该运输通道的长度为米． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 13．(24-25九上·陕西西安新城区·期中)问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【来源】陕西省西安市新城区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）过点E作于点G，延长至点H，使，连接，先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，再证明是等边三角形，可得，然后证明，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为： （2）如图，过点E作于点G，延长至点H，使，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴部件四边形的周长为． 14．(24-25九上·陕西西安汇知中学·期中)【思考探究】 （1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，． ①求证：； ②求的值； 【拓展延伸】 （2）如图2，矩形中，，E、F分别是边和对角线上的点，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 3 【来源】陕西省西安市汇知中学2024—2025学年上学期期中检测九年级数学试题 【分析】本题考查了正方形、矩形，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键，注意解题方法的延续性． （1）①通过证明，来证；②由得到，通过四边形为正方形即可得解； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解； 【详解】（1）① ∵四边形为正方形，为对角线， ②解：∵四边形为正方形，为对角线， 故答案为：； （2）连接交于点O， ∵在矩形中，， 15．(24-25九上·陕西咸阳彩虹学校·期中)【初步探究】 （1）如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列），连接，若，则： ①求点到的距离； ②直接写出的长为______； 【灵活应用】 （2）如图，李叔叔有一块正方形的菜地，射线是一条小路，其中米．现在李叔叔要对这块菜地进行改建，改建为正方形果园（点，，，按顺时针排列），要保证点在射线上，且正方形中的某一顶点落在直线上（不与点重合），求改建后的正方形果园的面积．（小路宽度忽略不计） 【答案】（1）①点到的距离；②；（2）正方形的面积为平方米或平方米． 【来源】陕西省咸阳市彩虹学校2024~2025学年上学期期中考试九年级数学试题 【分析】（1）①过点作直线于，则，利用勾股定理可得，再证得 ，可得：，即点到的距离；②利用勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点在直线上时，过点作，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，得出，再证得 ，利用勾股定理可得：，即正方形的面积为；当点在直线上时，过点作，交的延长线于，同理可求得答案． 【详解】解：（1）①如图，过点作直线于，则， ∵四边形是边长为的正方形，， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴点到的距离； ②在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）当点在直线上时，过点作，交的延长线于，则，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为平方米； 当点在直线上时，过点作，交的延长线于，如图， 同理可得： ， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为平方米； 综上所述，正方形的面积为平方米或平方米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．(24-25九上·陕西咸阳秦都区金山学校·期中)如图，在中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接，交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】陕西省咸阳市秦都区金山学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查正方形的判定，三线合一，勾股定理： （1）三线合一，得到，证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，，即可得证； （2）先证明，进而得到，根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形． （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01特殊平行四边形 ☆6大高频考点概览 考点01菱形的性质 考点02菱形的判定 考点03矩形的性质 考点04矩形的判定 考点05正方形的性质与判定 考点06综合压轴题 目目 考点01 菱形的性质 1.(24-25九上陕西咸阳彩虹学校期中)如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD交于点0， 且A0=8,则BD的长为() A.6 B.10 C.18 D.12 2.(24-25九上陕西西安莲湖区·期中)如图，在菱形ABCD中，AC=4cm.若菱形ABCD的面积为12cm2 ,则AB的长为() A.v13cm B.2v3cm C.5cm D.6cm 3.(24-25九上陕西咸阳秦都区金山学校期中)如图，BD为四边形ABCD的对角线，点E、F为BD的两个 三等分点，分别连接AE、EC、CFAF,四边形AECF为菱形，若AE=5,BD=24,则四边形ABCD的 面积为() 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D A.144 B.72 C.36 D.24 4.(24-25九上·陕西咸阳秦都区咸阳启迪中学期中)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6.若 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFGH的面 积为() E G F A.8 B.95 c.45 D.185 5.(24-25九上陕西榆林神木期中)如图，四边形ABCD中，∠C=90°，点E是BC上一点，连接AE, DE,BD,AE与BD交于点O,四边形ABED是菱形，若EC=3,CD=4,则BO的长为() B E A.4 B.33 C. D.2W5 6.(23-24九上陕西咸阳永寿县渡马九年制学校月考)如图，菱形ABCD的周长为12，AE=1,AF=2, P为对角线BD上的一个动点，则PE+PF的最小值是 B P 7.(24-25九上广东深圳宝安第一外国语学校·调研)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O ,菱形ABCD的周长是20，BD=6,则菱形ABCD的高DE的长为· 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 8.(24-25九上陕西西安长安区·期中)如图，在菱形ABCD中，∠A=34°，取大于AB的长为半径，分别 以点A,B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE,BD ，则∠EBD的度数为一· 9.(24-25九上·陕西咸阳秦都区金山学校期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, BE⊥AB,垂足为B,交AC于点E.若AE=13,AB=12,求E0的长. D A 10.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区期中)如图：已知菱形的周长24cm,∠BAD=60°，求菱形的面积？ D B 11.(2425九上陕西榆林子洲县周家硷中学·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, ∠ABC=80,E是线段AO上一点，且BC=CE,求∠OBE的度数， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25九上陕西西安新城区·期中如图，在锐角△ABC中，作一个最大的菱形，使∠B为所作菱形的 一个内角.（保留作图痕迹，不写作法） 目目 考点02 菱形的判定 1.(24-25九上陕西西安西威新区沣东新城高新学校·月考)下列命题中，真命题的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.(24-25九上陕西西安新城区·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC平分 ∠BAD· D B (1)求证：四边形ABCD是菱形， (2)若DH⊥AB于点H,AC=48,AB=25,求DH的长 3.(2425九上陕西榆林绥德县绥德中学·期中)如图，在☐ABCD中，点E,F分别是边AB,CD上的中点， 且∠CBD=90°. E B (1)求证：四边形BEDF是菱形： (2)若AB=6,AD=4,求菱形BEDF的面积. 4.(24-25九上·陕西西安汇知中学·期中)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别是E、F,点E、F恰好为BC,CD的中点，连接OE. B (1)求证：□ABCD是菱形： (2)求cos∠AE0的值. 5.(24-25上陕西西安航天城第二中学.期中)如图，在☐ABCD中，对角线AC和BD相交于点O, AD=10,AC=16,BD=12.,求证：□ABCD是菱形. D B 6.(22-23九上陕西咸阳礼泉县期中)如图，菱形AECF的对角线AC和EF交于点O,分别延长0E、OF至 点B、点D,且BE=DF,连接AB,AD,CB,CD. B (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若BD=8,AC=4,BE=3,求AE的长. 目目 考点03 矩形的性质 1.(24-25九上陕西西安莲湖区·期中)如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,E是BC上的一点，且 AE=AD,连接DE,则DE的长为() D B E C A.6 B.22 C.4 D.V10 2.(24-25九上·陕西榆林子洲县周家险中学期中)如图，在矩形ABCD中，E为CD的三等分点，且 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 CE<DE,连接AE,G为AE的中点，连接CG并延长，与AD交于点F,若AD=20,则线段AF的长是 F D E B 3.(24-25九上陕西咸阳秦都区咸阳启迪中学期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,点M是CD边的 中点，点E、F分别是边AB,BC边上的点，且AF⊥ME于点G,若EB=2,BF=1,则△AGE的面 积是一· M C B 4.(24-25九上陕西西安长安区·期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且 CE=BC,AE=AB,AE、CD相交于点O,连接DE.若∠A0D=120°，AC=6,则AB的长度为一 A D B∠ 5.(24-25九上陕西西安莲湖区·期中)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AD,BC上的点，将四边形 ABFE沿EF折叠，使点B的对应点B恰好落在CD上. (I)若∠EFB=C,求∠AED的度数. (2若AB=6,BC=8,且器=支，求BP的长. 6.(24-25九上陕西榆林绥德县多校期中)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 BC于点E,连接0E,若∠CAE=15°，0A=6,求CE的长. 目目 考点04 矩形的判定 1.(23-24九上陕西咸阳秦都区陕西科技大学附属中学.期中)如图，在☐ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,且OA=3,若要使□ABCD为矩形，则OB的长度为」 2.(24-25九上陕西西安长安区·期中)如图，☐ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC平分∠BAD,过 点D作DPIAC,过点C作CPIBD,DPCP交于点P,连接OP. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AC=12,BD=16,求0P的长. 3.(24-25九上陕西咸阳秦都区金山学校期中如图，BF,BE分别是∠ABC及其邻补角的平分线， AE⊥BE于点E,AF⊥BF于点F,四边形AEBF是矩形吗？请证明你的结论. G B 4.(24-25上陕西西安航天城第二中学.期中)如图，在☐ABCD中，点E在边AD上，连接BE,在线段BE 上取一点P,连接CP,∠AEB十∠EBA=90°. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：☐ABCD是矩形： (2)过点P作PH⊥BC于点H,若PC=PB,求证：△PCH∽△BEA 5.(24-25九上陕西咸阳彩虹学校期中如图，AC为四边形ADCE的对角线，过点E作EF⊥AC于F点， 延长CD至B点，使得BD=CD,连接AB,已知△ABD∽△EAF,BD=AE. B D (1)四边形ADCE是矩形吗？请说明理由； (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 目目 考点05 正方形的性质与判定 1.(2425九上陕西西安长安区期中)如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分 别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF;②∠AEB=75°；③EF=4BE;④S△cEF=1;⑤ S△4BE=支，其中正确的个数为() D B A.5 B.4 C.3 D.2 2.(24-25九上陕西西安长安区·期中)如图，将边长为7的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把 △ABC沿着AD方向平移，得到△AB'C,当两个三角形重叠部分的面积为6时，AA的长为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B' 3.(24-25九上·陕西西安交大附中·期中)一个正方形，它的对角线长10，那么这个正方形的面积是 4.(24-25九上陕西榆林神木期中)如图，四边形ABCD与四边形EFCG都是正方形，点F,G分别在BC, DC上，连接DE,BE,BD,若AB=5,S△BED=10,则DG的长为一 A D F 5.(24-25九上陕西西安汇知中学期中)如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为BC上一点，连接AE, ∠CAE=23°，在AE上截取AF=CD,连接BF,求∠FBE的度数. 4 D B 6.(24-25九上陕西榆林神木期中)如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE=AB,过点E作 EF⊥AC,交BC于F.求证：BF=EC 目目 考点06 综合压轴题 1.(24-25九上陕西西安新城区·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,连接AC,点E,F分别 在边AD,CD上，连接BE,BF分别交AC于点M,N.若∠EBF=45°，CF=2,则DE的长 为 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D E M A B 2.(24-25九上陕西西安交大附中期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，过正方形的中心O的直线 EF,分别与AD、BC交于点E、F,若H为OF的中点，连接DH并延长，与BC交于点G,且DG=4V5.则 FG的长为 E D GF 3.(24-25九上陕西西安长安区期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°，AC=60cm, 点D以4cm/秒的速度从点C出发沿CA向A点运动，同时点E以2cm/秒的速度从点A出发沿AB向B 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF, 设运动的时间为t秒. ↓ D E C F (1)当t为何值时，四边形ADFE为菱形？ (2)当t为何值时，△ADE的面积为100W3cm2? (3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似？ 4.(24-25九上陕西西安交大附中期中)问题提出： A A B E B E 图1 图2 图3 (1)如图1，